基于偽范數(shù)的聯(lián)合多通道彩色圖像去噪算法

李 勇，鄭唯加

(1.安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠 233030；2.安徽財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

隨著手機(jī)等數(shù)碼設(shè)備相機(jī)元件的性能的不斷提升，獲取的彩色圖像的像素也隨之提升，彩色圖像包含豐富的信息.然而，在成像過程作用，由于受到光照等外界因素的影響，得到的彩色圖像包含高斯噪聲，這大大降低了視覺效果.因此，對彩色圖像進(jìn)行去噪至關(guān)重要.

目前，主要基于傳統(tǒng)灰度圖像去噪方法對彩色圖像進(jìn)行去噪，即對彩色圖像的RGB 3個顏色通道，分別用灰度圖像方法對每個通道進(jìn)行去噪.該方法主要分為3類.1）基于濾波的去噪方法.傳統(tǒng)的去噪濾波有均值濾波和高斯濾波等，該類濾波考慮僅考慮了噪聲的分布特性，在去噪過程中容易使圖像的細(xì)節(jié)丟失.考慮到圖像自身的先驗信息，Dabov等人[1]提出了三維匹配濾波（BM3D）方法，該方法利用圖像的非局部自相似性，在圖像全局尋找相似塊，然后將相似塊變換到特定的域，進(jìn)而利用濾波進(jìn)行處理.2）字典表示方法.Elad等人[2]發(fā)現(xiàn)，自然圖像在過完備字典的表示下是稀疏的，于是通過訓(xùn)練完備字典，利用圖像稀疏特性，提出了K奇異值分解（KSVD）方法.由于訓(xùn)練完備字典的復(fù)雜度較高，Mairal等人[3]提出了自適應(yīng)字典，該字典只需從觀測圖像中進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而降低了復(fù)雜度.在字典表示下，利用圖像稀疏性提取圖像.3）圖像低秩表示方法.無噪的圖像是低秩的，噪聲的加入會使其秩增加，通過秩函數(shù)約束其低秩便可以抑制噪聲.然而，求解秩函數(shù)是NP難的，在實際問題中多將其松弛為核范數(shù)進(jìn)行求解.Cai等人[4]首先提出了奇異值閾值（SVT）方法，該方法使得標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)具有閉形式的解.在標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)的基礎(chǔ)上，Gu等人[5]提出了加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)最小（WNNM）方法，該方法能夠根據(jù)奇異值在圖像中的實際意義，更好地保留原始圖像信息.由于WNNM方法中需要手動設(shè)置權(quán)重，我們提出了利用非凸范數(shù)來替代加權(quán)核范數(shù)的方法[6]，該方法能夠根據(jù)奇異值大小自動設(shè)置權(quán)重，從而實現(xiàn)了對秩函數(shù)更好的逼近，取得了較前述方法更好的去噪效果.但是，彩色圖像每個通道之間存在相關(guān)性，使用以上方法逐個對每個通道進(jìn)行去噪會破壞其相關(guān)性.因此，如何在現(xiàn)有方法基礎(chǔ)上，同時考慮到多通道相關(guān)性十分必要.

本文考慮到彩色圖像多個通道之間的相關(guān)性，提出了聯(lián)合多通道彩色圖像去噪算法，主要有3個創(chuàng)新點：1）基于先前灰度圖像去噪工作，針對彩色圖像，提出了聯(lián)合多通道去噪算法，該算法能夠在考慮圖像非局部自相似性基礎(chǔ)上，同時考慮多通道的相關(guān)性，實現(xiàn)了更好的去噪效果；2）針對提出的非凸去噪模型，基于增廣拉格朗日乘子法（ALM），設(shè)計了其求解算法；3）對于ALM算法，具有良好的收斂性，并從數(shù)值實驗上驗證了其收斂性.

1 去噪模型

1.1 相關(guān)工作

在圖像去噪問題上，噪聲圖像Y∈ ?m×n可以表示成無噪圖像X∈?m×n和噪聲圖像N∈?m×n的和，即Y=X+N.

