一節(jié)“數(shù)學(xué)味”濃厚的規(guī)則課
——觀“向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”所悟

廣東省廣州開發(fā)區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(510735) 范從陽(yáng)

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,以數(shù)學(xué)的公理、定理、公式、法則、性質(zhì)等規(guī)則的教學(xué)為主要任務(wù)的課,稱規(guī)則課.現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,受功利主義的影響,現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)越來(lái)越淪為解題活動(dòng),教學(xué)中,教師往往只告訴學(xué)生結(jié)論,只說(shuō)明操作程序,期望讓學(xué)生經(jīng)歷大量的重復(fù)訓(xùn)練,掌握數(shù)學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)解題,數(shù)學(xué)課堂已不再是以育人為宗旨,不再是思維碰撞、智慧飛揚(yáng)的場(chǎng)所,學(xué)生喪失了在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中體悟數(shù)學(xué)真理、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)精神與數(shù)學(xué)智慧,缺少了數(shù)學(xué)課堂的“味道”.2019年12月4 日,筆者有幸觀摩了中學(xué)正高級(jí)教師鐘進(jìn)均老師的一堂”向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”,課堂回歸本真,數(shù)學(xué)味道濃厚,觀后感悟良多,拙筆淺文,與同行切磋.

1 課堂簡(jiǎn)錄

1.1 新知探究與呈現(xiàn)

教師:前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的加、減法運(yùn)算及其幾何意義,我們發(fā)現(xiàn)研究向量的問(wèn)題,關(guān)鍵要關(guān)注向量的什么特征?

學(xué)生:重點(diǎn)要關(guān)注向量的方向和大小.

教師:很好,這就是我們研究向量問(wèn)題的主要方向,研究向量的問(wèn)題,我們只要抓住向量的方向和大小這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),我們就能得到很多“有趣”的結(jié)論,本節(jié)課,我們一起來(lái)探究向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.

探究一已知非零向量a,請(qǐng)分別作出a+a+a和(?a)+(?a)+(?a).

學(xué)生自主探究,教師巡視,學(xué)生上臺(tái)展示探究成果.

教師:您畫出的兩個(gè)向量可以怎樣表示?它的方向、大小與向量a有什么關(guān)系?

學(xué)生1:a+a+a=3a,從圖形可知與向量a方向相同;(?a)+(?a)+(?a)=?3a,從圖形可知與向量a方向相反.

學(xué)生1 展示

教師:很好,這位同學(xué)的思路很清晰,根據(jù)同學(xué)們的探究,我們規(guī)定:

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘法(教師板書).

探究二(1)|λa|____|λ||a|;

(2)當(dāng)λ >0 時(shí),λa的方向與a的方向____;當(dāng)λ <0時(shí),λa的方向與a的方向____;當(dāng)λ=0 時(shí),λa=____;

(3)當(dāng)|λ|>1 時(shí),λa的長(zhǎng)度相對(duì)a的長(zhǎng)度____了____倍;當(dāng)0<|λ|<1 時(shí),λa的長(zhǎng)度相對(duì)a的長(zhǎng)度____了____倍;

學(xué)生自主探究,交流合作,教師巡視學(xué)生探究的結(jié)果,適時(shí)指導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生,探究結(jié)束后,教師與學(xué)生交流互動(dòng),鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出自己的探究思路、探究結(jié)論.

學(xué)生1:根據(jù)探究一的啟發(fā),我得到如下結(jié)論:|λa|=|λ||a|;

教師:這是衡量向量的哪一個(gè)特征?

學(xué)生1:是根據(jù)向量的大小得到這個(gè)結(jié)論的.

學(xué)生2:當(dāng)λ >0 時(shí),λa的方向與a的方向相同; 當(dāng)λ <0 時(shí),λa的方向與a的方向相反; 當(dāng)λ=0 時(shí),我猜想:λa=0;

教師:λa=0,這個(gè)猜想成立嘛?

