數(shù)學(xué)概念多元表征的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)及其反思

李冬梅 劉冉

摘 要 數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式的抽象概括，它的特點(diǎn)就是概括性強(qiáng)、抽象度高，傳統(tǒng)教學(xué)活動(dòng)中單一的呈現(xiàn)方式不利于學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)。本文提出基于概念形成與概念同化整合的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，這樣更利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，拓展思維空間，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)的興趣。另外，在運(yùn)用多元表征理論進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷和學(xué)情等。

關(guān)鍵詞 多元表征 數(shù)學(xué)概念 概念形成 概念同化 認(rèn)知負(fù)荷

中圖分類號(hào)：G424? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2020.05.044

Abstract Mathematical concepts refer to the abstract generalization of mathematical relations and spatial forms; It is characterized by strong generality and high degree of abstraction. The single presentation mode of teaching activities in the design does not make use of students deep understanding the essence of concepts. This paper puts forward the teaching activity design of the integration of concept formation and concept assimilation. It can promote students understanding the mathematical concepts， enhance the interest of learning， expand thinking space and optimize the cognitive structure. We should pay attention to students' cognitive load and learning conditions when we use the multi-representations to design teaching activities of mathematical concepts.

Keywords multi-representations; mathematics conception; conception form; conception assimilation; cognitive load

數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式的抽象概括，是建立數(shù)學(xué)公理、法則的基礎(chǔ)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理、判斷和證明的重要依據(jù)，更是展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維、進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具。它具有高度的概括性和抽象性和一定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。[1]正是由于數(shù)學(xué)概念的這三個(gè)特點(diǎn)，造成教學(xué)中學(xué)生難以高效、準(zhǔn)確理解與運(yùn)用。

多元表征起初是由英國(guó)數(shù)學(xué)家迪因斯在上世紀(jì)60年代提出的多元具體化原則，該原則是指為了讓學(xué)生建立抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而呈現(xiàn)給學(xué)生具體的實(shí)物模型或者創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?。?shù)學(xué)概念的多元表征指通過(guò)運(yùn)用多種表現(xiàn)形式表征數(shù)學(xué)概念，反映概念的本質(zhì)含義，促進(jìn)學(xué)生掌握概念的結(jié)構(gòu)，內(nèi)化概念的認(rèn)知圖式。它在教學(xué)中的作用主要表現(xiàn)在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解，提升學(xué)習(xí)的趣味性;拓展學(xué)生的思維，促進(jìn)積極認(rèn)知投入;豐富學(xué)生的知識(shí)，優(yōu)化其認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1 運(yùn)用多元表征進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的過(guò)程

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)就是教師通過(guò)實(shí)施有效的教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生能夠概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的共同本質(zhì)屬性，形成概念表象，理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，建構(gòu)良好的概念圖式。教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)在其中起到重要作用。通常學(xué)生理解概念主要是概念形成和概念同化兩種方式，[2]在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，除了基于概念形成、概念同化的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)外，最重要的是基于概念形成與同化整合的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)。

基于概念形成與概念同化整合的多元表征教學(xué)設(shè)計(jì)，即綜合考慮概念形成和概念同化的特點(diǎn)，并結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。其教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的過(guò)程：（1）復(fù)習(xí)舊知;（2）呈現(xiàn)新知的具體實(shí)例;（3）抽象概念實(shí)例的共同屬性;（4）建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，深化理解;（5）運(yùn)用概念。特別是在呈現(xiàn)新知的具體實(shí)例、抽象概括共同屬性和建立新舊知識(shí)的聯(lián)系三個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要巧用多元表征，注重學(xué)生原有知識(shí)基礎(chǔ)，觀察分析概括概念的本質(zhì)屬性，建構(gòu)新的認(rèn)知圖式。下面我們以一元二次方程的概念教學(xué)為例，說(shuō)明如何進(jìn)行概念形成與概念同化整合的多元表征教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)。

1.1 復(fù)習(xí)舊知識(shí)

