最小二乘法在生豬價(jià)格與恩格爾系數(shù)關(guān)系中的應(yīng)用

林宸

摘 要：2018年末以來，隨著豬流感疫情的不斷傳播發(fā)展，國(guó)內(nèi)的生豬價(jià)格飛漲，這對(duì)人民的生產(chǎn)生活造成了一定的影響。為此本文希望通過研究豬肉價(jià)格和居民生活相關(guān)的恩格爾系數(shù)之間的關(guān)系，探究生豬價(jià)格的變化對(duì)恩格爾系數(shù)的影響。本文根據(jù)最小二乘法，利用EXCEL對(duì)廣州等五個(gè)城市的調(diào)研數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，給出相關(guān)合理解釋，并預(yù)測(cè)2019年的恩格爾系數(shù)。

關(guān)鍵詞：最小二乘法;EXCEL;曲線擬合;預(yù)測(cè);

1.引言

恩格爾系數(shù)是用于衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)居民用于食品類支出占所有花費(fèi)總比重的數(shù)字，由德國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩格爾于19世紀(jì)提出[1]，隨后在不同國(guó)家和地區(qū)得到了廣泛的應(yīng)用。特別地，恩格爾系數(shù)在我國(guó)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中也占有舉足輕重的地位，每年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也不可或缺。由于2018年以來全球各地爆發(fā)的豬瘟疫情蔓延到中國(guó)，使得我國(guó)的生豬行情收到很大影響，各地的豬肉價(jià)格也一路走高，豬肉相關(guān)概念股也隨之飛漲。這激發(fā)本文去探究生豬價(jià)格對(duì)恩格爾系數(shù)的影響關(guān)系，并通過統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的相關(guān)方法，對(duì)此進(jìn)行研究。

另一方面，在進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐的過程當(dāng)中，經(jīng)常遇到一些復(fù)雜的問題，這些問題最終都可以歸納為數(shù)學(xué)方程組。通過對(duì)這些數(shù)學(xué)方程組或者模型進(jìn)行分析和求解，得到問題最終的解。但是并不是所有的模型都可以采用數(shù)學(xué)分析的方法。因此就產(chǎn)生了通過將這些連續(xù)的模型轉(zhuǎn)換為離散的模型，通過差分方法得到最終解。這就是數(shù)值分析發(fā)展的過程，由此產(chǎn)生了一系列的數(shù)值計(jì)算的方法。本文研究的最小二乘法即是其中的一種方法，是一種使用較為廣泛的數(shù)值優(yōu)化方法，是18世紀(jì)勒讓德和高斯共同發(fā)明發(fā)展用于統(tǒng)計(jì)及其誤差推算，應(yīng)用極為廣泛的計(jì)算方法。這方法及其發(fā)展延伸的算法幾乎應(yīng)用于所有的統(tǒng)計(jì)計(jì)算中。包括同學(xué)們考試成績(jī)推算，學(xué)區(qū)房?jī)r(jià)推算及豬肉價(jià)格分析，氣溫和冰鎮(zhèn)可樂銷售量的關(guān)系分析等等[2-4]。最小二乘法是找尋擬合函數(shù)值與實(shí)際函數(shù)值之差的平方和最小的方式，來構(gòu)建該擬合函數(shù)，即所有觀察點(diǎn)的誤差的平方和最小。利用最小二乘法擬合出的曲線，還可以對(duì)其余的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或預(yù)測(cè)。

本文通過觀察不同城市的生豬價(jià)格和恩格爾系數(shù)的關(guān)系，利用最小二乘法的原理，對(duì)其關(guān)系進(jìn)行量化，進(jìn)行曲線擬合，并對(duì)2019年的恩格爾系數(shù)進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)。

2.最小二乘法

2.1 最小二乘法的原理

假設(shè)隨機(jī)變量Y與x存在某種相關(guān)關(guān)系。x是一般變量，而Y是隨機(jī)變量，則對(duì)于每一個(gè)確定的x值，Y有其分布，并且對(duì)于每一組這樣的（x，Y），都有潛在的對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們?nèi)タ疾炱渲械年P(guān)系，求Y的數(shù)學(xué)期望，記為E（Y）。我們記E（Y）=μ（x），其中μ（x）為x的擬合函數(shù)。在實(shí)際問題中，擬合函數(shù)μ（x）一般是未知的，進(jìn)行擬合分析的任務(wù)是在于根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去估計(jì)擬合函數(shù)，并且對(duì)所求出的擬合曲線進(jìn)行分析，討論其是否合理等內(nèi)容。

對(duì)于x取一組不完全相同的值x1，x2…xn，設(shè)Y1，Y2，…Yn分別是其獨(dú)立的觀察結(jié)果，稱（x1，Y1），（x2，Y2），…（xn，Yn）是一個(gè)樣本集合，將其描繪在直接坐標(biāo)系中，得到一系列散點(diǎn)，叫做散點(diǎn)圖。通過散點(diǎn)圖的形狀，可以大致看出擬合函數(shù)μ（x）的表達(dá)形式。一般而言，μ（x）的表達(dá)形式可以是一元函數(shù)形式，也可以是多元函數(shù)形式，針對(duì)一元函數(shù)表達(dá)式，我們令表達(dá)式為μ（x）=a+bx，此時(shí)對(duì)μ（x）進(jìn)行估計(jì)的問題就叫做一元線性擬合問題。假定對(duì)于所觀測(cè)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)（x，Y）都有，Y服從于a+bx，且誤差的絕對(duì)值不超過σ2，記為

