新課標(biāo)下對“二次函數(shù)解析式的確定”一課的分析與思考

劉習(xí)

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)占據(jù)了半邊天地，函數(shù)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合的思想以及建模思想，與高中知識點有著密切的聯(lián)系。在用函數(shù)解決問題時，首先要能通過各種情境求解出函數(shù)的解析式，本文通過對一節(jié)《二次函數(shù)表達(dá)式的確定》公開課的情景再現(xiàn)與分析，為廣大初中數(shù)學(xué)教師提供思路與參考。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);案例分析;初中數(shù)學(xué)

近日有幸在安徽省合肥市包河區(qū)某研討會上聽了由一位年輕老師執(zhí)教的“二次函數(shù)表達(dá)式的確定”一課，略有感悟，下面筆者將結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）對本節(jié)課進(jìn)行簡要分析并提出一些建議與思考。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

《二次函數(shù)表達(dá)式的確定》一課是建立在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，已經(jīng)掌握了其一般式和頂點式表達(dá)方式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，在《課標(biāo)》中只作為選學(xué)內(nèi)容要求“知道給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù)”[1]。在實際的教學(xué)中，通過圖像或者已知條件確定函數(shù)表達(dá)式這部分內(nèi)容有著舉足輕重的作用，這不僅考查學(xué)生對前面“由形到數(shù)”學(xué)習(xí)的逆向思考的能力，也為后面探究二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，更能讓學(xué)生更好的感受數(shù)形結(jié)合的思想。

二、課堂回顧及分析

由于本課無課堂實錄，故筆者只呈現(xiàn)部分過程

（一）利用信息技術(shù)，讓冰冷的公式充滿活力

師：問題1：（在幾何畫板中出示拋物線y=x2-2x-3）從圖像中我們能獲得哪些信息？

問題2：如果表達(dá)式中的a、b確定，改變c的大小，圖像有哪些特征改變或不變？請同學(xué)們相互交流，說一說你們的發(fā)現(xiàn)。

問題3：若a、c不變，改變b值，圖像特征有何異同？b、c不變，改變a值，有何異同？（進(jìn)行動態(tài)演示）

（1）過程分析

《課標(biāo)》在“課程基本理念“中指出“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理的運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效。執(zhí)教者在該課的開始就運(yùn)用幾何畫板，用控制變量的方法，讓學(xué)生感受二次函數(shù)變與不變的動態(tài)過程，給冰冷、枯燥的解析式注入了生命。

（2）意見及建議

由于本節(jié)課的教學(xué)重點是使學(xué)生通過已知信息用最合適的方法確定解析式，為了明確教學(xué)重點以及使學(xué)生更好的理解，可以將第一環(huán)節(jié)動態(tài)圖形的展示放在第二環(huán)節(jié)探究用待定系數(shù)法確定解析式的教學(xué)之后，并且縮短此部分展示時間，為后面課堂練習(xí)以及學(xué)生展示留有充足的時間。

（二）集思廣益，讓學(xué)生站在課堂中心

師：為了探究解析式如何確定，先從最簡單的y=ax2開始探究

問題1：想要確定此解析式，我們需要知道什么條件呢？思考一下，誰能編一道題嗎？

問題2：解析式y(tǒng)=ax2+k、y=a（x+h）2、y=（x+h）2+k的確定需要知道什么條件？請分別也編一道題。

（1）過程分析

《課標(biāo)》在“課程基本理念“中指出“教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。在本環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生嘗試編題這一教學(xué)活動體現(xiàn)了師生互動、以學(xué)生為主體的思想，學(xué)生在思考過程中，會出現(xiàn)各種創(chuàng)造性思維，每個學(xué)生根據(jù)自己的理解進(jìn)行簡單的題目編制，能夠鍛煉其思維能力，且通過主動獲得的知識對學(xué)生來說也會更加深刻。

（2）意見及建議

九年級的學(xué)生雖然已經(jīng)有了一定的建模思想和數(shù)形結(jié)合的思想，但是直接編制題目對他們來說還是有一定難度的，這在本節(jié)課堂上也有所體現(xiàn)，學(xué)生沉默時間較長，因此教師在設(shè)置此環(huán)節(jié)時，可以先帶學(xué)生回顧一次函數(shù)解析式確定的過程，從而引入二次函數(shù)的教學(xué)，在探究y=ax2時可以通過一個例題來呈現(xiàn)，后面再把時間充分留給學(xué)生，保證本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)更好的完成。

