基于GARCH-MIDAS模型對股市波動率預(yù)測

劉國山， 王 璐， 劉 亞

（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 610031）

股市波動率不但在金融監(jiān)管、投資組合選擇和風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域起著至關(guān)重要的作用，并且也影響著廣泛投資人的決策. 金融市場的劇烈波動強(qiáng)大的溢出效應(yīng)對經(jīng)濟(jì)運(yùn)行產(chǎn)生了巨大影響，因此監(jiān)管機(jī)構(gòu)極力避免劇烈的市場波動，學(xué)者們也十分重視對股票市場波動率的研究. 在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，最常使用的實(shí)證模型是由Bollerslev［1］最早提出的廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型. 然而Ghysels 等［2］發(fā)表的一份頗具影響力的論文表明：由于GARCH 族模型嚴(yán)格受到數(shù)據(jù)頻率的限制，它們并不適用于探究長期資本市場的波動性.相反，Engle等［3］提出的GARCH-MIDAS 模型有著優(yōu)于傳統(tǒng)模型的表現(xiàn). 該模型將波動率分解為兩個部分：短期波動和長期趨勢. 短期波動包含了GARCH 過程捕獲的高頻波動，長期趨勢包含了GARCH 過程捕獲的低頻波動. 由于GARCH-MIDAS模型能夠克服金融變量因?yàn)椴煌闃宇l率導(dǎo)致的復(fù)雜性，該模型在實(shí)證預(yù)測中被Pan等［4］廣泛采用.

然而標(biāo)準(zhǔn)的GARCH-MIDAS模型對股市波動率的解釋仍存在一定的缺陷. 首先，它在短期的預(yù)測中只采用簡單的GARCH（1，1）模型，這使得該模型無法適應(yīng)金融市場的一些較為典型的現(xiàn)象，如杠桿效應(yīng)，超峰態(tài)和波動聚集［5］等. Liu等［6］的研究結(jié)果表明有必要對GARCH 模型各種變體的預(yù)測準(zhǔn)確性進(jìn)行深入評估，許多研究將非對稱效應(yīng)納入了股票波動率預(yù)測模型中. Pan 和Liu［7］等相關(guān)研究都表明考慮非對稱效應(yīng)的GARCH 模型表現(xiàn)優(yōu)于一般的GARCH 模型. 因此，我們并不只用標(biāo)準(zhǔn)GARCH 模型對波動率中的短期成分進(jìn)行擬合，而是運(yùn)用更復(fù)雜的GARCH 族模型，如GJR-GARCH和EGARCH模型.

另外，GARCH-MIDAS模型無法解釋極端事件的影響，而理解極端事件的沖擊有助于解釋市場波動性.當(dāng)事件發(fā)生時，比起小的股價波動，人們更關(guān)心大的股價波動，一系列外生變量，如局部戰(zhàn)爭，政治事件和金融危機(jī)等會使市場波動加劇. Schwert［8］的研究表明無論用月收益率、日收益率還是每15分鐘的收益率進(jìn)行衡量，市場壓力都會伴隨著高強(qiáng)度的市場波動，例如1987年的股市崩盤和2007年的次貸危機(jī)，因此極端事件與極端波動是緊密相關(guān)的. 根據(jù)Jacob［9］的研究，GARCH 模型的預(yù)測性能可以通過加入極值估計(jì)量得到提升. 因此本文將極值效應(yīng)納入模型設(shè)計(jì)中.

綜上，現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于非對稱效應(yīng)和極值效應(yīng)對股市波動，特別是中國股市波動影響的研究存在不足.而由于非對稱效應(yīng)和極值效應(yīng)均在股市波動率預(yù)測中有著重要作用，本文對GARCH-MIDAS模型進(jìn)行修正，將兩種效應(yīng)納入修正后的模型中. ①采用了更為復(fù)雜的GARCH族模型來刻畫金融市場的特殊現(xiàn)象. 我們采用GARCH、GJR-GARCH和EGARCH模型來擬合GARCH-MIDAS模型中的短期波動. 如GJR-GARCH模型［10］和EGARCH模型［11］等模型在Hou和Suardi等［12］的研究中已被證明具有良好的樣本外預(yù)測能力；②其次，我們探討了極端沖擊在波動率預(yù)測中的重要性. 與現(xiàn)存的大多研究類似，我們將以超過某些臨界值的閾值為準(zhǔn)，來識別極端波動率，基于Huang和Ar?soy等［13］的研究，我們使用收益率的經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)來確定閾值. 與以往的研究只關(guān)注極端沖擊的整體影響不同，我們將極端值變化分解為兩部分：極端正沖擊和極端負(fù)沖擊. 顯然我們的擴(kuò)展模型不僅可以描述大的“好消息”而且可以描述大的“壞消息”對股價波動的影響.

