“十字相乘法”：基于學(xué)生問題，選取HPM視角

賈彬 余慶純

摘要：HPM視角下的“十字相乘法”教學(xué)，按照“預(yù)習(xí)提問—回憶舊知—解讀新知—鞏固運(yùn)用—拓展提升—?dú)w納小結(jié)”的流程，通過“豎式乘法”遷移到“十字相乘法”，重構(gòu)式地再現(xiàn)吉雷特采用十字交叉線進(jìn)行因式分解的過程;嘗試將二次三項(xiàng)式從“二次項(xiàng)系數(shù)為1”向“二次項(xiàng)系數(shù)不為1”延伸，由“三項(xiàng)式”向“四項(xiàng)式”突破，經(jīng)歷“一般到特殊、特殊到一般”的思想歷程，并借鑒數(shù)學(xué)史來解答學(xué)生課前提出的問題。如此，深刻地揭示了數(shù)學(xué)史的知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等多元價(jià)值。

關(guān)鍵詞：HPM 十字相乘法 因式分解

“十字相乘法”是滬教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊第九章第五節(jié)中的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了提取公因式法與公式法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)因式分解的另一個(gè)重要方法。在現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中，“十字相乘法”常見的學(xué)習(xí)方式有兩類：一是將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的因式與結(jié)果互換，得到因式分解的形式，即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）;二是借助十字交叉線，將二次三項(xiàng)式從橫式的分解過渡到豎式的分解。

學(xué)生預(yù)習(xí)“十字相乘法”后，提出了如下一些問題：十字相乘法從何而來？為何要“交叉相乘”，“平行相乘”不可以嗎？十字相乘法只能用于二次三項(xiàng)式嗎？由此可見，以HPM的視角來設(shè)計(jì)本課教學(xué)尤為必要——通過融入數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)學(xué)生了解十字相乘法的歷史來源與發(fā)展過程，理解十字交叉線的作用和意義，感悟十字相乘法的內(nèi)涵。

由此，擬訂的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）經(jīng)歷探究整式乘法的豎式法與因式分解的十字相乘法之間聯(lián)系的過程，理解十字交叉線的作用和意義，掌握十字相乘法，能夠運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解;（2）經(jīng)歷從“二次項(xiàng)系數(shù)為1”到“二次項(xiàng)系數(shù)不為1”的二次三項(xiàng)式的因式分解，拓寬十字相乘法的使用范圍，感悟十字相乘法的本質(zhì)，體會十字相乘法、平方差公式、完全平方公式等知識之間的密切聯(lián)系;（3）古今對比，了解不同數(shù)學(xué)家對十字相乘法發(fā)展的貢獻(xiàn)，積累發(fā)現(xiàn)問題、提出問題與分析問題、解決問題的活動經(jīng)驗(yàn)，體會數(shù)學(xué)的理性精神與人文情懷，形成動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心。

一、歷史材料梳理與解讀

美國數(shù)學(xué)家米勒認(rèn)為，數(shù)學(xué)史最大的作用是給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注入更多的活力，把數(shù)學(xué)概念從靜態(tài)轉(zhuǎn)向動態(tài);通過記錄數(shù)學(xué)家在形成數(shù)學(xué)思想過程中產(chǎn)生的影響，使數(shù)學(xué)人性化。

對1848—1918年間出版的30種美國代數(shù)教科書中的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行考察，可以發(fā)現(xiàn)：所有教科書都討論了形如x2+bx+c的二次三項(xiàng)式的因式分解，有23種教科書還討論了更一般的ax2+bx+c（a≠1）的情形，但是其中的22種教科書均未將x2+bx+c和ax2+bx+c（a≠1）統(tǒng)一起來處理。1896年，吉雷特在《初等代數(shù)》一書中，采用十字交叉線的形式進(jìn)行因式分解，巧妙地將二次項(xiàng)系數(shù)為1和二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式統(tǒng)一了起來，書中給出的一個(gè)分解x2-2x-63的例子如圖1所示。這大概是最早所見的“十字相乘法”了，與今天的形式相似。

那么，吉雷特的“十字相乘法”是從天而降的嗎？文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn)，1830—1930年的美國代數(shù)教科書中，多項(xiàng)式的乘法常借助豎式乘法的形式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，比如多項(xiàng)式x+a乘x+b（如圖2），類似于兩位數(shù)與兩位數(shù)的豎式乘法。1888年的一本教科書中，對10x2+19x+6進(jìn)行因式分解時(shí)指出，10x2最可能的因式是5x和2x，6最可能的因數(shù)是2和3，同時(shí)考慮其交叉相乘再相加后為19x，因此可以得出多項(xiàng)式5x+2乘多項(xiàng)式2x+3的因式分解結(jié)果。同年，尼科爾森借助豎式乘法的形式對6x2+5x-4進(jìn)行因式分解時(shí)，給出了類似的運(yùn)算過程。

