CPFS結(jié)構(gòu)理論及其對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示

傅贏芳 喻平

摘要：CPFS是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的一種特殊的優(yōu)良認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其中的概念域及概念系因刻畫了數(shù)學(xué)概念間的等價(jià)關(guān)系及抽象關(guān)系，而區(qū)別于命題網(wǎng)絡(luò)表征;概念域因與命題域的組織方式是相似的，而避免了同一概念從陳述性向程序性轉(zhuǎn)化時(shí)面臨的表征轉(zhuǎn)換問題。基于CPFS結(jié)構(gòu)理論，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別同一概念不同定義之間以及不同概念之間的演繹推理關(guān)系，直觀化表示概念與命題的擴(kuò)展過程，注意設(shè)置需借助概念域解決的問題串，引導(dǎo)學(xué)生選擇概念的不同定義解決相應(yīng)的問題。

關(guān)鍵詞：CPFS結(jié)構(gòu) 概念域 概念系 命題網(wǎng)絡(luò)表征 概念教學(xué)

在影響學(xué)習(xí)的諸多要素中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是決定成效的一個(gè)關(guān)鍵因素。在學(xué)習(xí)心理學(xué)中，不同的研究者對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)成分析各有側(cè)重。皮亞杰用圖式來刻畫學(xué)習(xí)者心理活動(dòng)的框架或組織結(jié)構(gòu)，圖式的發(fā)展經(jīng)歷同化、順應(yīng)和平衡三個(gè)過程;奧蘇貝爾則用可利用性、可辨別性及穩(wěn)定性來反映個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)良程度。這些都是從一般意義上討論個(gè)體的內(nèi)在心理結(jié)構(gòu)?？紤]到數(shù)學(xué)知識(shí)及其組織有其獨(dú)特性，本文基于CPFS結(jié)構(gòu)理論，論述其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響以及對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示。

一、CPFS結(jié)構(gòu)及其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響

（一）CPFS結(jié)構(gòu)

CPFS結(jié)構(gòu)是個(gè)體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，各知識(shí)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中處于一定的位置，知識(shí)點(diǎn)之間具有等值抽象關(guān)系、強(qiáng)抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系或廣義抽象關(guān)系?！癈PFS結(jié)構(gòu)是概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）的統(tǒng)稱。”其中，概念域是指一個(gè)概念的所有等價(jià)定義的圖式。在這組等價(jià)定義中，有一個(gè)最基本的定義——往往是教科書中的定義，稱為該概念的典型定義。它的特點(diǎn)是最易于學(xué)生學(xué)習(xí)，同時(shí)又不失數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。概念系是指?jìng)€(gè)體頭腦中形成的不同概念間的網(wǎng)絡(luò)圖式，這些概念間具有某種強(qiáng)抽象、弱抽象或廣義抽象關(guān)系。