1 模型設(shè)計(jì)

1.1 GARCH-MIDAS模型

在研究股票波動問題上，現(xiàn)有方法大多都是用月度或是季度數(shù)據(jù)來構(gòu)造模型，或是降低股市數(shù)據(jù)頻率.這樣做容易丟失股市中的高頻有效信息，使得參數(shù)估計(jì)和波動率預(yù)測有所偏差［14］，Ghysels［2］和Pettenuzzo等［15］率先提出了混頻的抽樣模型（MIDAS），Engle等［3］進(jìn)一步將MIDAS運(yùn)用到廣義自回歸條件異方差模型中，提高了參數(shù)估計(jì)的有效性和波動率預(yù)測的準(zhǔn)確性.

假設(shè)ri,t是t 月i 日的對數(shù)收益率，該GARCH-MIDAS模型中的收益率和波動率的描述如下：

其中：α>0;β>0;α+β<1. 此外，長期趨勢tt受已實(shí)現(xiàn)波動率RV的影響，具體形式為：

其中：μ，ω，ω1，ω2，m，θ 均為待估參數(shù)；RVt由每月的日收益率平方和計(jì)算得出；K為低頻變量的最大滯后階數(shù)，根據(jù)engle［3］和asgharian等［4］的研究，本文選用K=24. φk(ω1,ω2)表示β 型滯后變量的權(quán)重函數(shù)，因?yàn)棣?多項(xiàng)式更加靈活［16］. 因此我們假定在表達(dá)式（6）中的權(quán)重函數(shù)為β 型函數(shù)：

一般固定ω1=1，為了保證滯后變量的權(quán)重呈衰減形式（距離當(dāng)期越近，對當(dāng)期的影響就越大），由系數(shù)ω2來決定低頻數(shù)據(jù)對高頻數(shù)據(jù)影響程度的衰減速度. 此時，Beta權(quán)重函數(shù)簡化為：

其中：α，β 為待估參數(shù)，根據(jù)收益率的分布函數(shù)和模型設(shè)定，用極大似然估計(jì)得出所需參數(shù)，極大似然函數(shù)為：

1.2 擴(kuò)展的GARCH-MIDAS模型

繼Cont［17］之后，一些GARCH類模型都具有描述波動聚集性、無限持續(xù)性和非對稱杠桿效應(yīng)的能力. 因此，在標(biāo)準(zhǔn)的GARCH-MIDAS模型中，盡管短期波動gi,t采用GARCH（1，1）模型在某些情況下對股票價格有較好的擬合效果，但我們嘗試采用更復(fù)雜的GARCH 型模型來對短期波動進(jìn)行擬合，包括GJR 和EGARCH.另外為了探討加入極端沖擊是否可以改善對股票價格波動的預(yù)測. 為此我們在各種GARCH-MIDAS 模型中加入了極端沖擊. 基于Huang［15］的論文，為了研究極端沖擊對波動率預(yù)測的影響，我們對表達(dá)式（6）中的長期趨勢進(jìn)行了如下修正：

模型1：GJR-GARCH-MIDAS模型

我們使用GJR（1，1）模型［11］來代替等式（5）中的GARCH（1，1）模型，以便更進(jìn)一步研究股票收益率波動中非對稱效應(yīng).

其中：I()代表指示函數(shù)，γ 代表非對稱杠桿系數(shù)，可以捕捉非對稱效應(yīng). 這里I(?)=1 或是I(?)=0，其余的參數(shù)定義同章節(jié)1.1一致.