美國早期代數(shù)教科書中出現(xiàn)的“十字相乘法”的形式雖然不統(tǒng)一，但對二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)如何拆分得到正確的形式都進(jìn)行了研究。1899年，費(fèi)希爾和施瓦特在其所編寫的教科書中，將各對可能的因式上下對齊，并直接連接“對角線”，如6x2+19x+10，在所有可能的8對因式（如圖3）中，只有最后一對交叉相乘得19x，所以6x2+19x+10=（2x+5）（3x+2）。1912年，杜雷爾在其所編寫的教科書中，將各對可能的因式中的兩項(xiàng)上下對齊，且用虛線連接“對角線”，如10x2+13x-3因式分解的過程如下頁圖4所示。

1913年，楊格與杰克遜在其編寫的教科書中，以12x2-7x-10為例，先列出其可能的因式（如圖5），然后將系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)交叉相乘（如圖6），得到兩個(gè)因式為3x+2和4x-5。12x-10

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

本節(jié)課是以“翻轉(zhuǎn)課堂”的形式進(jìn)行教學(xué)的。課前，學(xué)生先自主閱讀教材第49—52頁的內(nèi)容，觀看HPM微視頻，完成“導(dǎo)學(xué)題”。收集到學(xué)生的課前問題詳見表1。

鑒于此，開展HPM視角下的“十字相乘法”教學(xué)，具體課堂實(shí)施過程如下：

（一）回憶舊知

師回憶一下，前面學(xué)過的因式分解有哪幾種方法？

生提取公因式法、公式法。

師公式法中有哪些公式？

生平方差公式和完全平方公式。

師在因式分解中，平方差公式和完全平方公式的字母表達(dá)式分別是——

生a2-b2=（a+b）（a-b）;a2±2ab+b2=（a±b）2。

（教師板書。）

（二）解讀新知

1.探尋：明確十字交叉線的含義。

[出示思考題：（1）計(jì)算（x+7）（x-9）;（2）因式分解x2-2x-63;（3）在前兩道小題中，觀察整式乘法的豎式草稿與因式分解的十字相乘法草稿之間具有什么聯(lián)系。]

師（出示圖7、圖8）請大家看一下乘法草稿，草稿里的-63和-9x是如何來的？

生都是乘出來的。-63是-9與7相乘，-9x是-9與x相乘。

師下面一行的x2+7x呢？

生7x是x和7相乘，x2是x與x相乘。

師現(xiàn)在把它們交叉相乘的線畫出來，（出示圖9）感覺一下，它與十字相乘法的草稿類似嗎？然后，請找一找，豎式草稿里第一條橫線下面的“項(xiàng)”在十字相乘法的草稿里有嗎？

生x2就是前面那兩個(gè)x乘在一起，-9和7乘起來是-63。

師-9x和7x在哪？

生那兩個(gè)斜著乘的，x乘-9，x乘7。

師（出示圖10）把x與-9乘起來的結(jié)果寫在-9的下方以示對應(yīng)，同樣地，把7和x乘得7x寫在x的下方。（稍停）還有個(gè)項(xiàng)-2x在哪呢？

生那是它們兩個(gè)加起來。

師哦，7x和-9x加起來，省略加號，結(jié)果是-2x。（指著圖9、圖10）對照兩張圖中相乘的線條，你能理解十字交叉線的意義了嗎？

生（點(diǎn)頭）理解了。

2.辨析：約定十字相乘的方法。

師請同學(xué)們思考一下：如果這個(gè)多項(xiàng)式是這樣寫的——-2x-63+x2，那么，草稿該怎么打？

生還是要寫成原來的，就是要降冪排列。

師繼續(xù)思考：（出示圖11）十字相乘的草稿這樣打可以嗎？（出示圖12）這樣打可以嗎？

生可以，但數(shù)字最好放在后面，因?yàn)閷懙臅r(shí)候要按照降冪排列。

師好的，（指著圖12）后一種方法不選用，那可以選用（指著圖11）前一種方法，但為什么同學(xué)們都沒有選用呢？

生前面的x有負(fù)號比較麻煩，還容易錯(cuò)。

師很好！雖然這兩種方法也是正確的，但為了簡便，我們選用（指著圖8）一開始的方法。

3.溯源：了解十字相乘法的歷史。

師有同學(xué)問：誰發(fā)明了十字相乘法？其實(shí)，十字交叉線的起源可追溯到1896年吉雷特的《初等代數(shù)》一書。吉雷特采用十字交叉線進(jìn)行因式分解，（出示前文圖1、圖13）x2-2x-63就是其中一個(gè)例子，這大概是我們最早所見的十字相乘法的例子。