學(xué)生3:λ=0 時(shí),λa的長(zhǎng)度為0,長(zhǎng)度為0 的向量方向就是任意的,因此結(jié)果就是0.

學(xué)生4:根據(jù)探究一的啟發(fā),當(dāng)|λ| >1 時(shí),λa的長(zhǎng)度相對(duì)a的長(zhǎng)度伸長(zhǎng)了|λ|倍;當(dāng)0< |λ| <1 時(shí),λa的長(zhǎng)度相對(duì)a的長(zhǎng)度縮短了|λ|倍;

教師:根據(jù)以上的探究結(jié)論,同學(xué)們能完成一下表格嗎?教師給出一個(gè)空表,讓學(xué)生繼續(xù)探究,找出分類的標(biāo)準(zhǔn),學(xué)生說(shuō)出結(jié)論,教師板書完成表格如下:

表1

學(xué)生完成表格的探究后,教師組織游戲,教師任意說(shuō)出一個(gè)λ的值或說(shuō)出λa的變換方式,學(xué)生快速的說(shuō)出λa的變換方式或λ的值,進(jìn)一步熟悉并鞏固數(shù)乘向量的幾何意義.

探究三

探究性練習(xí):

(1)(?3)×4a=____;

(2)3(a+b)=____;

(3)3(a+b)?2(a?b)?a=____;

(4)(2a+3b?c)?(3a?2b+c)=____;

學(xué)生自主完成以上練習(xí),教師提問(wèn)學(xué)生.

教師:如何運(yùn)算得出以上結(jié)果?

學(xué)生5:類比整式的運(yùn)算,可直接計(jì)算得出(1)的結(jié)果為?12a,(2)、(3)、(4)題先經(jīng)過(guò)去括號(hào),再類比“合并同類項(xiàng)”得出結(jié)果依次是3a+3b、5b、?a+5b?2c.

教師:我們能證明這些結(jié)論嗎?如能,怎么證明,請(qǐng)同學(xué)們思考完成(1)、(3)的證明.

學(xué)生6:可以通過(guò)畫圖的方式證明,學(xué)生1 展示通過(guò)畫圖證明(1)的過(guò)程,先畫出向量a,在通過(guò)同向伸長(zhǎng)的變換畫出4a,(?3)×4a即是反向伸長(zhǎng)3 倍,通過(guò)圖形比較及得到結(jié)果為?12a.學(xué)生用同樣的方式展示了(2)的證明過(guò)程.

教師:學(xué)生6 在證明(2)的方法有什么不足之處?

學(xué)生7:她的證明方法選用的是向量a,b共線,不具備一般性.可以選取兩個(gè)不共線的的向量a,b,運(yùn)算向量加法的三角形法則,可以證明該等式.學(xué)生7 講解完畢后,教師分別投影展示了兩位同學(xué)運(yùn)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的證明過(guò)程,并及時(shí)予以鼓勵(lì).

學(xué)生6 的證明圖形

學(xué)生7 的證明圖形

學(xué)生7 的證明圖形

教師引導(dǎo)學(xué)生,運(yùn)用特殊到一般的推理方法,得出向量數(shù)乘運(yùn)算的法則:

結(jié)論設(shè)λ,μ是實(shí)數(shù),那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ±μ)a=λa±μa;(3)λ(a±b)=λa±λb.

探究四

對(duì)向量a(a≠0),b,如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa,那么a與b____.反過(guò)來(lái),已知向量a與b____.a≠0,且向量b的長(zhǎng)度是向量a的長(zhǎng)度的μ倍,即____.那么當(dāng)a與b同方向時(shí),有____;當(dāng)a與b反方向時(shí),有____;

學(xué)生經(jīng)歷自主探究,教師巡視指導(dǎo),學(xué)生展示探究成果.因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)歷了探究一、探究二、探究三的深度學(xué)生活動(dòng),探究四的結(jié)論就是顯而易見(jiàn)的了.