（1）以前我們學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程，請(qǐng)同學(xué)們寫出一個(gè)一元一次方程，說(shuō)出它的一般形式（ ?a≠0），并從中概括出一元一次方程的特點(diǎn)。

（2）下列哪些方程是一元一次方程？

在復(fù)習(xí)舊課環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)兩個(gè)題目，題目1通過(guò)舉例，讓學(xué)生回憶一元一次方程的形式，并概括出它的一般形式，學(xué)生的思維經(jīng)歷了特殊到一般的形式，能夠快速撲捉到一元一次方程的特點(diǎn)，快速推出它的一般形式。題目2是運(yùn)用一元一次方程的概念進(jìn)行判斷，即能夠運(yùn)用概念做簡(jiǎn)單的分析判斷。復(fù)習(xí)舊知識(shí)，這部分設(shè)計(jì)，主要的是為學(xué)習(xí)一元一次方程的概念建立聯(lián)系、搭建支架，為同化新概念做鋪墊。在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的表征形式上，教師也運(yùn)用情境表征、語(yǔ)言表征、模型表征等多種形式。

1.2 探索新知識(shí)

1.2.1 呈現(xiàn)問(wèn)題

列出下面各題的數(shù)量關(guān)系式，并說(shuō)說(shuō)它們有什么特點(diǎn)？

（1）正方形桌面的面積是2m2，設(shè)正方形桌面的邊長(zhǎng)是xm，則邊長(zhǎng)與面積之間的數(shù)量關(guān)系怎么用方程表示？

（2）矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是19m，花圃的面積是24m2，設(shè)花圃的寬是xm，花圃的長(zhǎng)是（19-2）m，則花圃的寬與面積之間的數(shù)量關(guān)系怎么用方程表示？

（3）長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端到墻面的距離比梯子的頂端到地面的距離多1m，設(shè)梯子的底端到墻面的距離是xm，怎么用方程描述其中的數(shù)量關(guān)系？

1.2.2 獨(dú)立思考

老師先讓學(xué)生思考5分鐘，獨(dú)立嘗試求解。

1.2.3 討論分析

教師組織學(xué)生分小組交流合作討論，建立同桌，前后位之間4人一個(gè)小組，就問(wèn)題展開(kāi)小組討論，分析問(wèn)題的思考過(guò)程，解答流程。教師可以依次與每個(gè)小組交流，查看學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對(duì)學(xué)生的問(wèn)題，并作必要的引導(dǎo)。

1.2.4 小組匯報(bào)

根據(jù)學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)的情況，教師請(qǐng)各小組代表分別分享各自的答案，并就每個(gè)問(wèn)題講述下思考過(guò)程，教師并做引導(dǎo)與點(diǎn)評(píng)。

1.2.5 歸納總結(jié)

針對(duì)學(xué)生求解的方程，，，，引導(dǎo)學(xué)生化簡(jiǎn)方程，小組合作交流，看看這些方程有哪些特點(diǎn)？由學(xué)生總結(jié)出一元二次方程的含義，特點(diǎn)，教師做最后的重點(diǎn)說(shuō)明，并就一元二次方程的一般式（a、b、c是常數(shù)，a≠0）中各部分的名稱與系數(shù)做重點(diǎn)講述。

1.3 鞏固練習(xí)