模型2：EGARCH-MIDAS模型

指數(shù)GARCH 模型（EGARCH）是由Nelson［12］提出的一個非線性的GARCH 類模型. 這里用EGARCH 來代替GARCH（1，1）模型：

這里的參數(shù)定義與式（5）和式（11）一致.

模型4：GJR-GARCH-MIDAS-ES模型

為了考慮非對稱效應(yīng)和極端沖擊的共同影響，我們在GJR-GARCH-MIDAS 模型（即模型1）中的長期趨勢中加入極值影響. 其表達(dá)式如下：

其中：參數(shù)與式（12）和式（11）定義一致.

模型5：EGARCH-MIDAS-ES模型

EGARCH-MIDAS-ES 模型是EGARCH-MIDAS 模型（即模型2）的擴(kuò)展，它研究了對數(shù)條件波動率的動態(tài)變化. 我們在擴(kuò)展的模型中加入了長期波動率受到的極端正沖擊和負(fù)沖擊的影響. 模型5的定義為：

這里參數(shù)與式（14）和式（11）定義一致.

2 數(shù)據(jù)與描述性統(tǒng)計(jì)

上證50指數(shù)挑選上海證券市場規(guī)模大、流動性好的最具代表性的50只股票組成樣本股，反映了上海證券市場最具影響力的一批龍頭企業(yè)的整體狀況，對其進(jìn)行比較準(zhǔn)確的預(yù)測，將會有很重要的經(jīng)濟(jì)意義［19］. 本文選取上證50指數(shù)自2004年1月5日到2019年6月28日的收盤價共3762個樣本數(shù)據(jù). 我們將整個數(shù)據(jù)集劃分為樣本外和樣本內(nèi)兩個數(shù)據(jù)集，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)集包含2004年1月5日到2013年9月16日共2355個數(shù)據(jù)，樣本外數(shù)據(jù)包含從2013年9月17日到2019年6月28日共1407個數(shù)據(jù). 所有數(shù)據(jù)均來自銳思數(shù)據(jù)庫，股市收益率為收盤價格的自然對數(shù)差分形式，并且擴(kuò)大了100倍. 收益率計(jì)算公式為：

其中Pi,t表示t 月i 天的收盤價.

圖1 收益率和波動圖Fig.1 Trend charts of returns and volatility

圖1是上證50指數(shù)的收益率時序圖和波動圖，這里波動采用收益率的平方代替. 從圖1可以看出，收益率表現(xiàn)出很強(qiáng)的自相關(guān)性，當(dāng)收益率的自相關(guān)系數(shù)有很強(qiáng)的持續(xù)性并且無顯著的平滑衰減時. 標(biāo)準(zhǔn)的Garch模型可能無法有效地?cái)M合波動率走勢，因?yàn)椴▌勇示哂忻黠@的期限特征，并受到長短期不同成分的影響［20］，因此對波動率進(jìn)行長短期分解有助于波動率的建模和預(yù)測.

表1給出了上證50收益率的描述性統(tǒng)計(jì). 由表1可得，樣本均值接近零，但收益率的相應(yīng)方差較大. 回歸具有負(fù)偏斜，意味著該序列左尾比右尾更長，即極端損失比極端收益出現(xiàn)的概率更大. Jarque-Bera 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明收益率具有顯著的非正態(tài)分布. ADF檢驗(yàn)結(jié)果表明，在1%顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該收益率序列平穩(wěn)，可以直接建模而無須進(jìn)一步變換.

表1 收益率的描述性統(tǒng)計(jì)Tab.1 Descriptive statistics of returns

3 實(shí)證結(jié)果分析

3.1 模型估計(jì)

