高中部分函數(shù)知識的解題分析

摘 要：函數(shù)作為高考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，總是存在著一定的技巧性，綜合性強(qiáng)，高考對學(xué)生掌握函數(shù)計算的要求高，對考生的函數(shù)知識點(diǎn)考查的也很細(xì)致.這也導(dǎo)致學(xué)生在解答這類題目時，頻繁出錯，難以拿到高分.因此，本文作了一些題目的分析，幫助同學(xué)們在學(xué)習(xí)階段能注意學(xué)習(xí)函數(shù)的幾個重點(diǎn).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù);方法分析

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0016-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：楊婷（1987.7-），女，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、函數(shù)的求解定義域題型

函數(shù)的定義域和值域是高考大綱中有所要求的，這部分的題目綜合性比較強(qiáng)，一般都是與其他類型的題目相結(jié)合.所以，同學(xué)們需要掌握最基本的求解函數(shù)定義域和值域的方法，這樣才能在其他題目中靈活運(yùn)用，輔助解答大題.

求下列函數(shù)的定義域：（1）f（x）=x-1;（2）g（x）=1/（x+1）.

解答 第一小題是因為當(dāng)x-1≥0，即x≥1時，x-1有意義;當(dāng)x-1<0，即x<1時，x-1沒有意義，所以這個函數(shù)的定義域是{x| x≥1}.第二小題是因為當(dāng)x+1≠0，即x≠-1時，分式有意義;當(dāng)x+1=0，即x=1時，分式?jīng)]有意義，所以這個函數(shù)的定義域是{x|x≠-1，且x∈R}.

若A是函數(shù)y=f（x）的定義域，則對于A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.

試比較下列兩個函數(shù)的定義域與值域：（1）f（x）=（x-1）（x-1）+1，x∈{-1，0， 1， 2， 3};（2） f（x）= （x-1） （x-1）+1.第一小題的函數(shù)的定義域為{-1， 0， 1， 2， 3}，因為f（-1）=（-1-1）×（-1-1）=5，同理f（0）=2，f（1）=1， f（2）=2， f（3）=5，所以這個函數(shù)的值域為{1， 2， 5}.第二小題的函數(shù)的定義城為R，因為（x-1） （x-1）+1≥1，所以這個函數(shù)的值域為{y|y≥1}.

評注 這類函數(shù)問題都相對比較簡單也是函數(shù)問題最基礎(chǔ)的知識，主要就是考查學(xué)生對于題目的解析能力，同時也是為了讓學(xué)生在做題的時候能夠養(yǎng)成仔細(xì)審題的習(xí)慣，只要認(rèn)真看題，按照正常的解題步驟進(jìn)行解答，基本上都能解出正確答案，主要還是要細(xì)心和謹(jǐn)慎.

二、函數(shù)的實(shí)物構(gòu)圖分析題

函數(shù)的實(shí)物構(gòu)圖分析題是有一定難度的題目，更多的考查學(xué)生對于函數(shù)關(guān)系的理解程度，讓學(xué)生從純文字的表述中進(jìn)行相關(guān)信息的分析，這類題目還是需要多做相關(guān)題型，積累做題經(jīng)驗，練出一定的手感，這樣在遇到類似問題時可以有一個比較準(zhǔn)確的思維框架幫助理解題目.

一座鋼索結(jié)構(gòu)橋的立柱PC與QD的高度都是60m，A，C間距離為200m，B，D間距離為250m，C，D間距離為2000m，E， F間距離為10m，P點(diǎn)與A點(diǎn)間、Q點(diǎn)與B點(diǎn)間分別用直線式橋索相連結(jié)，立柱PC，QD間可以近似看作是拋物線式鋼索PEQ相連結(jié).現(xiàn)有一只江鷗從A點(diǎn)沿著鋼索AP，PEQ，QB走向B點(diǎn)，試寫出從A點(diǎn)走到B點(diǎn)江鷗距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系.

我們可以作一個坐標(biāo)圖，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，橋面AB為x軸，過A點(diǎn)且垂直于AB的直線為y軸.建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），C（200，0），P（200，60），E（1200，10），D（2200，0），Q（2200，60），B（2450，0）.

設(shè)直線段PA滿足關(guān)系式y(tǒng)=kx，那么由60=k×200，得k=0.3，即有y=0.3x，0≤x≤200.設(shè)直線段QB滿足關(guān)系式y(tǒng)=lx+b，那么由0=2450l+b和60-2200l+b得l=-0.24，b=588，即有y=-0.24x+588，2200≤x≤2450.

設(shè)拋物線段PEQ滿足關(guān)系式y(tǒng)=a（x-1200）2+10，那么由60=a（200-1200）2+10得a=0.00005，即有y=0.000005（x-1200）2+10，200≤x≤2200.因此，符合要求的函數(shù)是y=0.3x，0≤x≤200，

0.0005（x-1200）2+10，200 -0.24x+588，2200 ? ? 評注 這類關(guān)于函數(shù)的題目都有一些難度，更多的是考查學(xué)生們對于題目的理解能力，以及如何從文字中獲取數(shù)據(jù)間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系.這就要求同學(xué)們作出坐標(biāo)圖，借助坐標(biāo)圖理解數(shù)字間的關(guān)系，得到準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系，從而構(gòu)建函數(shù)組進(jìn)行運(yùn)算.

三、函數(shù)的綜合應(yīng)用題

函數(shù)的綜合應(yīng)用題難度比較大，一般是綜合性很強(qiáng)的題型，一般下設(shè)幾個小題，難度層層遞進(jìn)，并且題目要求的函數(shù)工具也比較多，可能包含了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，以及函數(shù)單調(diào)性等等的多方面知識，對考生掌握函數(shù)的熟練度要求很高.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺（x∈N*）的收入函數(shù)為R（x）=3000x-20x2（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）=500x+4000（單位：元），利潤是收入與成本之差.（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）;（2）利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？

我們來看看求解過程：由題意知，x∈＼[1，100＼]，且x∈N*.（1）P（x）=R（x）-C（x）=3000x-20x2-（500x+4000）=-20x2+2500x-4000，MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2500（x+1）-4000-＼[-20x2+2500x-4000＼]=2480-40x.（2）P（x）=-20（x-125/2）2+74125.P（x）的最大值為74120（元）.因為MP（x）=2480-40x是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時，MP（x）的最大值為2440（元）.因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值.除此之外，我們可以得出邊際利潤函數(shù)MP（x）在當(dāng)x=1時取最大值，說明生產(chǎn)第二臺與生產(chǎn)第一臺的總利潤差最大，即第二臺報警系統(tǒng)利潤最大.MP（x）=2480-40x是減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加每臺利潤與前一臺利潤相比在減少.

評注 函數(shù)綜合應(yīng)用題相對難度大一些，考察的范圍也較大，但是，其實(shí)題目所運(yùn)用到的公式還是比較基礎(chǔ)的.這也要求學(xué)生能夠熟練掌握各種函數(shù)的基本運(yùn)算方式以及它們對應(yīng)的運(yùn)算特點(diǎn)，以便在運(yùn)用到大題的時候能夠準(zhǔn)確且靈活地使用.

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[責(zé)任編輯：李 璟]