導(dǎo)函數(shù)的零點不可求怎么辦？

◎張運能

在導(dǎo)數(shù)大題的求解或證明中，很多時候需要求解函數(shù)或者導(dǎo)函數(shù)的零點，學(xué)生對于處理函數(shù)零點可求時可能較為熟練，但在面對函數(shù)的零點不可求或零點不存在情形等問題時，就手足無措，無從下手了。我們是否就是"束手無策"呢？顯然不是！對于這一類問題的求解，可從以下三方面入手解決。

一、猜根：通過觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，猜出方程f′（x）＝0 的根

對于有關(guān)x 與ln x 的組合函數(shù)為背景的試題，要求學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識，準(zhǔn)確的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)所求的導(dǎo)函數(shù)解析式中出現(xiàn)lnx時，常猜x＝1；當(dāng)函數(shù)解析式中出現(xiàn)ex時，常猜x＝0，然后代入未知數(shù)x 的值進(jìn)行檢驗，看看滿足方程f′（x）＝0 嗎？

（1）若函數(shù)f（x）在（a，a＋1）上有極值，求實數(shù)a 的取值范圍；

（2）若關(guān)于x 的方程f（x）＝x2－2x＋k有實數(shù)解，求實數(shù)k 的取值范圍．

（2）由已知可得，方程f（x）＝x2－2x＋k 有實數(shù)根，

即f（x）－x2＋2x＝k 有實數(shù)根．

設(shè)g（x）＝f（x）－x2＋2x，

接下來，需求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，所以需解不等式g′（x）≥0 及g′（x）≤0，因而需解方程g′（x）＝0。但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解．

因為g′（1）＝0，且當(dāng)0＜x＜1 時，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1 時，g′（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減

所以g（x）max＝g（1）＝3/2。當(dāng)x→0時，g（x）→－∞；當(dāng)x→＋∞時，g（x）→－∞，所以函數(shù)g（x）的值域是（－∞，3/2），所以所求實數(shù)k 的取值范圍是（－∞，3/2）。

對于這種猜想方程的根的方法，有時可以減少很多解方程的運算過程，從而提高解題速度，但學(xué)生往往不太敢用或者不習(xí)慣用，在教學(xué)中需要老師主動引導(dǎo)，積極培養(yǎng)。

二、設(shè)根：通過運算代換、數(shù)值估計，虛設(shè)f′（x）＝0 的根

有這么一類試題，導(dǎo)函數(shù)的零點無法求解，但我們能判斷零點是存在的，我們可以把這一類問題形象地稱作“隱零點問題”。這個零點就是我們所說的“隱零點”，它是客觀存在的，但是又不那么好找，對于這一類問題的求解，往往可以采用“虛設(shè)零點、整體代換”的方法，雖然不能求解導(dǎo)函數(shù)的零點，但我們可以假設(shè)零點是x0，這種方法稱為“虛設(shè)零點法”，于是就有f′（x0）＝0。而在進(jìn)一步的問題求解中，我們經(jīng)常會遇見一些較為復(fù)雜的函數(shù)式，例如指數(shù)式與對數(shù)式、冪函數(shù)式等的混合，這時我們可以利用f′（x0）＝0 來代換，將超越式（指數(shù)式、對數(shù)式等）替換成簡單易于求解的函數(shù)式，進(jìn)而求解相關(guān)問題。

例題2．已知函數(shù)f（x）＝aex－bln x，曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）>0。

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞）．

所以f′（x）＝0 在（0，＋∞）上有唯一實根x0，且x0∈（1，2）．

當(dāng)x∈（0，x0）時，f′（x）<0，當(dāng)x∈（x0，＋∞）時，f′（x）>0，

從而當(dāng)x＝x0時，f（x）取極小值，也是最小值．

則x0－2＝－ln x0

所以f（x）>0。

諸如此類的例題有很多，同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用?！疤撛O(shè)零點法”常用到的解題技巧主要可以歸納為以下幾點：（1）整體代換，將超越式轉(zhuǎn)化為普通式。利用這類技巧，可以通過逐步分析零點所在區(qū)間以及滿足的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，最后利用零點所滿足的恒等關(guān)系整體代入，將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通式。（2）反代消參，構(gòu)造關(guān)于零點的單一函數(shù)。如果問題要求解的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，這時一般不要用參數(shù)來表示零點，而是反過來用零點表示參數(shù)，然后把極值函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)再進(jìn)行求解。（3）降次留參，建立含參數(shù)的方程或不等式。如果問題要求解的結(jié)論與參數(shù)有關(guān)，可利用導(dǎo)數(shù)為零的方程，在保留參數(shù)的情況下，不斷把零點的次數(shù)降到不可降為止，再結(jié)合其他條件，建立含參數(shù)的方程或不等式，就可求出參數(shù)的值或者取值范圍。

三、證無根：通過討論函數(shù)的單調(diào)性，證明方程f′（x）＝0 無根

有些函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f′（x）是無零點的，即f′（x）＝0 無解，當(dāng)利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]，[a，b）或（a，b]上的最值時，可首先考慮函數(shù)f（x）在該區(qū)間上是否具有單調(diào)性，若具有單調(diào)性，則f（x）在區(qū)間的端點處取得最值（此時若求f′（x）＝0的根，則此方程是無解的）．

例題3.已知m∈R，函數(shù)若Ex0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實數(shù)m 的取值范圍

分析：因為當(dāng)x＝1 時，f（x）＝0，g（x）＝2e，不存在f（x0）＞g（x0），所以關(guān)于x 的不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即關(guān)于x的不等式

可大膽猜測方程u′（x）＝0 無解，證明如下：

所以u′（x）＜0，u（x）在（1，e]上是減函數(shù)，

求函數(shù)零點問題，是高考試卷中的熱點問題，這類問題常以基本初等函數(shù)或分段函數(shù)為載體，考查函數(shù)零點的存在區(qū)間、確定零點的個數(shù)、參數(shù)的取值范圍、方程的根或函數(shù)圖象的交點等問題。不僅考查考生計算、畫圖等方面的能力，還考查考生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想的綜合應(yīng)用。在解決函數(shù)零點問題時，除了應(yīng)用上面介紹的三種辦法外，既要注意利用函數(shù)的圖象，也要注意根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行相關(guān)的計算，把數(shù)與形緊密結(jié)合起來。所以學(xué)生在平時的訓(xùn)練中要有意識的加以培養(yǎng)和應(yīng)用。