1.概念域與命題網(wǎng)絡(luò)表征。

相比于命題網(wǎng)絡(luò)表征的各種模型，概念域能更準(zhǔn)確地貯存數(shù)學(xué)概念間的邏輯關(guān)系。對(duì)學(xué)習(xí)者而言，在概念獲得與表征階段，數(shù)學(xué)概念是被當(dāng)作一種事實(shí)靜態(tài)地對(duì)待的，屬于陳述性知識(shí)。根據(jù)知識(shí)表征理論，其表征形式之一為命題網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于復(fù)雜的命題網(wǎng)絡(luò)，Collins等人先后提出了層次網(wǎng)絡(luò)模型與激活擴(kuò)散模型，這兩種模型分別以知識(shí)間的從屬關(guān)系和語義關(guān)系來聯(lián)結(jié)各個(gè)不同的概念以及概念的不同屬性。層次網(wǎng)絡(luò)模型明確了從語義記憶中檢索信息的方式。語義記憶由巨大的概念網(wǎng)絡(luò)組成;概念由單元和特征組成，并由一系列聯(lián)想節(jié)點(diǎn)相連。層次網(wǎng)絡(luò)模型主要揭示了陳述性知識(shí)間的縱向關(guān)系，而激活擴(kuò)散模型則在層次網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步刻畫了知識(shí)間的橫向關(guān)系。盡管后者能很好地描摹一般的陳述性知識(shí)的貯存形式，但是，數(shù)學(xué)中一種特殊且非常重要的等價(jià)關(guān)系卻并不能在這個(gè)模型中得到體現(xiàn)。比如，“等腰三角形有兩個(gè)角相等”（記為A1）、“等腰三角形有兩條邊相等”（記為A2）、“等腰三角形是軸對(duì)稱圖形”（記為A3）這三個(gè)特征，在命題網(wǎng)絡(luò)表征中，僅僅作為“等腰三角形”的三個(gè)并列的屬性來貯存。但是，從數(shù)學(xué)的角度來看，A1與A2是等價(jià)的，或者說，具有等值抽象關(guān)系，它們與A3屬性完全不同，A3是等腰三角形的必要非充分條件，因此，在貯存信息時(shí)，它與A1、A2應(yīng)具有不同等的位置。概念域?qū)1、A2從這一系列屬性中區(qū)分出來，并形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者特有的表征形式，它彌補(bǔ)了用命題網(wǎng)絡(luò)形式表征數(shù)學(xué)概念的不足。

概念域的提出具有充分的理論與實(shí)踐基礎(chǔ)。概念域的核心關(guān)系——等價(jià)關(guān)系的識(shí)別與提取，一方面，源于研究者對(duì)學(xué)習(xí)者概念學(xué)習(xí)的觀察與分析。在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)了概念之后，在具體應(yīng)用時(shí)會(huì)出現(xiàn)類型各異的錯(cuò)誤，或是沒有把握概念內(nèi)涵，無法辨認(rèn)概念的反例，或是不能理解概念的變式。另一方面，也基于數(shù)學(xué)概念自身的特點(diǎn)。同一個(gè)數(shù)學(xué)概念可以從不同側(cè)面或角度去刻畫，從而可以構(gòu)成彼此等價(jià)的一組描述。比如，平行四邊形概念的等價(jià)定義有：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;等等。由于數(shù)學(xué)概念的發(fā)展性，等價(jià)定義還可以在不同的結(jié)構(gòu)中進(jìn)行刻畫。比如，圓的定義，在平面幾何中的形式為“平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”，在解析幾何中的形式為“形如x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）的方程所確定的曲線”。

2.概念域與表征轉(zhuǎn)換。

根據(jù)安德森的知識(shí)分類學(xué)，當(dāng)學(xué)習(xí)者運(yùn)用概念解決問題時(shí)，數(shù)學(xué)概念成為一種程序性知識(shí)。其表征形式為產(chǎn)生式系統(tǒng)，即由一系列產(chǎn)生式“如果……那么……”重疊而成。這與知識(shí)的命題網(wǎng)絡(luò)表征結(jié)構(gòu)完全不同。因而，當(dāng)一個(gè)概念由前期的陳述性轉(zhuǎn)為后期的程序性時(shí)，就涉及完全不同的兩種表征形式之間的轉(zhuǎn)換問題，給學(xué)習(xí)造成了一定的困難。這在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程中表現(xiàn)尤為突出。同一個(gè)概念，學(xué)習(xí)的前后階段，其知識(shí)性質(zhì)發(fā)生了變化。比如，對(duì)于平行四邊形的定義“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，在概念形成過程中，學(xué)生通過觀察、概括一系列例子，歸納得到平行四邊形具有的性質(zhì)，并形成一種命題表征形式;但在知覺水平與思維水平的應(yīng)用過程中，學(xué)生需要借助該概念進(jìn)行圖形判斷或命題判斷，此時(shí)，需要激活的是一種動(dòng)態(tài)貯存形式——“如果兩組對(duì)邊分別平行，則這個(gè)四邊形是平行四邊形”。這就要求學(xué)生將前一種命題表征形式轉(zhuǎn)換為后面的產(chǎn)生式。這種轉(zhuǎn)換的需求和難度隨著學(xué)習(xí)的深入，也在不斷增加。比如，圖1是將平行四邊形作為陳述性知識(shí)貯存的命題網(wǎng)絡(luò)片段;下頁圖2是將平行四邊形作為程序性知識(shí)貯存的產(chǎn)生式系統(tǒng)片段。兩者在結(jié)構(gòu)上迥異，導(dǎo)致學(xué)生在解決問題時(shí)，激活與提取的速度產(chǎn)生差異。