師（指著前文圖1）圖中的“1”表示什么意思？

生就是x。

師那為什么不用x而用1？“1”是什么意思？

生是x的系數(shù)。

師很好！這里是將二次項(xiàng)的系數(shù)分解了。

（三）鞏固運(yùn)用

1.示范：運(yùn)用十字相乘法。

（出示例題：將x2-18x-63因式分解。）

師請一位同學(xué)說一說十字相乘法的草稿怎么打。

生左邊豎著寫兩個(gè)x，表示x乘x;然后，-63可以分解為3和-21，豎著寫在右邊。

師（邊說邊板書，如圖14）檢查一下，對不對？3與x相乘得3x，x與-21相乘得-21x，加起來的結(jié)果等于-18x，與一次項(xiàng)相等。那么，因式怎么寫？

生等于（x+3）（x-21）。

師第一個(gè)因式中的x與草稿中的哪個(gè)x對應(yīng)？

生上面的x。

師課本上十字相乘法的草稿只有上半部分，但是此處最好將橫線下方的一次項(xiàng)以及它們的和寫出來，便于核對系數(shù)的拆分是否正確。（稍停）有同學(xué)提問：為什么十字相乘法要“交叉相乘”？“平行相乘”也可以呀！比如多項(xiàng)式x2-3x+2，（出示圖15）它可以豎著寫x乘x，后面豎著寫-1乘-2，我們是交叉相乘再相加得到-3x的，他認(rèn)為橫著乘再相加也是-3x，為什么不可以這樣打草稿呢？

生二次項(xiàng)系數(shù)為1的時(shí)候還行，但如果二次項(xiàng)系數(shù)不為1，有可能會出現(xiàn)別的情況。

師會出現(xiàn)什么情況呢？這個(gè)問題我們先放一放，先解決二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況。

2.實(shí)踐：積累系數(shù)分解的經(jīng)驗(yàn)。

[出示練習(xí)：將下列各式因式分解，并在空白處寫上十字相乘法的草稿。（1）x2+5x+6;（2）x2-5x+6;（3）x2+5x-6;（4）x2-5x-6。]

師根據(jù)剛才的練習(xí)以及預(yù)習(xí)的內(nèi)容，在十字相乘的過程中，拆分系數(shù)不一定能馬上成功。那么，在試算過程中，有哪些經(jīng)驗(yàn)可以提高成功的可能性呢？現(xiàn)在小組交流一下。

生如果常數(shù)項(xiàng)比較大的話，可以分解素因數(shù)，然后在素因數(shù)中去找需要的數(shù)。

生可以通過常數(shù)項(xiàng)的符號來判斷兩個(gè)數(shù)的正負(fù)，如果它是正的，分解出來的兩個(gè)數(shù)應(yīng)該同正或同負(fù)。這時(shí)，如果中間項(xiàng)是正的，選擇同正;如果中間項(xiàng)是負(fù)的，就選擇同負(fù)。

師如果常數(shù)項(xiàng)是負(fù)的呢？

生如果它是負(fù)的，分解出的兩數(shù)應(yīng)該一正一負(fù)。這時(shí)，如果一次項(xiàng)是負(fù)的，那么負(fù)數(shù)的絕對值要大一點(diǎn);如果是正的，那么正數(shù)的絕對值要大一點(diǎn)。

師這位同學(xué)建議大家先看常數(shù)項(xiàng)，那能不能先看一次項(xiàng)呢？

生如果一次項(xiàng)是正的，那么常數(shù)項(xiàng)分解一種是全正，一種是一正一負(fù)，且正的絕對值要大一點(diǎn);如果一次項(xiàng)是負(fù)的，那么常數(shù)項(xiàng)可以分解為全負(fù)，或者一正一負(fù)，且負(fù)的絕對值要大一點(diǎn)。

師很好！剛才同學(xué)們從符號的角度總結(jié)了經(jīng)驗(yàn)，那么，從數(shù)值的角度有沒有經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