圖2是真實(shí)波動與預(yù)測的條件方差走勢圖，其中真實(shí)波動用收益率的平方代替. 表2為所有模型的極大似然估計(jì)結(jié)果及相應(yīng)的漸進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)誤差. 表中大多數(shù)參數(shù)均顯著，這表明我們研究的混合數(shù)據(jù)樣本模型框架非常適用于股票收益率的擬合. 首先，GARCH系列模型的參數(shù)（μ，α，β）在統(tǒng)計(jì)意義上都是顯著的，這表明上證50收益率在短期波動上具有強(qiáng)烈的波動聚集效應(yīng). 其次，所有估計(jì)的α+β 之和均小于1，但都接近于1，這表明波動率存在較高的持久性，這與Engle和Rangel［21］的研究結(jié)論一致. 同時，除模型4以外，所有模型的估計(jì)值α都顯著大于0，表明過去的信息提升了股票收益率的波動性. 再次，參數(shù)γ 在模型2（EGARCH-MIDAS）、模型4（GJR-GARCH-MIDAS-ES）和模型5（EGARCH-MIDAS-ES）中均顯著大于0，即非對稱效應(yīng)在這些模型中均存在. 這表明，負(fù)面沖擊對股票收益的短期波動性的影響比正面沖擊更甚［22］.

圖2 真實(shí)波動和預(yù)測波動走勢圖Fig.2 Trend charts of real and forecast volatilities

表2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.2 The estimation results of parameters

續(xù)表

此外，我們發(fā)現(xiàn)θ-*，θ+*和在所有模型中均大于0，這證實(shí)了極端沖擊對股票收益的波動具有強(qiáng)烈影響，這表明極端影響可能是股票持續(xù)波動的根源［23］.

診斷性檢驗(yàn)使用了對數(shù)似然（log（L）），Akaike 信息標(biāo)準(zhǔn)（AIC）和Hannan-Quinn 信息標(biāo)準(zhǔn)（HQC）三種標(biāo)準(zhǔn). 以log（L）為準(zhǔn)，模型5（EGARCH-MIDAS-ES）的log（L）值最大：以AIC 和HQC 為準(zhǔn)，模型5 的AIC值和HQC 值均為最小. 這表明，從本文使用的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)來看，模型5 對于股票收益波動的樣本內(nèi)擬合效果最佳.

3.2 樣本外預(yù)測

本文參考尚玉皇和鄭挺國［24］的方法，首先得到樣本內(nèi)的估計(jì)值，而后計(jì)算樣本外的日波動率的預(yù)測值，再根據(jù)預(yù)測均方誤差（MSE），預(yù)測絕對誤差（MAE）和（QLIKE）三種損失函數(shù)來計(jì)算預(yù)測的評價標(biāo)準(zhǔn).

但是，很難肯定地說損失值最小的模型就一定明顯優(yōu)于其他模型. 因此，我們采用了Hansen等提出的模型置信集［26］（MCS）測試. 與SPA測試相比，MCS測試不需要指定基準(zhǔn). MCS檢驗(yàn)從所有模型中順序刪除性能最差的模型，直到在α顯著性水平上不再拒絕相等預(yù)測準(zhǔn)確度（EPA）的零假設(shè)，然后存活下來的模型集合構(gòu)成了MCS. Liu等［27］的研究表明，將閾值設(shè)置為0.10更有助于挑選出最佳的模型. 從表3列出的MCS檢驗(yàn)結(jié)果來看，對于損失函數(shù)MSE，所有擴(kuò)展模型對應(yīng)的p 值均大于0.10，這表明這些擴(kuò)展模型相較于標(biāo)準(zhǔn)GARCH-MIDAS模型而言有更好的預(yù)測效果. 如果對三個損失函數(shù)同時進(jìn)行考察，則只有模型3、4和5的p 值均大于0.1，并且模型5的p 值遠(yuǎn)高于其他兩個模型.

表3 MCS檢驗(yàn)Tab.3 MCS tests

另外，采用DM檢驗(yàn)來比較標(biāo)準(zhǔn)GARCH-MIDAS模型和擴(kuò)展模型之間的預(yù)測準(zhǔn)確性，以標(biāo)準(zhǔn)GARCH-MIDAS模型為參照，使其和5個各擴(kuò)展模型分別進(jìn)行比較. 該檢驗(yàn)的原假設(shè)為：兩種預(yù)測方法的預(yù)測準(zhǔn)確率的差異在統(tǒng)計(jì)學(xué)上不顯著. 在本文中，拒絕原假設(shè)意味著預(yù)測值之間存在顯著差異且擴(kuò)展模型的預(yù)測誤差顯著小于標(biāo)準(zhǔn)模型的預(yù)測誤差，即擴(kuò)展模型的預(yù)測表現(xiàn)更佳. 表4展示了MSE，MAE和QLIKE 3種標(biāo)準(zhǔn)下DM檢驗(yàn)的結(jié)果. 檢驗(yàn)結(jié)果顯示，模型5（EGARCH-MIDAS-ES）的預(yù)測準(zhǔn)確性與標(biāo)準(zhǔn)模型有顯著差異，并且損失比率小于1，意味著模型5的表現(xiàn)顯著優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)模型.