在概念域中，概念的不同側(cè)面或角度的表述是以等價(jià)關(guān)系來貯存的，其結(jié)構(gòu)形式與命題域中的結(jié)構(gòu)形式是對(duì)等的。因此，當(dāng)一個(gè)概念隨著學(xué)習(xí)階段的變化，從陳述性轉(zhuǎn)為程序性時(shí)，并不會(huì)帶來表征轉(zhuǎn)換的認(rèn)知負(fù)荷。也就是說，相對(duì)于命題網(wǎng)絡(luò)與產(chǎn)生式系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換而言，概念域與命題域之間由于邏輯上的同等，均為等價(jià)關(guān)系，可以很好地從陳述性知識(shí)形態(tài)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)形態(tài)。

3.概念系與命題網(wǎng)絡(luò)表征。

數(shù)學(xué)概念還有一種特殊性，即在定義新概念時(shí)會(huì)用到已經(jīng)習(xí)得的舊概念。為了能很好地將新舊概念間的這種關(guān)系刻畫出來，喻平借助徐利治先生關(guān)于抽象關(guān)系的定義，進(jìn)一步完善了不同概念間關(guān)系的組織與刻畫。抽象關(guān)系包括強(qiáng)抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系以及廣義抽象關(guān)系。如果從一個(gè)數(shù)學(xué)概念A(yù)中選取某一特征加以抽象，從而獲得比概念A(yù)更廣的概念B，使概念A(yù)成為概念B的特例，就稱A到B的抽象為弱抽象;如果通過引入新的特征來強(qiáng)化原概念A(yù)，從而獲得新概念B，那么概念B是概念A(yù)的特例，則稱A到B的抽象為強(qiáng)抽象;如果在定義概念B時(shí)用到了概念A(yù)，則稱A到B的抽象為廣義抽象。由此，概念間的關(guān)系可以通過這三種抽象關(guān)系來概括。抽象關(guān)系擴(kuò)張了層次網(wǎng)絡(luò)模型中的從屬關(guān)系或激活擴(kuò)散模型中的語義關(guān)系。從屬關(guān)系實(shí)際上對(duì)應(yīng)于強(qiáng)抽象或弱抽象關(guān)系，但不能囊括廣義抽象關(guān)系。

進(jìn)一步地，是以數(shù)學(xué)化的方式來比擬這種結(jié)構(gòu)。假設(shè)用Ri表示強(qiáng)抽象、弱抽象或廣義抽象中的任意一種關(guān)系，用C1，C2，…，Ci，…，Cn表示存在抽象關(guān)系的一組概念，則C1R1C2R2C3…Rn-1Cn構(gòu)成了一條概念鏈。如果兩條概念鏈的交集非空，則稱這兩條概念鏈相交。如果m條概念鏈中至少有一條與其余的都相交，則稱這m條概念鏈所組成的概念網(wǎng)絡(luò)圖式為概念系。因此，由抽象關(guān)系聯(lián)結(jié)構(gòu)成的概念網(wǎng)絡(luò)更加立體、綜合，從而更有助于學(xué)習(xí)者對(duì)相關(guān)概念的激活與提取。

