導(dǎo)數(shù)之我見(jiàn)

朱德花

摘 要：縱觀近幾年全國(guó)各省數(shù)學(xué)高考試卷來(lái)看，導(dǎo)數(shù)是每年高考試題中必不可少的組成部分，高考試題中以選擇題，填空題，簡(jiǎn)答題各種形式出現(xiàn)，每年在高考試題中分值多達(dá)17分左右，其中在高考試題中必然有一道簡(jiǎn)答題，另外一道是填空題或簡(jiǎn)答題。現(xiàn)將高考試卷中導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用可能出現(xiàn)的各種題型及其解題方法歸納如下：

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);極值;最值;單調(diào)性

第一類：曲線y=f（x）在某點(diǎn)處切線問(wèn)題

要解決曲線y=f（x）在某點(diǎn)處切線問(wèn)題，關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y=f（x）在某點(diǎn)x0處切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值，即k=f'（x0）。

1.若求曲線y=f（x）在某點(diǎn)x0處切線方程：先求f、（x），從而求得f、（x0），再代入處切線方程y-f（x0）=f、（x0）（x-x0）。

2.若已知曲線y=f（x）在某點(diǎn)x0處切線方程求參數(shù)值：利用曲線y=f（x）在某點(diǎn)x0處切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值構(gòu)造方程，即k=f、（x0），從而求得參數(shù)值。

第二類：函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性問(wèn)題

要解決函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性問(wèn)題必須先明確函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間必須在定義域范圍內(nèi)討論;然后利用函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)y=f、（x）正負(fù)關(guān)系：解不等式f、（x）>0得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，從而判斷函數(shù)y=f（x）在這區(qū)間上為增函數(shù);解不等式f、（x）<0得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，從而判斷函數(shù)y=f（x）在這區(qū)間上為減函數(shù)。

1.若求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性：先求函數(shù)y=f（x）的定義域，再求導(dǎo)數(shù)y=f、（x），最后解不等式f、（x）>0或f、（x）<0，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性。

第三類：函數(shù)y=f（x）的極值或極值點(diǎn)問(wèn)題

要解決函數(shù)y=f（x）的極值或極值點(diǎn)問(wèn)題必須先明確函數(shù)的定義域，極值或極值點(diǎn)必須在定義域范圍內(nèi)討論;然后利用函數(shù)y=f（x）的極值與導(dǎo)函數(shù)y=f、（x）正負(fù)關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)y=f、（x）在點(diǎn)x0附近左正右負(fù)，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）為函數(shù)y=f（x）的極大值;若導(dǎo)函數(shù)y=f、（x）在點(diǎn)x0附近左負(fù)右正，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）為函數(shù)y=f（x）的極小值。特別要注意：極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值為0，即f、（x0）=0，反之不一定成立。

1.若求函數(shù)y=f（x）的極值或極值點(diǎn)：先求函數(shù)y=f（x）的定義域，再求導(dǎo)數(shù)y=f、（x），其次解方程f、（x）=0，最后根據(jù)方程的解把定義域分成部分區(qū)間列成表格，從而得到相應(yīng)的極值或極值點(diǎn)。

第四類：函數(shù)y=f（x）的最值問(wèn)題

1.若求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間〔a，b〕上最值：先求出函數(shù)y=f（x）極值，再將極值與f（a），f（b）比較大小，其中最大的值為最大值，最小的值為最小值。

2.若求函數(shù)y=f（x）在無(wú)窮區(qū)間上最值：若函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，極大值就是最大值，極小值就是最小值。

第五類：不等式恒成立問(wèn)題

要解決不等式恒成立問(wèn)題首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，關(guān)鍵還是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。

1.若要證明不等式f（x）常數(shù)M：首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）min常數(shù)M，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f（x）的最小值，最終得到所要證明的不等式。

2.若要證明不等式f（x）常數(shù)M：首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）max常數(shù)M，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f（x）的最大值，最終得到所要證明的不等式。

3.若不等式f（x）≤g（a）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）max≤g（a），然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f（x）的最大值，最終得到關(guān)于a的不等式，從而求得a的取值范圍。

4.若不等式f（x）≥g（a）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：首先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）min≥g（a），然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f（x）的最小值，最終得到關(guān)于a的不等式，從而求得a的取值范圍。

第六類：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

根據(jù)零點(diǎn)定義，方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，但是許多方程f（x）=0無(wú)法解出，因此利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。

1.若要說(shuō)明函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn)：首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)，再說(shuō)明兩端函數(shù)值異號(hào)，從而斷定在這個(gè)區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)。

總而言之，導(dǎo)數(shù)是每年數(shù)學(xué)高考試題中必不可少的組成部分，在函數(shù)中占有重要地;此外導(dǎo)數(shù)給我們解決函數(shù)各類問(wèn)題帶來(lái)了極大的方便，往往會(huì)使復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。

參考文獻(xiàn)

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