從經(jīng)典的摸球模型理解傳染病的傳播

譚姣妮

【摘 要】試圖結(jié)合現(xiàn)在的實(shí)際教學(xué)與實(shí)踐，把概率論中從最常見(jiàn)的摸球模型來(lái)簡(jiǎn)單的講解傳染病的隔離治療的必要性從而更好的提高學(xué)生在概率論學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)于各種概率對(duì)現(xiàn)實(shí)意義的理解。

【關(guān)鍵詞】摸球模型;傳染病;現(xiàn)實(shí)意義

一、引言

今年以來(lái)新冠病毒在世界范圍內(nèi)傳播造成了很多人的死亡，也為世界經(jīng)濟(jì)和和平造成了巨大的損失，目前為止每天的新聞報(bào)導(dǎo)中新冠的得病人數(shù)依然在不斷上升，死亡人數(shù)也是觸目驚心。我們的國(guó)家在隔離治療的過(guò)程中取得了很好的效果，雖然戴口罩是個(gè)很簡(jiǎn)單的防護(hù)但是不可否認(rèn)這個(gè)必要的步驟對(duì)于新冠的傳染有很好的阻斷作用。也因?yàn)樾鹿诓《镜拇笠?guī)模傳染讓人們開(kāi)始從各個(gè)不同的角度來(lái)認(rèn)識(shí)傳染病傳播模型但是有些真的非常的專(zhuān)業(yè)對(duì)于大部分而言就是一篇篇高深的學(xué)術(shù)論文根本無(wú)法看懂。所以我想結(jié)合我們概率論中古典概型中最常見(jiàn)最好理解的摸球模型來(lái)簡(jiǎn)單直觀的淺顯的講一下傳染病模型，讓大部分學(xué)生學(xué)以致用更好的理解概率論的現(xiàn)實(shí)意義，以提高對(duì)概率論學(xué)習(xí)的興趣。

二、摸球模型

1.古典概型是概率論中非常重要的一個(gè)一種概型，它是概率論發(fā)展初期的主要研究對(duì)象，它有兩個(gè)要求：1試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素即結(jié)果的數(shù)量是有限的，2試驗(yàn)的每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相同的?，F(xiàn)實(shí)生活中這樣的試驗(yàn)是大量存在的，所以具有一定的實(shí)際意義，又由于等可能概型的一些概念具有直觀而且容易理解的特點(diǎn)，所以在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用。

2.摸球模型的來(lái)源：因?yàn)楣诺涓判驮诂F(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用而且結(jié)果直觀好理解，為了試驗(yàn)的方便以及為了更直觀的講解實(shí)際問(wèn)題所以很多古典概型的試驗(yàn)就用建立了各種摸球的模型來(lái)直觀有效的講解各種實(shí)際問(wèn)題，所以在概率論的學(xué)習(xí)初期大家就會(huì)見(jiàn)到很多的摸球問(wèn)題。

3.摸球模型的建立規(guī)則：我們最常見(jiàn)的摸球模型的基本構(gòu)成就是一個(gè)袋子里面裝著幾個(gè)球，其中有幾個(gè)黑球，幾個(gè)白球或者紅球，這些球除了顏色以外沒(méi)有任何區(qū)別也就是說(shuō)我不可以通過(guò)直接觸摸來(lái)判定我摸到的是什么顏色的球，同時(shí)又有兩種基本的摸球方式一種叫放回抽樣，字面上講就是摸出球后對(duì)于結(jié)果進(jìn)行記錄后再下一次摸球前將摸出的球放回袋中攪勻后再進(jìn)行下一次的取球;另一種叫不放回抽樣，字面上講就是取出球后就不放回去了。

4.摸球模型來(lái)模擬傳染性模型的用意：摸球模型簡(jiǎn)單易懂好理解，即使沒(méi)有很高的文化修養(yǎng)只要有一定的常識(shí)的小朋友都能夠大致的理解所以用摸球模型來(lái)做一些簡(jiǎn)單的科普是比較容易的。所以我們就此講一個(gè)最簡(jiǎn)單易懂的摸球模型來(lái)大致模擬一下傳染病模型。

5.波利亞摸球模型：在概率論課上講全概率公式條件概率時(shí)我們經(jīng)常會(huì)講這么一道例題：

設(shè)袋中裝有r紅球，t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏色后放回，并且再放入a只與所取顏色相同的球，那么若在袋中連續(xù)取球4次，試求第一第二次取得紅球第三第四次取得白球的概率。