實(shí)際上，網(wǎng)絡(luò)中知識(shí)點(diǎn)之間的抽象關(guān)系蘊(yùn)含著某種思維方法，因而網(wǎng)絡(luò)中知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)包含著數(shù)學(xué)方法，即“連線集”也是一個(gè)方法系統(tǒng)。以概念域來講，它是由某一概念的一組等價(jià)定義構(gòu)成的。等價(jià)與抽象關(guān)系不同，后者可以根據(jù)概念本身的結(jié)構(gòu)——屬加種差來識(shí)別，而等價(jià)關(guān)系的確立卻是建立在邏輯推理的基礎(chǔ)之上的。因此，從這個(gè)意義上來說，概念域中實(shí)際上包含著邏輯推理的方法。命題域、命題系的建構(gòu)過程則更加體現(xiàn)了這一特點(diǎn)。

（二）CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響

個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就有密切關(guān)系。第一，個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)有助于數(shù)學(xué)理解。李渺從CPFS結(jié)構(gòu)的前后變化闡述了它與數(shù)學(xué)理解之間的關(guān)系。第二，個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)有助于問題表征。喻平以高中3個(gè)年級(jí)的學(xué)生為被試，探討個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)與問題表征之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)與問題表征之間有密切關(guān)系：具備良好CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生更能正確、合理地表征問題，從而更能有效地解決問題。第三，個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)與解題自我監(jiān)控能力相關(guān)。另一項(xiàng)研究測(cè)查了學(xué)生的解題自我監(jiān)控能力與CPFS結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)解題自我監(jiān)控能力和CPFS結(jié)構(gòu)有密切關(guān)系;CPFS結(jié)構(gòu)和解題自我監(jiān)控能力獨(dú)立地影響數(shù)學(xué)成績(jī)，CPFS結(jié)構(gòu)相比于解題自我監(jiān)控能力，對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的影響更大。第四，個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)顯著影響解題中的遠(yuǎn)遷移。在解題遷移的研究中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中的遠(yuǎn)遷移與個(gè)體形成的CPFS結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)有助于遠(yuǎn)遷移的產(chǎn)生。在該項(xiàng)研究中，研究者主要針對(duì)CPFS結(jié)構(gòu)中的命題域及命題系進(jìn)行了測(cè)量。第五，個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)與探究問題能力顯著相關(guān)。喻平等人以江蘇省常州市某高中一年級(jí)的學(xué)生為被試，分別測(cè)查了個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)及探究問題能力，發(fā)現(xiàn)兩者顯著相關(guān)，CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)探究問題的成績(jī)有顯著影響。研究進(jìn)一步指出了外部調(diào)控與CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)探究問題的交互作用：在有外部調(diào)控的情況下，優(yōu)良CPFS結(jié)構(gòu)組和不良CPFS結(jié)構(gòu)組的被試在探究中、低難度問題的成績(jī)上有顯著差異，在探究高難度問題的成績(jī)上沒有顯著差異。

二、基于CPFS結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生如果不能全方位、多背景地深入理解概念，沒有在頭腦中形成概念體系，那么，一旦換一個(gè)側(cè)面或角度闡述同一個(gè)概念，他們就會(huì)不知所云。實(shí)際上，概念的一個(gè)定義只是從一個(gè)側(cè)面去刻畫概念，具有一定的片面性，而要做到深入把握概念的內(nèi)涵，就應(yīng)當(dāng)從不同的角度去認(rèn)識(shí)，掌握這個(gè)概念的一組等價(jià)定義?；诖?，喻平提出了一系列在概念學(xué)習(xí)中完善學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略：（1）注重從多個(gè)側(cè)面、多個(gè)角度揭示概念的內(nèi)涵，包括從多種背景、多重層次、多維結(jié)構(gòu)揭示概念的內(nèi)涵;（2）形成概念體系;（3）加強(qiáng)概念的應(yīng)用。在概念域的形成方面，應(yīng)揭示與某一概念等價(jià)的多種不同的存在形式。在概念系的形成方面，應(yīng)從三個(gè)方面概括：其一，建立概念網(wǎng)絡(luò)，可以用概念圖的方法;其二，明示概念之間的關(guān)系;其三，揭示蘊(yùn)含在概念體系中的數(shù)學(xué)思想方法。在概念的應(yīng)用方面，既包含了知覺水平上的應(yīng)用，也包含了思維水平上的應(yīng)用。