生如果一次項(xiàng)系數(shù)的絕對值比較小的話，就把常數(shù)項(xiàng)拆分成兩個(gè)數(shù)值比較相近的。

生如果一次項(xiàng)系數(shù)的絕對值比較大，比常數(shù)項(xiàng)的絕對值大，那拆出來的兩個(gè)數(shù)要相加，或者說是同正或同負(fù)的。

師同學(xué)們的經(jīng)驗(yàn)都很有道理！還想跟大家分享一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，就是從奇偶性的角度出發(fā)，如果這個(gè)一次項(xiàng)為偶數(shù)，那個(gè)常數(shù)項(xiàng)拆分的兩個(gè)數(shù)要么都是偶數(shù)，要么都是奇數(shù)，也就是同奇偶;如果說一次項(xiàng)為奇數(shù)，那就是一奇一偶。這也是一個(gè)分解的經(jīng)驗(yàn)！

3.解惑：探尋方法之間的聯(lián)系。

師有同學(xué)問：之前學(xué)習(xí)的平方差公式和完全平方公式與十字相乘法有何聯(lián)系？這個(gè)問題該怎么思考？先考慮平方差公式吧，它與十字相乘法有何聯(lián)系呢？

生十字相乘法通常對應(yīng)的是一個(gè)二次三項(xiàng)式，而平方差公式只有兩項(xiàng)，因此可以再加一個(gè)0，后面的項(xiàng)可以分成一正一負(fù)。

師好的。按照這樣的說法，能用十字相乘法來分解嗎？

生a2-b2=a2+0ab-b2，（出示圖16）那草稿前面應(yīng)該是a乘a，后面是b乘-b，然后交叉一下，乘起來是ab和-ab，它們的和等于0。

師那么，完全平方公式也請一個(gè)同學(xué)說說看，這個(gè)草稿怎么打。

生（出示圖17）把a(bǔ)2分成a乘a，b2分成b乘b，然后十字相乘，2個(gè)ab相加得到2ab。

師那么，是不是所有的多項(xiàng)式因式分解都能用十字相乘法呢？先來看這個(gè)問題：若二次三項(xiàng)式x2+bx+c=（x+p）（x+q），則常數(shù)b、c、p、q滿足什么條件？

生把（x+p）（x+q）乘開來，可以得到pq=c，p+q=b。

師也就是說，一個(gè)二次三項(xiàng)式x2+bx+c，如果常數(shù)項(xiàng)c能表示成兩個(gè)數(shù)的積，而這兩個(gè)數(shù)的和等于一次項(xiàng)系數(shù)b，那么就可以通過十字相乘法將這個(gè)二次三項(xiàng)式因式分解。如果和不等于b，就不一定能用十字相乘法分解了。此外，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)c分解為p和q的乘積時(shí)，會有多少對這樣的數(shù)呢？

生（稍停）無數(shù)對。

師無數(shù)對，也就是p和q可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)，這就意味著存在無限的可能。但是這無數(shù)對中，它們的和要與一次項(xiàng)系數(shù)相等，一般只有一種。就這樣，又從無限的分解中一下子回到有限的唯一了。希望大家能體會這種從無限到有限的跌宕起伏！

（四）拓展提升

1.拓展：二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式的因式分解。

[出示拓展題：試將下列多項(xiàng)式因式分解。（1）6x2+19x+10;（2）10x2+13x-3。]

師吉雷特采用十字交叉線進(jìn)行因式分解，巧妙地將二次項(xiàng)系數(shù)為1與二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情形統(tǒng)一了起來。追尋歷史足跡，你能挑戰(zhàn)一下利用十字相乘法將這兩道二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式因式分解嗎？

（學(xué)生運(yùn)用十字相乘法，嘗試因式分解。圖18所示是其中兩例。）

師此時(shí)，“平行相乘”是否也可以呢？不妨來試試看，（出示圖19）4x與15x加起來也等于19x，完全符合條件。那么，這樣的“平行相乘”是不是也可以呢？

生（搖頭）不可以。

生照這樣寫的話，因式是（2x+2）和（3x+5），這樣寫的因式就不對了。

師如果要正確地寫出因式，該如何寫呢？

生要交叉斜著寫。

師這樣交叉寫因式雖然也可以，但我們還是選擇原來“交叉相乘”的方法吧。用十字相乘法因式分解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式時(shí)，分解系數(shù)試算時(shí)要有耐心。其中，第（1）小題，（出示前文圖3）是費(fèi)希爾和施瓦特在其編寫的代數(shù)教科書中給出的試算;第（2）小題，（出示前文圖4）是杜雷爾在其編寫的代數(shù)教科書中給出的試算。數(shù)學(xué)家們在用十字相乘法分解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式時(shí)進(jìn)行的試算，有序而有耐心，直到找到分解的方法。這啟示我們在面對挫折時(shí)，要學(xué)會沉著冷靜、理性思考。