當(dāng)堂練習(xí)1：下列方程中哪些是一元二次方程？

當(dāng)堂練習(xí)2：將方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

在探索新知識(shí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)三個(gè)具體的問(wèn)題情境，通過(guò)組織學(xué)生思考，討論，列出每道題的方程，然后觀察、分析、討論交流，歸納出一元二次方程的概念和特點(diǎn)，理解一元二次方程的一般形式，建構(gòu)一元二次方程的認(rèn)知圖式。在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷“獨(dú)立思考—討論分析—小組匯報(bào)—?dú)w納總結(jié)”這一學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)自身數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力和合作交流能力。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)兩個(gè)題目，練習(xí)1是關(guān)于一元二次方程概念的判定，練習(xí)2是關(guān)于一元二次方程各個(gè)項(xiàng)與系數(shù)的掌握情況，通過(guò)上面的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，這兩個(gè)教學(xué)目標(biāo)很自然的就能達(dá)到。在多元表征方法的運(yùn)用上，兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師采用了情境表征、語(yǔ)言表征、符號(hào)表征和模型表征等相結(jié)合，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知思考，交流討論，在小組合作交流中，更好地理解一元二次方程的概念，最終內(nèi)化認(rèn)知圖式。此外，通過(guò)該教學(xué)設(shè)計(jì)，也反映出教學(xué)設(shè)計(jì)者背后的教學(xué)理念。在知識(shí)觀上，反映出知識(shí)的獲得是由學(xué)生基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)形成的。在學(xué)生觀上，摒棄了傳統(tǒng)教學(xué)中的直接灌輸，反映出知識(shí)的學(xué)習(xí)并不簡(jiǎn)單由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞，而是學(xué)生通過(guò)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)同化新知識(shí)，豐富和改造自身知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)觀上，教學(xué)就是要激發(fā)學(xué)生原有的相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“生長(zhǎng)”，教師的角色是一個(gè)引導(dǎo)者、促進(jìn)者。

2 運(yùn)用多元表征進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的反思

通過(guò)對(duì)以上教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的分析，我們自然有這樣的疑問(wèn)，運(yùn)用多元表征法進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)，我們需要注意什么問(wèn)題？是否表征形式越多越好呢？我們覺(jué)得應(yīng)從以下兩個(gè)方面考慮：

（1）有效的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)取決于認(rèn)知負(fù)荷。認(rèn)知負(fù)荷理論是由Sweller等人證實(shí)并發(fā)展來(lái)的理論，認(rèn)知負(fù)荷指工作記憶系統(tǒng)針對(duì)某一具體的學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行加工和保持信息過(guò)程中所承受的負(fù)荷總量，它包括外在認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、有效認(rèn)知負(fù)荷。外在認(rèn)知負(fù)荷指由于教師教學(xué)內(nèi)容選擇不當(dāng)，教學(xué)內(nèi)容組織呈現(xiàn)方式不當(dāng)導(dǎo)致與認(rèn)知加工過(guò)程無(wú)關(guān)的活動(dòng)。[3]它指向教師所選擇的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式是否恰當(dāng)。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷指所學(xué)的內(nèi)容材料本身所含有信息的數(shù)量以及各信息之間相互作用而對(duì)認(rèn)知加工活動(dòng)所產(chǎn)生的消極影響。它在一定程度上反映了學(xué)習(xí)任務(wù)的復(fù)雜性和難易度，學(xué)習(xí)任務(wù)越復(fù)雜，其產(chǎn)生的內(nèi)在負(fù)荷就愈大。有效認(rèn)知負(fù)荷指學(xué)生針對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行認(rèn)知加工處理，建構(gòu)認(rèn)知圖式的過(guò)程中產(chǎn)生的認(rèn)知負(fù)荷，它指向于學(xué)生自身學(xué)習(xí)的過(guò)程。根據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生的外在認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷與有效負(fù)荷三者負(fù)荷的總和應(yīng)控制在學(xué)生負(fù)荷總量的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)，有效的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)遵循的原則應(yīng)該是降低外在負(fù)荷，內(nèi)在負(fù)荷，增加有效負(fù)荷，引導(dǎo)以促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知圖式。

（2）有效的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)充分考慮學(xué)生的學(xué)情。既然認(rèn)知負(fù)荷理論決定了教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，所以依據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論的基本觀點(diǎn)，教師有效的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)必須充分考慮學(xué)生的學(xué)情。比如說(shuō)學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯思維水平和學(xué)習(xí)方式等等。只有充分考慮學(xué)生的學(xué)情，根據(jù)不同的學(xué)生學(xué)情，精選學(xué)習(xí)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，才能將外在認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷與有效負(fù)荷降到學(xué)生所成承受的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)。

基金：湖南省2019年普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2019-291-477）

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