表4 DM檢驗(yàn)Tab.4 DM tests

總的來說，各項(xiàng)檢驗(yàn)的結(jié)果表明，相較于標(biāo)準(zhǔn)GARCH-MIDAS 模型和其他擴(kuò)展模型而言，模型5（EGARCH-MIDAS-ES）在樣本內(nèi)擬合和樣本外預(yù)測上表現(xiàn)都比較好. 這表明在GARCH-MIDAS 族模型的構(gòu)建上，考慮短期波動中的非對稱效應(yīng)和長期趨勢中極端沖擊能夠有效提高波動率預(yù)測的準(zhǔn)確性.

3.3 穩(wěn)健性分析

本節(jié)將通過兩方面來檢驗(yàn)擴(kuò)展模型預(yù)測能力的穩(wěn)健性：①更換MCS檢驗(yàn)的波動率閾值；②更換子樣本.

不同的波動率閾值選擇會導(dǎo)致實(shí)證結(jié)果的不同，因此選擇合適的波動率閾值對于評估我們模型的預(yù)測能力有著重要意義. 為了驗(yàn)證預(yù)測結(jié)果的穩(wěn)健性，我們新增了兩個閾值的選擇：①δ1=0.08，δ2=0.92；②δ1=0.12，δ2=0.88. 表5展示了不同閾值下MCS檢驗(yàn)的結(jié)果. 該結(jié)果與表3中得到的結(jié)論相近，模型5依然有著優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)模型和其他擴(kuò)展模型的表現(xiàn).

表5 MCS 檢驗(yàn)（不同閾值）Tab.5 MCS tests（Different thresholds）

研究高波動時期模型對波動率的預(yù)測能力也很有價值，所以我們特別關(guān)注了2016年和2017年波動幅度較大的兩年. 表6展示了這兩年的MCS檢驗(yàn)結(jié)果，從中可以看出模型5的表現(xiàn)始終是最佳的.

表6 MCS檢驗(yàn)（高波動時期）Tab.6 MCS tests（High volatility period）

4 結(jié)論

雖然股票波動率預(yù)測的研究已經(jīng)很充分，但是，關(guān)于極端沖擊對波動率影響的研究還很少. 在本文中提出了5種GARCH-MIDAS 模型的增強(qiáng)模型，以期對非對稱效應(yīng)和極值效應(yīng)進(jìn)行更好的捕捉. 為了探究新模型的預(yù)測表現(xiàn)，我們對上證50的波動率進(jìn)行了預(yù)測.首先，樣本內(nèi)的結(jié)果表明，在本文提出的GARCH-MIDAS族模型框架下，非對稱效應(yīng)和極值效應(yīng)對股票價格波動有著顯著影響. 總之，非對稱效應(yīng)和極值效應(yīng)是造成股價波動高持續(xù)性的兩個重要因素. 其次，在樣本外預(yù)測中，從3個損失函數(shù)還有DM和MCS檢驗(yàn)的結(jié)果來看，非對稱-閾值模型的表現(xiàn)顯著優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)模型，能對股票波動率進(jìn)行更好的預(yù)測. 最后，穩(wěn)健性檢驗(yàn)的結(jié)果顯示本文的預(yù)測結(jié)果在更換預(yù)測時期和波動率閾值的情況下依然穩(wěn)健. 本文的主要貢獻(xiàn)在于更加廣泛地探討了GARCH-MIDAS 族模型在股票收益率波動率方面的預(yù)測效果，同時將非對稱效應(yīng)和閾值效應(yīng)納入模型框架中，從而提高了波動率預(yù)測的準(zhǔn)確性.我們的研究為股市波動率預(yù)測提供了新的見解.