（三）一表多用，讓重難點的解決水到渠成

師：（出示表格）

x -2 -1 0 1 2 3 4 ···

y 5 0 -3 -4 -3 0 5 …

問題1：求此二次函數(shù)的頂?shù)鬃鴺?biāo)及其解析式

師：求解析式，我們首先就要設(shè)解析式，可設(shè)為y=ax2+bx+c，在表格中任意找出三點代入解析式，就能解出a、b、c的值，最后再代回即可。

師：從表格中我們還能獲得哪些信息？能用更簡單的辦法求出解析式嗎？

生1：（舉手）能找到其頂點的坐標(biāo)，可以設(shè)頂點式。（板演）

師：除了找到頂點設(shè)頂點式，還有其他方法嗎？（生1板演時提問）

生2：（舉手）還能找到函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)，可設(shè)交點式。（板演）

師：以上我們共用了三種方法求出了解析式，回顧我們的解題過程，主要包括以下幾個環(huán)節(jié)：設(shè)-代-解-代回。

問題2：若此函數(shù)圖像與y=x-3交于A、B兩點，求△ABC的面積

師：同學(xué)們思考一下，這一問該怎么做？

生：（舉手）作點C在x軸的垂線交直線于N，S△ABC=S△CAN+S△CBN（水平寬，鉛垂高）

師：方法很好，還有另外一種做法，割補(bǔ)法。從C點往y軸做垂線交于P，得到直角梯形OBCP，S△ABC等于直角梯形面積減去兩個直角三角形的面積。兩種方法都可以。

（1）過程分析

《課標(biāo)》中指出：發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，要了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。在第一問求解析式的問題中，執(zhí)教者把本節(jié)課的重難點融合成了一個表格，用表格的形式呈現(xiàn)出函數(shù)的特點，一表多用，使復(fù)雜問題簡單化。學(xué)生通過對表格數(shù)據(jù)的觀察分析，用不同的方法解決問題，此設(shè)計能夠鍛煉學(xué)生的觀察能力、分析和解決問題的能力，同時也能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中一題多解的妙處。第二個問題的設(shè)置能夠考查學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用能力。

（2）意見及建議

首先，第二個學(xué)生用交點式解決問題時，由于教材上并未出現(xiàn)交點式的具體教學(xué)，這屬于課堂的生成性資源，教師可以以此為節(jié)點，追問學(xué)生是如何想到此方法，并對全班進(jìn)行規(guī)范性講解，這既能給學(xué)生展現(xiàn)機(jī)會，提升其數(shù)學(xué)自信，又符合《課標(biāo)》中教學(xué)面向全體學(xué)生的要求。其次，在處理第二個問題時，教師大可把機(jī)會充分留給學(xué)生，讓學(xué)生思考回答不同的方法，效果或許會更佳。

（四）有始有終，讓問題貫穿課堂教學(xué)

師：請同學(xué)們回顧一下，本節(jié)課我們學(xué)到了什么？

生：可以根據(jù)實際情況，用一般式、頂點式和交點式確定解析式。

師：課堂最后，留一個問題給大家思考：若P為AB（二次函數(shù)圖像）上的動點，當(dāng)S△PAB面積的最大時，P點的坐標(biāo)為多少？

分析：讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)是鞏固課堂所學(xué)知識加深學(xué)生對知識印象的很好的辦法，同時也能鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力以及總結(jié)能力。一節(jié)好課的開始是問題，結(jié)尾也應(yīng)當(dāng)留下若干問題[2]。在課堂最后，執(zhí)教者給學(xué)生留下具有一定難度的數(shù)學(xué)問題，不僅能夠加強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識，也能夠讓不同水平的學(xué)生得到不同的發(fā)展，這也符合《課標(biāo)》理念中要求教師要因材施教的要求。

三、結(jié)束語

二次函數(shù)是中考中的重要題型，學(xué)生只有學(xué)會從題干中提取關(guān)鍵信息確定二次函數(shù)的解析式，才能夠繼續(xù)探究其特征和性質(zhì)進(jìn)行解題，在本節(jié)課中，執(zhí)教者突破教材的束縛，進(jìn)行了一節(jié)充滿創(chuàng)新與活力的課堂，當(dāng)然，在本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)中也有值得商榷的地方，這需要每一個教師結(jié)合自身情況以及學(xué)生情況情況進(jìn)行參考與反思。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]化劼.問題引領(lǐng)促思考，追根溯源話正切[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（29）：15-16.

注：本文是合肥師范學(xué)院研究生創(chuàng)新基金：“HPM視角下極限教學(xué)設(shè)計研究院”的研究成果之一（項目編號2020yjs036）