初中數(shù)學(xué)“二元一次方程組”的教學(xué)實(shí)踐與思考

王春華

摘 要：“二元一次方程組”作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是中考數(shù)學(xué)考試的必考內(nèi)容，也是后續(xù)一次函數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，加強(qiáng)其教學(xué)方案的科學(xué)設(shè)計(jì)顯得尤為重要.本文立足于“二元一次方程組”部分?jǐn)?shù)學(xué)知識教學(xué)，就常用的解法及其在應(yīng)用題求解中的應(yīng)用進(jìn)行了重點(diǎn)探討.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);二元一次方程組;教學(xué)對策

中圖分類號：G632? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? 文章編號：1008-0333（2020）23-0002-02

一、二元一次方程組的常見解法

1.消元法及其應(yīng)用

消元法是求解二元一次方程組中比較常用的一種求解方法，主要適用于同一未知數(shù)的系數(shù)相等或相反時，將兩個方程通過相加或相減的方式消除掉該未知數(shù)，以此就可以通過“消元”處理的方式得到一個一元一次方程.歸結(jié)起來，消元法的應(yīng)用主要包括如下幾個步驟：其一，對二元一次方程組中的兩個方程進(jìn)行仔細(xì)地觀察，看是否兩個方程某一未知數(shù)的系數(shù)保持相等或相反;其二，如果存在上述情況，那么可以采取相加或相減的方式對兩個方程進(jìn)行處理，以此可以獲得一個一元一次方程;其三，通過求解“消元”后的一元一次方程，求解出一個未知數(shù);其四，將求解出的未知數(shù)代入原方程組中，求解出另一個未知數(shù).

例1 解方程組2x+5y=9 ①，3x-5y=6 ②.

解析 通過觀察該方程組，發(fā)現(xiàn)未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，所以可以通過①+②消除y，之后可以列出只包含x的一元一次方程，即：（2x+5y）+（3x-5y）=9+6，求解可得x=3，之后將其代入式①或式②，可求得y=0.6.如此一來，就可以求出最終答案.

除了消元法之外，還有一種類似的求解方法，那么就是消常數(shù)項(xiàng)法，即在求解二元一次方程組的時候兩個方程的常數(shù)項(xiàng)保持一致，此時可以直接將常數(shù)項(xiàng)消除掉，之后可以依照系數(shù)相反或相同的特殊情況，將系數(shù)消除掉.然后可以將方程中的某個未知數(shù)用另一個未知參數(shù)進(jìn)行替代后代入方程組中進(jìn)行求解.

例2 解方程組7x+8y=59

①，10x+3y=59 ②.

解析 通過觀察方程組，發(fā)現(xiàn)①和②式中的常數(shù)項(xiàng)保持一致，此時可以通過做差的方式求得x和y之間的關(guān)系式，然后可以通過加減消元或代入消元的方式進(jìn)行求解.比如，通過式①-式②，可得y=3x/5，之后將其代入式①可得x=5，y=3.

2.換元法及其應(yīng)用

換元法主要是首先假定一個未知參數(shù)，以其對二元一次方程組中的兩個未知數(shù)的值進(jìn)行表示，這樣就可以將待求解的方程組相應(yīng)地轉(zhuǎn)換成一元一次方程組進(jìn)行求解.在應(yīng)用換元法求解二元一次方程組時，主要步驟如下：其一，對二元一次方程組進(jìn)行仔細(xì)地觀察，首先假定一個恰當(dāng)?shù)奈粗獏?shù);其二，用假定的未知參數(shù)對二元一次方程組中的兩個未知數(shù)（x和y）進(jìn)行分別表達(dá);其三，將用假定未知參數(shù)表達(dá)的x與y分別代入二元一次方程組中進(jìn)行求解，這樣最終就可以得出待求的未知參數(shù)x與y.

例3 解方程組

解析 首先對這個二元一次方程組進(jìn)行仔細(xì)地觀察，發(fā)現(xiàn)題目中涉及到分式，此時可以直接將其替換成一個未知參數(shù)，利用整體換元法進(jìn)行求解，即令

3.對稱法及其應(yīng)用

對稱法主要適用于那些二元一次方程組中兩個方程中的形式保持對稱的問題求解中，即將其中某一個方程組中的x，y兩個未知參數(shù)進(jìn)行對換后可以得到另一個方程，或者說這兩個方程處于等價狀態(tài).基于該種方程的對稱性特性，可以直接令x=y，之后代入求解即可.

解析 由于該方程組中①與②兩個方程中的x與y保持對稱狀態(tài)，所以可以直接利用對稱法進(jìn)行求解，令x=y，代入式①可得x=y=22.5.

二、二元一次方程組在應(yīng)用題求解中的應(yīng)用

在應(yīng)用題求解中，二元一次方程組比較常見，具體的求解步驟如下：（1）認(rèn)真審題.搞清楚題目中涉及到的數(shù)量關(guān)系，用x和y對未知數(shù)進(jìn)行表達(dá);（2）找出應(yīng)用題中有關(guān)x和y兩個未知數(shù)的全部等量關(guān)系;（3）基于兩個未知數(shù)的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程組;（4）求解二元一次方程組;（5）對其答案的合理性進(jìn)行檢驗(yàn).

例5 現(xiàn)在有大小兩種運(yùn)貨卡車，3輛小卡車和2輛大卡車每次可以運(yùn)送15.50t貨物，6輛小卡車和5輛大卡車每次可以運(yùn)送35t貨物.試求5輛小卡車和3輛大卡車每次可以運(yùn)送多少噸貨物.

解析 針對該道應(yīng)用題的求解，主要是要確定出每輛小卡車和大卡車每次運(yùn)送貨物的噸數(shù)，所以可以分別將其假設(shè)為x和y，之后根據(jù)題目內(nèi)容可以得到有關(guān)這兩個未知參數(shù)的等量關(guān)系：（1）3x+2y=15.5;（2）6x+5y=35.通過聯(lián)立這兩個方程，求解即可得出x=2.5，y=4，所以可以求得5輛小卡車和3輛大卡車每次可以運(yùn)送為5×2.5+3×4=24.5t.

總之，二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)內(nèi)容.為了幫助學(xué)生順利地突破這部分學(xué)習(xí)重點(diǎn)，教師要重點(diǎn)將消元法、換元法與對稱法等常用的二元一次方程組求解方法傳授給學(xué)生，并要結(jié)合具體的應(yīng)用題幫助學(xué)生理解與掌握二元一次方程組的應(yīng)用步驟，力求不斷提升學(xué)習(xí)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]唐濤.走進(jìn)二元一次方程組[J].初中生輔導(dǎo)，2018（35）：35-42.

[責(zé)任編輯：李 璟]