學(xué)生8:根據(jù)探究一、探究二、探究三的啟示,可以得到對(duì)向量a(a≠0),b,如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa,那么a與b共線.反過(guò)來(lái),已知向量a與b共線.a≠0,且向量b的長(zhǎng)度是向量a的長(zhǎng)度的μ倍,即b=μa.那么當(dāng)a與b同方向時(shí),有μ>0;當(dāng)a與b反方向時(shí),有μ<0;

教師:其它同學(xué)還有補(bǔ)充嗎?

學(xué)生9:學(xué)生8 的所畫的圖形只是共線中一種,也即是在同一直線上的共線情況.

教師:您認(rèn)為還有哪些情況呢?

學(xué)生9:因?yàn)橄蛄吭谄矫鎯?nèi)是可以平移的,我們不難得出平行也是共線的一種,所以這個(gè)結(jié)論還包括平行的情況,因?yàn)檫@也是向量共線.

教師:很好,敢于大膽質(zhì)疑,并提出簡(jiǎn)介,學(xué)生9 說(shuō)得對(duì),向量共線包含了平行這一種情況(教師展示學(xué)生9 的探究結(jié)論),并歸納出共線的定理:

向量a(a≠0),b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa(a≠0).

……

2 觀課所“悟”

2.1 問(wèn)題探究,呈現(xiàn)數(shù)學(xué)真理

“向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”是一節(jié)以習(xí)得數(shù)學(xué)規(guī)則為主要目標(biāo)的課.學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的加、減法運(yùn)算及其幾何意義之后,向量的數(shù)乘運(yùn)算與加、減法的學(xué)習(xí)方式與過(guò)程幾乎相同,很多教師認(rèn)為,學(xué)生的理解與接受也會(huì)是順理成章的.因此,大量的課堂是以直接告知概念、運(yùn)算規(guī)則,然后進(jìn)行大量的題型訓(xùn)練,這樣的操作表面上學(xué)生都“懂了”,然而這樣的學(xué)習(xí)顯然缺乏知識(shí)的生成過(guò)程,缺乏系統(tǒng)性、整體性,不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.

本課例中,鐘老師把大量的時(shí)間放在“新知探究與呈現(xiàn)”部分,讓“新知”在探究中逐步呈現(xiàn),四個(gè)探究活動(dòng)由易到難,由具體到抽象,層層深入,以學(xué)生為主體,將課堂的時(shí)間還給學(xué)生,所有探究活動(dòng)都在學(xué)生獨(dú)立完成的基礎(chǔ)上,再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、指導(dǎo),以問(wèn)題帶動(dòng)知識(shí)點(diǎn),逐步呈現(xiàn)數(shù)學(xué)真理.同時(shí),在以探究問(wèn)題呈現(xiàn)新知的過(guò)程中,緊扣向量大小與方向兩個(gè)本質(zhì)特征,以作圖為主要工具,循序漸進(jìn)的探究問(wèn)題,將向量數(shù)乘運(yùn)算的“數(shù)”與其幾何意義的“形”完美結(jié)合,原原本本的呈現(xiàn)了本節(jié)知識(shí)的生成與發(fā)展.這樣的課堂看似缺少了習(xí)題的練習(xí),但是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的過(guò)程性探究,不就是我們培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程嘛?

2.2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng),培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

