一道折疊中軌跡問題的兩種解法

摘 要：高中數(shù)學中，折疊時動點軌跡問題在求解上有較大難度.應充分選用必要的幾何知識，尤其要緊扣空間幾何中旋轉(zhuǎn)時不變的位置關(guān)系，包括線段，角的定值及平面圖形的旋轉(zhuǎn)等作為依據(jù)去求解，同時也可選用解析法在坐標系下，運用求動點的軌跡方程得出軌跡去判斷位置關(guān)系，也是處理該類問題的有效途徑之一.

關(guān)鍵詞：折疊;軌跡;兩種解法

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0031-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：史云峰（1967.8-），男，甘肅省天水人，本科，中學一級教師，從事中學數(shù)學教學研究.

案例1 如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，現(xiàn)將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△PDE.若M為線段PC的中點，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中：M點的軌跡是什么？

分析 在將三角形PDE折起的過程中，它的兩邊PE，DE的大小不變?yōu)槎ㄖ?，取EC中點為G，MG與PE平行，BG與DE平行，應用等角定理及不變的平行線段長度，可得∠BGM=3π4為定值，在此折疊中相當于將△PDE沿著BG所在的直線為軸轉(zhuǎn)動時M畫出的軌跡問題，故應為圓弧，其半徑是M到BG的距離，并且軌跡在直線BG的過M點的一個垂面內(nèi)的半圓.

解法一 （立體幾何法）連接CE，取CE中點為G，連接MG，BG，則MG∥PE，BG∥DE，∴平面MBG∥平面DEP，∴MB∥平面DPE.

可得∠MGB=π-∠DEP=3π4，

MG=12PE=1，BG=12DE=2.

由余弦定理可得MB2=MG2+GB2-2MG ·BG·cos∠MGB，所以|MB|=5是定值.

又點P在運動時，等于把△BMG繞BG邊為軸旋轉(zhuǎn)半周，則M點畫出的軌跡為半圓，BM為圓錐的母線，圓錐底面半徑R=22MG=22為定值，CP中點M在半圓上運動.∴M是在以B為頂點、以BM為母線的圓錐底面圓周上運動.

說明：（1）翻折中動點A在一個面上移動，M點也在一個面上移動.

（2）如果沒有旋轉(zhuǎn)意識，則不易看出定值及完成計算.

分析 可將此立體幾何問題選用解析法來處理，以折痕DE所在線為x軸，DE的中垂面為y軸z軸建系，在此折疊過程中，P點始終在x軸的垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，并畫出了半圓，那么PC的中點M也是在x軸的垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，畫出了半圓弧，從而可設(shè)M（x，y，z），求出其參數(shù)方程，得出M的軌跡.

解法二 （解析法）以DE所在直線為x軸，中垂線為y軸z軸建系，則A（0，2，0），B（-22，-2，0），C（-2，-22，0）.

設(shè)∠AOP=θ，θ∈（0，π），P（0，2cosθ，2sinθ），取PC中點為M，坐標M（-22，2cosθ-222，2sinθ2）即x=-22，y=2cosθ-222，z=2sinθ2.在x軸的一個垂面內(nèi)，有 2y+222+2z2=2，即y+22+z2=12， 故M的軌跡是以F為圓心，R為半徑的半圓，其中：F（-22，-2，0），R=22.由于BF⊥面yOz，故BM為一圓錐的母線，其長BM=BF2+222=5（定值）.

案例2 如圖在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=π2，以AC為折痕將△ACM折起到△ACD位置，AB的中點為F，BD的中點為N，則F到點N的軌跡所在平面的距離是多少？（2019全國1卷18）

分析 在△BCD中，取BC中點為E，NE為CD的一半是定值，故點N的軌跡是以E為圓心，R=32的半圓.

以MC所在直線為x軸，C為原點，垂線為y軸，z軸建系，設(shè)∠xCD=θ，D（3cosθ，0，3sinθ），B（3，-3，0），N（3cosθ+32，-32，3sinθ2）.在y軸的一個垂面內(nèi)，有x=3cosθ2，y=-32，z=3sinθ2，（2x-3）2+（2z）2=9，即x-322+z2=322.故軌跡是以E32，-32，0為圓心的半圓.

EF垂直該圓面，故F到軌跡所在平面的距離是32.

總之幾何問題代數(shù)化，折疊問題解析化，能有效建立章節(jié)間的橫向聯(lián)系，使知識有效整合，增強了對數(shù)學整體認識，使學生對所學知識有較好的應用，對問題有較強的分析能力，從而提高了數(shù)學空間想象能力和運算能力，加強了對數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀＼[M＼].北京：高等教育出版社，2018.

[2]任子朝.高考數(shù)學能力考查與題型設(shè)計＼[M＼].北京：高等教育出版社，1998.

[責任編輯：李 璟]