從上述分析來看，無論概念域還是概念系，都不是在新學(xué)概念時(shí)能立刻達(dá)成的，其達(dá)成需要經(jīng)歷多次有意識(shí)地回顧與整理的過程。在回溯過程中，尤其要注意以下幾點(diǎn)：

（一）識(shí)別概念間的演繹推理關(guān)系

概念域和概念系的發(fā)展不止囊括了語義關(guān)系或從屬關(guān)系，還有一種重要的關(guān)系隱含在其中，即演繹推理關(guān)系。在概念域中起重要作用的等價(jià)關(guān)系，是同一概念不同定義間的演繹推理關(guān)系;概念系中類似于從相似三角形到全等三角形的定義，也是一種演繹推理關(guān)系。因此，教師在教學(xué)中，不僅要重視不同定義間的演繹推理關(guān)系，也要重視不同概念間的演繹推理關(guān)系。

比如，“全等三角形”與“相似三角形”的關(guān)系。

在現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中，全等三角形的定義是“能夠完全重合的兩個(gè)三角形”。此后，從兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系或?qū)?yīng)角的相等關(guān)系來進(jìn)一步刻畫。因此，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束后，可以形成一個(gè)“全等三角形”的概念域。

相似三角形的典型定義為“各角分別對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形”。此后，同樣是從兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系或?qū)?yīng)角的相等關(guān)系來進(jìn)一步刻畫，從而形成一個(gè)“相似三角形”的概念域。

當(dāng)學(xué)習(xí)者主動(dòng)或經(jīng)由教師的引導(dǎo)意識(shí)到，全等三角形與相似三角形都是在刻畫兩個(gè)三角形的關(guān)系時(shí)，自然就會(huì)產(chǎn)生一種比較。因而，進(jìn)一步意識(shí)到，全等實(shí)際上是相似的一種特殊情形，即相似比為1。由此，可從相似三角形的角度來形成全等三角形新的定義。

再如，“等腰三角形”的認(rèn)識(shí)。

等腰三角形的典型定義是“有兩條邊相等的三角形”，這是小學(xué)階段學(xué)生就已經(jīng)習(xí)得的內(nèi)容。在初中階段，學(xué)生首先習(xí)得“等腰對(duì)等角”的幾何性質(zhì)，進(jìn)一步通過證明，以定理形式得到“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，從而擴(kuò)展了定義的側(cè)面。同時(shí)，學(xué)生還習(xí)得了等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)。至此，教師即可引導(dǎo)學(xué)生思考：能否由“三線合一”來定義等腰三角形？這是一個(gè)演繹推理關(guān)系的識(shí)別過程。根據(jù)全等三角形的“ASA”判定可知，可以由“三線合一”來定義等腰三角形，從而進(jìn)一步擴(kuò)展了原有的概念域。同樣，在學(xué)習(xí)線段的垂直平分線時(shí)，也可進(jìn)一步擴(kuò)展等腰三角形的等價(jià)定義形式。這實(shí)際上弱化了原來的“三線合一”定義，即只要“高線與中線合一”，就是等腰三角形。由此，可以進(jìn)一步證明得到“高線與角平分線合一”“中線與角平分線合一”的三角形也是等腰三角形。

（二）直觀化表示概念與命題的擴(kuò)展過程

隨著學(xué)習(xí)的深入與拓展，學(xué)生頭腦中的概念也會(huì)經(jīng)歷一個(gè)不斷擴(kuò)充、逐漸變得復(fù)雜的過程。因此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意從簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)單元開始，并直觀化表示出來。