“向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”一課,蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)思想,是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維的重要素材.一是,向量本身就是具備“數(shù)”與“形”雙重特性,蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想,學(xué)生學(xué)習(xí)向量加法、減法是源于物理學(xué)中力的合成,因此,對(duì)于向量數(shù)形結(jié)合思維的認(rèn)識(shí)還處于淺層面,鐘老師在四個(gè)探究活動(dòng)中,處處滲透數(shù)形結(jié)合的思想,學(xué)生的探究立足于“形“,結(jié)論歸位于“數(shù)”,可以說(shuō),這樣的教學(xué)過(guò)程,才是學(xué)生真正意義上感受向量數(shù)形結(jié)合的思想精髓.二是,向量的數(shù)乘運(yùn)算后必然要考慮向量方向與大小的兩個(gè)特征,大小便有伸長(zhǎng)、縮短,方向便有同向反向,而這些結(jié)論都跟參數(shù)λ有關(guān).本課中,鐘老師巧妙的創(chuàng)造“表1”,教學(xué)中,先是一空白表格給出,讓學(xué)生自主探究,教師點(diǎn)評(píng)完成表格,這一過(guò)程學(xué)生要去分析表格橫向、縱向怎么填,如何分類,這樣的分類是否全面等,開放式的問(wèn)題探究過(guò)程,就是培養(yǎng)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,而問(wèn)題的解決又是培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思維.三是,在向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則的呈現(xiàn)過(guò)程中,蘊(yùn)含著從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.從“探究三”的探究性練習(xí)中,通過(guò)類比、歸納出向量數(shù)乘運(yùn)算的規(guī)則,從習(xí)得數(shù)學(xué)規(guī)則這一角度講,本課到此就可以進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練了,但是本課中,教師將重要時(shí)間放在了運(yùn)算規(guī)律的證明中,學(xué)生在證明運(yùn)算規(guī)律時(shí),大多數(shù)學(xué)生僅僅想到了利用兩個(gè)共線的向量來(lái)證明,這顯然是一種特殊情況,教師引導(dǎo)學(xué)生,這是否具備普遍性?讓學(xué)生在思維上再一次經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)知轉(zhuǎn)變,培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.

2.3 數(shù)學(xué)交流,塑造數(shù)學(xué)精神

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏指出:“多數(shù)學(xué)生進(jìn)入社會(huì)后,幾乎沒(méi)有機(jī)會(huì)應(yīng)用他們?cè)趯W(xué)校學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí),而這樣作為知識(shí)的數(shù)學(xué),通常在學(xué)生畢業(yè)后不到一兩年就忘掉了,然而不管他們從事什么工作,那種銘刻于大腦的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法卻長(zhǎng)期在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用.”這段話深刻的揭示了“數(shù)學(xué)精神”教育的重要性.“數(shù)學(xué)精神”是指人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中形成的價(jià)值觀念和行為規(guī)范,其內(nèi)涵豐富,包含理性的精神、求真的精神、思辨的精神、質(zhì)疑的精神等,其根源于數(shù)學(xué)文化,彰顯于知識(shí)發(fā)生過(guò)程,生成于數(shù)學(xué)交流活動(dòng),內(nèi)化于數(shù)學(xué)理性探索.

在本課中,教師異地教學(xué),在課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),充分激勵(lì)學(xué)生,讓學(xué)生大膽的“想”,大膽的“說(shuō)”,對(duì)向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則,不滿足于簡(jiǎn)單的“告知”,而是通過(guò)“說(shuō)數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)交流活動(dòng),讓學(xué)生探究、證明結(jié)論,培育學(xué)生對(duì)知識(shí)的理性認(rèn)識(shí).通過(guò)對(duì)教師講解的質(zhì)疑、學(xué)生講解的質(zhì)疑,培育學(xué)生批判性的思維.可以說(shuō),一堂看似簡(jiǎn)單的規(guī)則課教學(xué),讓學(xué)生充分參與探究活動(dòng),幫助學(xué)生形成說(shuō)理、批判、質(zhì)疑、反思的數(shù)學(xué)理性思維習(xí)慣.

數(shù)學(xué)的課堂要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的“學(xué)”、數(shù)學(xué)的“看”、數(shù)學(xué)的“說(shuō)”、數(shù)學(xué)的“悟”,”向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義”作為一節(jié)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)則課,不能淪為“告知+訓(xùn)練”的解題教學(xué),要為塑造數(shù)學(xué)精神而教.