立體幾何證明中輔助線的添加策略

立體幾何證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，而高一是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的初學(xué)階段，對(duì)于立體幾何的證明題學(xué)生理解起來(lái)往往比較困難，這嚴(yán)重制約了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。而在證明過(guò)程中往往需要添加輔助線。詢問(wèn)過(guò)相關(guān)同學(xué)對(duì)輔助線添加方法不能理解，為什么？學(xué)生回答主要如下：

（1）做題太少，接觸到的作輔助線方法太少;（2）有些立體幾何圖形太過(guò)復(fù)雜，對(duì)于輔助線的添加無(wú)從下手;（有的同學(xué)空間立體感太差，根本看不出是立體的圖形）;（3）找不出問(wèn)題與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，不能很好的利用條件;（4）基礎(chǔ)知識(shí)掌握的不扎實(shí)，不能將所學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái);（5）邏輯性不強(qiáng)，不能利用題目的條件作出輔助線。

輔助線是立體幾何問(wèn)題求解過(guò)程中的重要方法，所以有人說(shuō)：“得輔助線者得天下。”此話說(shuō)的雖然有點(diǎn)過(guò)頭，但學(xué)會(huì)添加輔助線確實(shí)是我們快速解立體幾何證明的關(guān)鍵。在常見(jiàn)立體幾何問(wèn)題中，輔助線的添加往往遵循著一些原則，那么輔助線該如何添加呢？這里我先來(lái)段順口溜“有了中點(diǎn)配中點(diǎn)，兩點(diǎn)連線中位線;等腰三角形出現(xiàn)，頂?shù)字悬c(diǎn)相連線;有了垂面作垂線，水到渠成理當(dāng)然，分?jǐn)?shù)必成囊中物?！比缓蠼Y(jié)合口決來(lái)研究幾道題。

一、添加平行線策略

把不在一起的線集中到一個(gè)圖形中，構(gòu)造三角形、梯形中位線，平行四邊形、矩形、菱形的對(duì)邊等，通過(guò)圖形性質(zhì)就可以得到所需的平行關(guān)系。

例1、如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).

（1）求證：BE//面DMF;（2）求證：平面BDE//面MNG.

分析：要證明此題，必須添加輔助線，根據(jù)題中條件M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)，則可考慮利用“有了中點(diǎn)配中點(diǎn)，兩點(diǎn)連線中位線”的輔助線作法。

證明：（1）連接AE交DE于點(diǎn)O，∵四邊形ADEF是平行四邊形∴O為AE的中點(diǎn)

在△ABE中O，M分別為邊AE，AB的中點(diǎn)∴OM//BE

又面DMF，面DMF∴BE//面DMF。

（2）在△ABD中M，N分別為邊AB，AD的中點(diǎn)

在平行四邊形ADEF中G，N分別為邊EF，AD的中點(diǎn)

又∴平面BDE//面MNG。

二、添加垂線的策略

立體幾何中的許多定理是與垂線有關(guān)的，如線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運(yùn)用這些定義或定理，就需要把沒(méi)有的垂線補(bǔ)上。尤其要注意平面的垂線，因?yàn)橛辛似矫娴拇咕€，才能得到線線垂直。

例2、如圖，棱柱底面是等腰直角三角形的直棱柱，，D是C1的中點(diǎn)，AA1=AC.求證：平面AB1D⊥平面AB1B。

分析：要證明平面垂直平面，則應(yīng)轉(zhuǎn)化為線面垂直，即在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線垂直

于另一個(gè)平面。注意到題設(shè)中直棱柱的底面是等腰三角形，因而可考慮利用“等腰三角形出現(xiàn)，作底邊的中點(diǎn)”來(lái)添加適當(dāng)?shù)妮o助線。

證明：取邊AB，AB1中點(diǎn)E，G，連接EG，DG

又為直棱柱，∴面ABC⊥面AA1B1B

∵面面AA1B1B=AB面AA1B1B，

∵E，G為邊AB，AB1中點(diǎn)，

又所以四邊形CEGD為平行四邊形

∴，則面，又面∴平面⊥平面。

三、對(duì)稱中心圖形的添線策略

當(dāng)遇到對(duì)稱幾何圖形的問(wèn)題時(shí)，如球、正三棱錐、正方體、圓、正三角形、平行四邊形等，根據(jù)題意可以把對(duì)稱幾何體或幾何的外心、內(nèi)心、垂心、重心和所求問(wèn)題涉及的點(diǎn)線面連接起來(lái)，然后利用幾何體或截面的性質(zhì)解決問(wèn)題。例如平行四邊形連對(duì)角線，圓的問(wèn)題向圓心連線，球的問(wèn)題向球心連線等使問(wèn)題易解。

例3、正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，求此球的體積。

分析：求正四棱柱外接球的體積，需要求出外接球的半徑，先找球心，知球心必在四棱錐的高上，取對(duì)角線AC，BD交點(diǎn)O'（即小圓圓心），球心在PO'上

解：連接AC，BD交點(diǎn)O'，則O'為正方形ABCD外接圓圓心

所以圓心O∈PO'，延長(zhǎng)PO'交球于N，則△PAN為直角三角形

由射影定理可知

所以PN=2，即2R=2，V球。

總結(jié)：立體幾何作輔助線問(wèn)題，看到求證想定理，看到結(jié)論想性質(zhì)，定義、定理是打開解題思路的關(guān)鍵，也是引入輔助線的基礎(chǔ)，所以運(yùn)用這些定義、定理或性質(zhì)時(shí)，就需要把沒(méi)有的線補(bǔ)上，尤其要注意平面垂線。對(duì)于復(fù)雜的幾何體，分割成若干個(gè)常見(jiàn)的幾何體求解，對(duì)于抽象的幾何體則補(bǔ)全為常規(guī)的幾何體求解，即“中點(diǎn)琢磨中位線，定理、性質(zhì)湊條件;復(fù)雜抽象熟體化，切割添補(bǔ)是利器，有了垂面作垂線，對(duì)稱體面中心連。”作輔助線的目的就是一些分離的條件通過(guò)添加輔助線聯(lián)系起來(lái)，集中在一個(gè)圖形中構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形或者利用三角形、梯形中位線來(lái)作出需要的平行線等，這樣可以通過(guò)解三角形等求得要求的量，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決。

作者簡(jiǎn)介：王廣娜（1975.5-），山東省乳山市人，女，漢族，中學(xué)一級(jí)教師，主要研究方向，課堂教學(xué)研究與學(xué)生思想工作