1.在概念形成階段，用直觀圖式描述概念間的抽象關(guān)系。

在新授課中，教師往往處理的是概念的典型定義。如果是以概念形成的方式來獲得概念，即由從特殊到一般的過程獲得概念，那么概念與其現(xiàn)實(shí)背景或原型構(gòu)成弱抽象關(guān)系;如果是以概念同化的方式來獲得概念，即由從一般到特殊的過程獲得概念，則概念與其上位概念構(gòu)成強(qiáng)抽象關(guān)系。不管是以何種方式獲得概念，在這一階段都可以用直觀的圖式表達(dá)概念系的片段信息（分別如圖3、圖4）。

2.在概念發(fā)展階段，用等價(jià)關(guān)系刻畫概念間的內(nèi)在聯(lián)系。

在概念的練習(xí)或后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)中，會(huì)發(fā)現(xiàn)諸多與原有典型定義等價(jià)的表述。此時(shí)，教師需要讓學(xué)生明確意識(shí)到這種等價(jià)性，可以與學(xué)生一起完成邏輯推理的過程，并最終用圖示的方式表示出來。

比如“全等三角形”概念擴(kuò)展的直觀圖，如圖5—圖11所示。

當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從一個(gè)分支學(xué)科躍入另一個(gè)分支學(xué)科時(shí)，由于所討論對(duì)象一致而工具不一，導(dǎo)致在不同結(jié)構(gòu)中對(duì)同一概念形成了不同的定義形式。這就需要教師有這種敏感性，并能將其顯性化地揭示出來。

（三）設(shè)置需借助概念域解決的問題串

如果說前面第二階段是幫助學(xué)生形成概念域，那么，相應(yīng)習(xí)題的練習(xí)則是進(jìn)一步鞏固與完善概念域。

比如，“絕對(duì)值”概念學(xué)習(xí)完成后，學(xué)生會(huì)形成如下層次1與層次2構(gòu)建的概念域。

層次1（幾何角度）：數(shù)a的絕對(duì)值是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

可以設(shè)置如下兩類形式的問題：（1）在數(shù)軸上距離原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示什么數(shù)？即運(yùn)用層次1的概念來解答;（2）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是4，這個(gè)數(shù)是多少？則是基于層次2的概念來解答。

當(dāng)教材缺乏某個(gè)層次的問題時(shí)，就更需要教師基于CPFS結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行有意識(shí)的反思，并據(jù)此設(shè)置問題串。

（四）選擇概念的不同定義解決相應(yīng)的問題

理論上，如果一個(gè)概念的一組等價(jià)定義中的某一個(gè)定義能夠解決一個(gè)問題，那么這組等價(jià)定義中的任一個(gè)定義都能解決這個(gè)問題。但是，用不同定義解決同一問題的難度可能是不同的。因此，解題者需要認(rèn)真分析問題，激活概念域，選擇最佳定義解決問題。比如問題：

*本刊曾在2016年第2期呈現(xiàn)CPFS結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究成果，并在2019年第6期、第9期和2020年第1期呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)及其教學(xué)啟示的系列研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 喻平，單墫.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（1）.

[2] Collins A. M.， Quillian M. R. Retrieval time from semantic memory[J]. Journal of Verbal Learning and Verbal Behavior， 1969（8）.

[3] 王甦，汪安圣.認(rèn)知心理學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1992.

[4] 徐利治，張鴻慶.數(shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，1985（2）.

[5] 喻平，馬再鳴.論數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)傳播，2002（2）.

[6] 李渺.試論個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)理解的關(guān)系[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（4）.

[7] 喻平.個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)問題表征的相關(guān)性研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（3）.

[8] 喻平.中學(xué)生自我監(jiān)控能力和CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)的影響[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004（1）.

[9] 喻平.數(shù)學(xué)問題解決中個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)遷移的影響[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004（4）.

[10] 喻平，李渺，楊義瑩.個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)與探究問題能力的關(guān)系研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（3）.

[11] 喻平.CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)命題教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（2）.

[12] 喻平.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[M].南寧：廣西教育出版社，2008.