基于圖像低秩先驗去噪的經(jīng)典方法WNNM方法，可以寫成如下形式：

其中，第一項為保真項，用來約束噪聲，第二項為正則項，即加權(quán)核范數(shù)，用來刻畫圖像低秩性質(zhì)，λ>0為正則參數(shù)，用來平衡兩項.該方法的去噪效果依賴于人為設(shè)置的權(quán)重，不合理的權(quán)重往往得不到理想的去噪效果.在 WNNM方法的基礎(chǔ)上，我們在先前工作[6]中提出了對秩函數(shù)具有良好近似的非凸范數(shù)γ-范數(shù)，進(jìn)而提出如下去噪模型：

在該模型中，利用非凸范數(shù)替代加權(quán)核范數(shù)，實現(xiàn)了根據(jù)奇異值大小自動設(shè)置權(quán)重的功能，并取得了較WNNM更好的去噪效果.

1.2 本文方法

彩色圖像具有RGB 3個色彩通道，傳統(tǒng)的彩色圖像去噪方法大多是對每個通道逐個進(jìn)行去噪處理，但這樣會破壞不同通道之間的相關(guān)性.考慮到彩色圖像多通道之間的相關(guān)性，本文提出如下加權(quán)矩陣：

其中σr,σg,σb分別表示噪聲圖像 RGB 3個通道的噪聲水平，I為與圖像相同大小的單位矩陣.當(dāng)圖像噪聲未知時，可在Matlab中使用NoiseLevel或Estimatenoise函數(shù)（函數(shù)下載地址為：https://ww2.mathworks.cn）對每個通道噪聲水平σr,σg,σb分別進(jìn)行估計；若噪聲水平已知，則直接對σr,σg,σb賦值.此時可得加權(quán)矩陣W.基于該加權(quán)矩陣，記其中Yr,Yg,Yb分別表示噪聲圖像的RGB通道，Xr,Xg,Xb分別表示無噪圖像的RGB通道.本文提出去噪模型中的保真項可以寫為：

通過加權(quán)矩陣，可以將彩色圖像轉(zhuǎn)化為一個灰度圖像，從而實現(xiàn)對3個通道同時聯(lián)合去噪.

對于正則項，本文提出一個新的偽范數(shù)，定義為θ-范數(shù)，該偽范數(shù)定義如下：

其中，θ>0，m,n分別表示矩陣X的高度和寬度，σi為矩陣X的第i個奇異值.從圖1可以看到，該偽范數(shù)較傳統(tǒng)范數(shù)對秩函數(shù)具有更好的逼近效果.因此，本文利用該范數(shù)來刻畫無噪圖像的低秩性質(zhì).

綜上，本文提出如下聯(lián)合多通道彩色圖像去噪模型：

圖1 不同范數(shù)對秩的近似

2 去噪算法

從模型（2）可以看到，加權(quán)矩陣W的引入，使得其無法直接用傳統(tǒng)SVT方法進(jìn)行求解，因此，引入輔助變量M=X，得到：

由于問題（3）是非凸優(yōu)化問題，考慮使用增廣拉格朗日乘子法進(jìn)行求解.引入拉格朗日乘子Λ，可得增廣拉格朗日函數(shù)：

利用高斯-賽德爾思想對其進(jìn)行求解，每個子問題更新如下：

對于X子問題，

這是一個標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘問題，該問題具有閉形式的解：

對于M子問題，

由式（1）θ-范數(shù)的定義，定義可知，該函數(shù)為關(guān)于x的凹函數(shù).根據(jù)凹函數(shù)超梯度定義[7]，可對該范數(shù)進(jìn)行線性化，從而可利用奇異值閾值方法得到該最優(yōu)化問題的顯式解.

由凹函數(shù)超梯度的定義，設(shè)σi為矩陣M的第i個奇異值，可得：

由（6）式，可以對（5）式的求解進(jìn)行松弛，得到如下最優(yōu)化求解問題：

約去常數(shù)項，可得：

由圖1可知，非凸的θ-范數(shù)在[0,+∞)上是連續(xù)的、凹的、光滑的、可導(dǎo)的單調(diào)遞增函數(shù)，其梯度是非負(fù)且單調(diào)遞減的.由奇異值的不增性質(zhì)，有因此，使用奇異值閾值方法對該問題進(jìn)行求解，給出如下引理.

引理1[8]對于問題（7）具有全局最優(yōu)解：

根據(jù)引理1，可以得到問題（5）的顯式解.

對此，給出本文聯(lián)合多通道彩色圖像去噪算法的偽代碼如下.

