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    整式乘法與圖形面積

    2020-09-06 13:18:31肖智敏
    初中生世界·七年級(jí) 2020年8期
    關(guān)鍵詞:三項(xiàng)式丙型紙片

    肖智敏

    整式乘法與圖形面積之間有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性——面積的表示必然出現(xiàn)二次式,而簡(jiǎn)單的整式乘法恰是兩個(gè)一次式的積。因此當(dāng)出現(xiàn)二次式的運(yùn)算時(shí),我們經(jīng)常通過(guò)圖形對(duì)其解讀,進(jìn)而達(dá)到事半功倍的效果。下面通過(guò)幾個(gè)公式說(shuō)明兩者之間的關(guān)系。

    一、教材知識(shí)回顧

    1.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式——乘法分配律。

    我們都知道乘法分配律公式為a(b+c)=ab+ac,但對(duì)于這個(gè)等式是如何生成的,大部分同學(xué)卻不知道。下面用圖形面積的不同表示方法來(lái)說(shuō)明。

    如圖1,長(zhǎng)方形ABCD中,EF將其分成兩個(gè)小的長(zhǎng)方形,AB=a,AE=b,ED=c。試用兩種方法表示長(zhǎng)方形ABCD的面積。

    從整體看,S長(zhǎng)方形ABCD=a(b+c),從部分看,S長(zhǎng)方形ABCD=ab+ac,因此a(b+c)=ab+ac。

    2.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。

    由于已經(jīng)有了生成單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式公式的經(jīng)驗(yàn),探尋多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的變形規(guī)律,只要類(lèi)比即可。

    先構(gòu)造如圖2所示的長(zhǎng)方形,EF、GH將其分成四個(gè)小長(zhǎng)方形。用兩種不同方法表示其面積。

    從整體看S長(zhǎng)方形ABCD=(a+b)(m+n),從從上面我們可以看出:借助圖形既可以進(jìn)行整式乘法運(yùn)算,也可對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,甚至可以逆向運(yùn)算,進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解。

    二、類(lèi)比應(yīng)用

    1.通過(guò)面積的表示,探究完全平方式的變形規(guī)律并應(yīng)用。

    問(wèn)題1:如圖3是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成4塊小長(zhǎng)方形,然后用4塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形(如圖4)。

    (1)圖4中的陰影部分的面積為;

    (2)觀察圖4,(a+b)2、(a-b)2、ab之間的等量關(guān)系是=5,xy=4,則x-y=。9;(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,若x+y

    2.通過(guò)面積的表示,探究二次三項(xiàng)式的因式分解,并理解多項(xiàng)式乘法與因式分解的關(guān)系。

    問(wèn)題2:一天,小嘉在玩紙片拼圖游戲時(shí),發(fā)現(xiàn)利用圖5中的三種材料各若干,可以拼出一些長(zhǎng)方形來(lái)解釋某些等式。比如,圖6可以解釋?zhuān)╝+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2。

    (1)圖7可以解釋為等式:;

    (2)用圖5中的基本圖形若干塊(每種至少用一次)拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,使拼出的長(zhǎng)方形面積為2a2+3ab+b2,請(qǐng)畫(huà)出示意圖,同時(shí)在圖中標(biāo)出這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,并將多項(xiàng)式2a2+3ab+b2因式分解。

    3.通過(guò)合理分割長(zhǎng)方形,探究多項(xiàng)式乘法與二次三項(xiàng)式的因式分解,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

    問(wèn)題3:【活動(dòng)材料】有若干如圖5所示的長(zhǎng)方形和正方形硬紙片。

    【活動(dòng)要求】用若干塊以上硬紙片拼成一個(gè)新長(zhǎng)方形(或正方形),通過(guò)不同的方法計(jì)算面積,探索相應(yīng)的等式。

    (1)小明在活動(dòng)時(shí)想拼出一個(gè)兩邊長(zhǎng)分別為(a+3b)、(a+b)的長(zhǎng)方形,則他需要乙型紙片張,丙型紙片張;(2)試借助拼圖的方法,把二次三項(xiàng)式6a2+7ab+2b2分解因式(要求畫(huà)出圖形,并分解因式);(3)小穎在活動(dòng)時(shí),共制作了20張硬紙片(每種硬紙片至少一張),用這20張硬紙片能否拼成一個(gè)新正方形?

    4.通過(guò)拼圖嘗試,開(kāi)拓思維,進(jìn)一步提升對(duì)知識(shí)的理解。

    問(wèn)題4:活動(dòng)材料、要求與問(wèn)題3的相同。

    (1)請(qǐng)選擇適當(dāng)形狀和數(shù)量的硬紙片,拼出面積為2b2+3ab+a2的長(zhǎng)方形,畫(huà)出拼法示意圖;(2)從這三種硬紙片中選擇一些拼出面積為12ab的不同形狀的長(zhǎng)方形,則這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)共有種不同情況;(3)現(xiàn)有甲型紙片1張,乙型紙片4張,則應(yīng)至少取丙型紙片張才能用它們拼成一個(gè)新的正方形;(4)取其中的若干個(gè)(三種圖形都要取到)拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,使其面積為a2+nab+24b2,則n可能的整數(shù)值有個(gè)。

    (作者單位:江蘇省宿遷市鐘吾國(guó)際學(xué)校)

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