2.3曲線擬合

曲線擬合就是從給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)當(dāng)中找出這些數(shù)據(jù)點(diǎn)所呈現(xiàn)的規(guī)律，通常這些點(diǎn)的規(guī)律可以用曲線的函數(shù)方程進(jìn)行表示。曲線擬合廣泛應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐當(dāng)中，是擬合中的一種重要方法。曲線擬合適用于觀測(cè)數(shù)據(jù)的誤差較大，不可能也沒有必要將它作為準(zhǔn)確值來處理的數(shù)據(jù)問題，則只要求所構(gòu)造的函數(shù)盡可能靠近這些采樣點(diǎn)即可。即要求所構(gòu)造的函數(shù)gx和采樣點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，…n）之間滿足某種誤差準(zhǔn)則，如滿足最小二乘法的曲線擬合關(guān)系，

使總的偏差Q最小。按照上述要求構(gòu)造函數(shù)gx的方法，就是曲線擬合方法。其中g(shù)x稱為擬合函數(shù)?？梢娗€擬合方法是用于觀測(cè)數(shù)據(jù)本來就含有不可避免誤差的場(chǎng)合，其中構(gòu)造出的函數(shù)gx不需要都通過這些采樣點(diǎn)（xi，yi），而只需要盡可能的靠近這些采樣點(diǎn)即可。為了提高擬合函數(shù)的精度或準(zhǔn)確性，我們應(yīng)該增大觀察的樣本，提供數(shù)量足夠多的采樣點(diǎn)。

3.最小二乘法的應(yīng)用

本文通過調(diào)研得到五個(gè)城市不同年份的豬肉價(jià)格和恩格爾系數(shù)，對(duì)其進(jìn)行建模分析，利用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，量化二者之間的關(guān)系。然后根據(jù)2019年的豬肉價(jià)格，對(duì)當(dāng)年的恩格爾系數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

通過第二章的公式進(jìn)行計(jì)算，得到每個(gè)城市對(duì)應(yīng)的曲線的參數(shù)值結(jié)果如下表所示：

則可計(jì)算出每個(gè)城市的一元擬合函數(shù)，比如廣州的為y1（x）=0.037293x+31.97762：，則帶入2019年的豬肉價(jià)格35.8，可以得到2019年度的恩格爾系數(shù)33.31271。同理可得其他幾個(gè)城市的擬合函數(shù)和2019年預(yù)測(cè)的恩格爾系數(shù)。

接下來我們將用EXCEL軟件對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并且通過EXCEL圖表的方式對(duì)擬合曲線與點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行直觀的展示。

如圖1所示是五個(gè)城市的豬肉價(jià)格和恩格爾系數(shù)的一元函數(shù)擬合曲線，從圖中可以看出，各個(gè)點(diǎn)都分布在函數(shù)的周圍，并且是以平方和最小的方式排布的。因此我們可以說豬肉價(jià)格對(duì)居民恩格爾系數(shù)有一定的相關(guān)性的影響。1）廣州、南昌、滄州等三市恩格爾系數(shù)隨著豬肉價(jià)格的上漲而升高，呈現(xiàn)正相關(guān)性。成都、溫州兩市恩格爾系數(shù)隨著豬肉價(jià)格的上漲而下降，呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性。這可能是由于成都、溫州兩市本來就在肉類支出較高，因此豬肉價(jià)格上漲之后，適量的減少了采購(gòu)，居民對(duì)豬肉價(jià)格的上漲有很大的調(diào)節(jié)空間。2）而為何廣州豬肉價(jià)格和南昌豬肉價(jià)格相差不大情況下，廣州的恩格爾系數(shù)會(huì)比南昌的要高，這主要是因?yàn)槎鞲駹栂禂?shù)的影響因子較多，豬肉價(jià)格僅是一方面原因，比如廣州對(duì)飲食方面的支出較大，因此雖然廣州的人均GDP較高，但還是豬肉價(jià)格差不多的情況下，出現(xiàn)了恩格爾系數(shù)較大的情況。

綜上，恩格爾系數(shù)和不同城市的飲食文化，消費(fèi)理念也有較大關(guān)系。經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)只是客觀反映實(shí)際情況，但是受多方面因素的影響。并且根據(jù)該擬合曲線，我們可以計(jì)算出2019年的恩格爾系數(shù)，對(duì)重要的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)指標(biāo)預(yù)估。

4.結(jié)論

本文通過對(duì)最小二乘法原理的介紹，描述了其自變量與因變量的關(guān)系，以及怎樣利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算其一元擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)。最后將最小二乘法應(yīng)用到實(shí)際生活當(dāng)中，通過調(diào)研不同城市豬肉價(jià)格和恩格爾系數(shù)，量化了二者之間的關(guān)系。并且利用EXCEL軟件對(duì)這一關(guān)系進(jìn)行了直觀的展示，分析了其中的原因。最后對(duì)2019年為公布的恩格爾系數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，能對(duì)居民的生活質(zhì)量和當(dāng)前經(jīng)濟(jì)形勢(shì)有一個(gè)前瞻性的了解。

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