3 實 驗

為了驗證本文提出的聯(lián)合多通道彩色圖像去噪算法的改進(jìn)效果，選取標(biāo)準(zhǔn)彩色圖像 Lena和Monarch作為測試圖像，分別對其添加標(biāo)準(zhǔn)差σ為25和50的高斯噪聲，得到噪聲圖像.由于模擬實驗中三個通道添加的噪聲水平相等，所以實驗中的σr,σg,σb均分別為25和50.選擇具有代表性的去噪算法 BM3D[1]、WNNM[5]、我們先前提出的方法[6]與本文提出的算法分別對噪聲圖像進(jìn)行去噪，并從客觀和主觀兩個方面對所有方法的去噪結(jié)果進(jìn)行對比.

3.1 客觀評價

選取常用的彩色圖像質(zhì)量評價指標(biāo)：峰值信噪比（PSNR）[6]和結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）[9]，對所有方法的去噪結(jié)果進(jìn)行定量對比.這兩個指標(biāo)數(shù)值越大，表示對應(yīng)的去噪效果越好.

從表1可以看到，在PSNR指標(biāo)上，本文提出的方法在不同測試圖像和不同噪聲水平下的效果均優(yōu)于所有的對比方法，這說明本文方法對噪聲的去除效果很好.在SSIM指標(biāo)上，本文提出的方法的效果也均優(yōu)于對比方法，這說明，與對彩色圖像各通道逐個進(jìn)行去噪的傳統(tǒng)去噪方法相比，聯(lián)合多通道去噪能夠保留原始圖像的更多結(jié)構(gòu)信息.綜合兩個指標(biāo)來看，與傳統(tǒng)方法相比，本文所給方法的去噪效果有明顯提升，從而驗證了對彩色圖像聯(lián)合多通道進(jìn)行去噪的合理性.

表1 不同去噪方法去噪結(jié)果的比較

3.2 主觀評價

在已有客觀指標(biāo)評價的基礎(chǔ)上，將所有去噪后的圖像進(jìn)行展示，并對局部細(xì)節(jié)進(jìn)行放大，以觀察噪聲點的去除情況及細(xì)節(jié)和邊緣的保持情況等，給出主觀去噪效果定性評價.

從圖2可以看出，在兩種噪聲水平下，采用BM3D方法對彩色圖像去噪，顏色會發(fā)生畸變，而WNNM方法、我們先前在文獻(xiàn)[6]中提出的方法和本文提出的方法均實現(xiàn)了較好的噪聲去除效果.從放大細(xì)節(jié)來看，本文提出的方法對帽子邊緣細(xì)節(jié)的保留更完全.與原始圖像進(jìn)行對比，本文提出方法的去噪結(jié)果與原圖最為接近.

從圖3可以看出，在兩種噪聲水平下，采用 BM3D方法去噪，顏色也發(fā)生了畸變，其他 3種方法均在保留原始圖像色彩的基礎(chǔ)上，去除了全部噪聲.從放大細(xì)節(jié)來看，采用本文提出的方法處理過的圖像，蝴蝶的翅膀花紋邊緣細(xì)節(jié)更加清晰.與原始圖像對比，本文提出方法的去噪結(jié)果最接近原始圖像.

綜上，從視覺效果來看，本文提出方法的去噪結(jié)果優(yōu)于對比方法，這與前面的指標(biāo)評價相對應(yīng)，從而從視覺上驗證了本文提出的多通道去噪算法的優(yōu)勢.

圖2 不同去噪方法對Lena圖像的去噪結(jié)果視覺對比

圖3 不同去噪方法對Monarch圖像的去噪結(jié)果視覺對比

3.3 收斂性分析

為了驗證本文提出算法的收斂性，定義相對變化值如下：

繪制本文提出算法對Lena和Monarch圖像去噪時的相對變化值曲線，如圖4所示.從圖4中可以看到，本文提出的算法在迭代 20步左右時相對變化值穩(wěn)定，這就從數(shù)值實驗上說明了本文所提出算法的收斂性.

圖4 相對變化值曲線

4 總 結(jié)

本文提出了聯(lián)合多通道彩色圖像去噪算法，該算法考慮到了彩色圖像RGB 3個通道上的相關(guān)性，對3個通道同時進(jìn)行去噪；在刻畫圖像的低秩性時，使用了對秩函數(shù)近似性更好的非凸范數(shù).實驗表明，本文提出的算法比傳統(tǒng)的逐個通道去噪算法具有更好的去噪效果，同時該算法也具有良好的收斂性.