2.提升：二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次四項(xiàng)式的因式分解。

師請觀察用十字相乘法分解因式的各個(gè)結(jié)果：平方差公式的兩個(gè)因式中都有兩項(xiàng)，一項(xiàng)相同，一項(xiàng)相反;完全平方公式的兩個(gè)因式中，兩項(xiàng)都是相同的。一般的二次三項(xiàng)式的因式分解結(jié)果也慢慢一般化了，如6x2+19x+10=（2x+5）（3x+2）的兩個(gè)因式的兩項(xiàng)中，一項(xiàng)都是常數(shù)項(xiàng)，另一項(xiàng)是同類項(xiàng)。那么，有沒有這種可能：因式分解出來，除了常數(shù)項(xiàng)之外，沒有同類項(xiàng)呢？如（2x-1）（3y+4），有沒有一個(gè)多項(xiàng)式因式分解后是這兩個(gè)因式呢？

生有的，乘開來就是6xy-3y+8x-4。

師那么，能否拓展前人的方法，將多項(xiàng)式6xy-3y+8x-4也用十字相乘法來因式分解呢？同學(xué)們試著挑戰(zhàn)一下

（學(xué)生嘗試的草稿如圖20。）

（五）歸納小結(jié)

師回顧一下今天的學(xué)習(xí)過程，你有哪些收獲？

生知道因式分解可以用十字相乘法。

生二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)也能用十字相乘法因式分解。

生感謝吉雷特，讓因式分解又多了一種方法。

生十字相乘法不僅可以用于二次三項(xiàng)式，對特殊的二次二項(xiàng)式與二次四項(xiàng)式也適用。

三、學(xué)生反饋

課后，針對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，對全班學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查。

對于“當(dāng)你看到‘十字相乘法時(shí)，你會想到什么？”的問題，學(xué)生提到的是“十字交叉線”“交叉相乘”“二次三項(xiàng)式”“因式分解”“嘗試”“整體思想”“一般到特殊”“因式橫寫”“符號”“估算”“分解系數(shù)”等關(guān)鍵詞。

對于本節(jié)課印象最深的環(huán)節(jié)，學(xué)生提到的是“創(chuàng)造十字相乘法的人——吉雷特”“十字相乘法與公式法的聯(lián)系”“整式乘法草稿與十字相乘法草稿的聯(lián)系”“在一次次的嘗試中找到方法”“拆分系數(shù)時(shí)的方法”“十字相乘法不局限于二次三項(xiàng)式”“前人不厭其煩的研究精神”“看著簡單的方法竟有這么多故事”等內(nèi)容。

對于“你認(rèn)為這節(jié)課從知識之諧（知識講解是否連貫）、文化之魅（數(shù)學(xué)文化對你有觸動嗎）、探究之樂（你有沒有經(jīng)歷探究，體會思考的樂趣）、能力之助（你解決問題的能力有沒有提高）、德育之效（對你的情感態(tài)度與價(jià)值觀有沒有影響）、方法之美（你有沒有學(xué)到什么數(shù)學(xué)思想方法）六個(gè)方面，有哪些收獲？”的問題，67%的學(xué)生選擇了“知識之諧”，知道十字相乘法與其他方法之間的聯(lián)系;67%的學(xué)生選擇了“文化之魅”，認(rèn)為數(shù)學(xué)歷史豐富，令人感興趣，十字相乘法的發(fā)明者非常偉大，為我們帶來了新的方法;72%的學(xué)生選擇了“探究之樂”，覺得古人探究的過程非常辛苦，喜歡自己探究得到收獲的感覺;69%的學(xué)生選擇了“能力之助”，覺得又學(xué)會了一個(gè)因式分解的方法，并且不僅僅可用于二次三項(xiàng)式;41%的學(xué)生選擇了“德育之效”，覺得數(shù)學(xué)家很偉大，堅(jiān)持總有收獲;62%的學(xué)生選擇了“方法之美”，覺得十字相乘法很有意思，可以和以前學(xué)習(xí)的方法聯(lián)系起來，從特殊到一般，妙用豎式草稿，感悟十字相乘法之美。