解：設(shè)以Ai（i=1，2，3，4）來(lái)表示事件“第i次取得紅球”，則A3，A4分別表示第三次，第四次取得白球。

其實(shí)這道題是一個(gè)非常典型的摸球問(wèn)題，基本上要求所有學(xué)習(xí)概率論的同學(xué)都必須會(huì)做的，可是你知道嗎這就是波利亞用來(lái)描述傳染病的模型。

三、實(shí)際意義

怎么才能把這么一個(gè)經(jīng)典的摸球問(wèn)題與傳染病聯(lián)系起來(lái)呢？這個(gè)模型的最大特點(diǎn)是每一次取出球后就會(huì)增加與取出的球相同顏色的球的個(gè)數(shù)，而與取出球不同顏色的球數(shù)量不增加，這樣每次取出的球什么顏色就增加了下次也取得這種顏色球的概率。如果我們將其中一種顏色的球代表被感染者，另一種顏色的球代表未被感染者，增加的球就是可排除的或者再感染者，這樣我們就很容易得到了一個(gè)傳染病的模型，由此也就很容易得到一個(gè)非常淺顯的道理，每發(fā)現(xiàn)一個(gè)患者就會(huì)增加再傳染的概率，同時(shí)我們也可以從這個(gè)摸球的模型中非常直觀的理解傳染病模型的簡(jiǎn)單規(guī)則以及及時(shí)有效進(jìn)行隔離治療，對(duì)于可能存在的在感染人群的隔離的必要性，這樣我們就很容易理解我們國(guó)家在新冠疫情下做出的決定是非常必要和有效的，事實(shí)也證明了這一點(diǎn)。實(shí)際上這么一個(gè)簡(jiǎn)單的摸球試驗(yàn)不僅僅可以解釋傳染病也可以從另一個(gè)角度來(lái)解釋別的問(wèn)題例如：假設(shè)現(xiàn)在有一種傳染性疾病，我們近期發(fā)現(xiàn)了一種新的治療方案，為了研究這種新方案的效果，我們需要抽取部分病人做醫(yī)療研究并和采取傳統(tǒng)治療病人做對(duì)照試驗(yàn)，這樣的話對(duì)照組合實(shí)驗(yàn)組的人數(shù)是必須完全相同的，但是如果這是一種致死率相當(dāng)高的疾病那么這種實(shí)驗(yàn)顯然是不太理想且不太合適的，這時(shí)候我們的波利亞罐子模型的作用就體現(xiàn)出來(lái)了，模型中的紅球和白球分別代表使用新舊兩種方法的的人數(shù)，用取球后加入個(gè)相同顏色的球來(lái)模擬一個(gè)病人傳染給了個(gè)病人。假設(shè)共有個(gè)病人使用了新方法，個(gè)病人使用了傳統(tǒng)方法，個(gè)人中方法A且治愈了，個(gè)人用方法B且治愈了，用方法且治愈的概率為，未治愈的為;用方法且治愈的概率為，未治愈的概率為，這樣也可以很直觀的評(píng)價(jià)這種的新治療方案是否有效但是當(dāng)然了在實(shí)際應(yīng)用中不可能如此的簡(jiǎn)單粗暴但是這種簡(jiǎn)單的模型確實(shí)可以在很大程度上幫助我們理解和應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。所以在現(xiàn)實(shí)生活中波利亞的這個(gè)模型在醫(yī)療評(píng)價(jià)中也發(fā)揮了極大的作用，尤其是對(duì)于傷害極大無(wú)法設(shè)計(jì)對(duì)照試驗(yàn)的傳染病研究有極重要的意義。

波利亞罐子模型實(shí)際上就是一個(gè)概率論中非常金典的摸球例題，很多人覺(jué)得這么簡(jiǎn)單根本沒(méi)不要去學(xué)大家都知道的東西沒(méi)有必要學(xué)習(xí)也對(duì)概率論學(xué)習(xí)有很大的抵觸情緒覺(jué)得就這么幾種球摸來(lái)摸去沒(méi)有任何意義就是教師在為難學(xué)生，實(shí)際上一個(gè)簡(jiǎn)單的摸球問(wèn)題很可能就是生活中一種常見(jiàn)現(xiàn)象的實(shí)際映射只不過(guò)用摸球的方式來(lái)簡(jiǎn)單直觀的解釋了實(shí)際生活中的實(shí)際問(wèn)題。我希望通過(guò)一些經(jīng)典例題的講解讓更多的學(xué)生能夠理解概率論的實(shí)際意義并學(xué)會(huì)建立模型將麻煩的問(wèn)題簡(jiǎn)單化數(shù)字化更好的使用概率論的原理將生活過(guò)得更美好。

【參考文獻(xiàn)】

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