淺談定積分的幾何應(yīng)用

左 玲

0 引言

大學(xué)生活是豐富美好的，多樣化的學(xué)科知識(shí)對(duì)學(xué)生今后的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。高等數(shù)學(xué)是大一新生普遍會(huì)學(xué)習(xí)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。其對(duì)接下來(lái)的數(shù)學(xué)類課程的開展有著重要的基礎(chǔ)作用。同時(shí)，學(xué)好這門課程也有利于學(xué)生對(duì)其專業(yè)課程的理解與掌握[2]。然而，較強(qiáng)的邏輯思考和較為單一的書面討論形式使大部分的學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一種比較刻板的印象，認(rèn)為其枯燥晦澀，難以掌握，常常令大部分同學(xué)感到望而生畏。怎樣開展這門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)對(duì)大學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要，是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中值得探討的一個(gè)問(wèn)題。如何在高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中恰當(dāng)?shù)刈龅嚼碚撀?lián)系實(shí)際，進(jìn)而提高同學(xué)們的求知欲與學(xué)習(xí)能力呢？

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，研究的基本問(wèn)題是函數(shù)的性質(zhì)與形態(tài)。高等數(shù)學(xué)的上冊(cè)主要針對(duì)的是一元函數(shù)，下學(xué)期是對(duì)上冊(cè)內(nèi)容的推廣和深入拓展。其中對(duì)函數(shù)的分析主要體現(xiàn)在函數(shù)的微分學(xué)與積分學(xué)兩個(gè)方面。因此，本文結(jié)合一元函數(shù)的積分問(wèn)題和大家探討高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)。定積分是函數(shù)積分問(wèn)題的重要開端，如何生動(dòng)而豐富地理解定積分，同時(shí)運(yùn)用定積分求解實(shí)際問(wèn)題，這是本文將逐一分析的內(nèi)容。具體地，通過(guò)對(duì)定積分的幾何應(yīng)用這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)簡(jiǎn)單地探討這個(gè)問(wèn)題。在同濟(jì)大學(xué)第7 版的高等數(shù)學(xué)中[1]，我們?cè)诘诹碌诙?jié)中討論了定積分的幾何應(yīng)用。具體地，利用定積分計(jì)算了平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積已知的立體體積、平面曲線的弧長(zhǎng)。本文針對(duì)定積分求解平行截面面積已知的立體體積這一問(wèn)題來(lái)探討本節(jié)的教與學(xué)。

1 結(jié)合曲邊梯形問(wèn)題提出元素法

在前面的課程中我們介紹了定積分的概念。結(jié)合具體的實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考定積分概念的由來(lái)和在實(shí)際應(yīng)用中的背景。這與本節(jié)討論的定積分求解平行截面面積已知的立體體積有著相似的分析方式。因此，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧這一部分的內(nèi)容，感受知識(shí)點(diǎn)相互之間的緊密關(guān)聯(lián)?？紤]閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的曲邊梯形的面積。通過(guò)分割、近似替代、求和與取極限四個(gè)步驟來(lái)處理不規(guī)則的曲邊梯形的面積問(wèn)題。經(jīng)過(guò)任意分割之后的每一份小的曲邊梯形進(jìn)行近似，用矩形替代，無(wú)限細(xì)分，并且運(yùn)用極限求解這個(gè)無(wú)限變化過(guò)程中的精確解。即曲邊梯形的面積。從中體會(huì)化整為零和以直代曲的思想，用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫定積分求解面積的原理。幾何的直觀表達(dá)可以有效地提高學(xué)生對(duì)代數(shù)表達(dá)式的興趣與理解程度。

通過(guò)對(duì)曲邊梯形面積的分析抽離出一種一元函數(shù)的乘積的和式的極限，將其定義為定積分。定積分中蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想呢？能否將其用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)？可否運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想求解其他的問(wèn)題呢？這就需要依附曲邊梯形的面積問(wèn)題推導(dǎo)出定積分的元素法，分析運(yùn)用元素法時(shí)目標(biāo)對(duì)象需要滿足的條件，歸納元素法解決問(wèn)題時(shí)的步驟。強(qiáng)調(diào)定積分與元素法相輔相成的關(guān)系。同時(shí)這也是本節(jié)課探討的主題：定積分的元素法以及如何運(yùn)用元素法求解平行截面面積已知的立體體積。定積分的元素法是定積分概念的簡(jiǎn)化版本，是抽象出來(lái)得更為簡(jiǎn)潔的教學(xué)形式。換個(gè)角度來(lái)思考，定積分的元素法是對(duì)其進(jìn)一步的推廣。定積分的元素法主要包含三個(gè)步驟：

（1）合理地選擇選擇積分變量。

（2）求出部分量ΔU 的近似值dU 的表達(dá)式，這也是最關(guān)鍵的一步。

（3）對(duì)dU 求積分得到U。結(jié)合曲邊梯形問(wèn)題，可以得到部分量 ΔA 的近似：dA=（fx）dx，則面積為

2 引用經(jīng)典案例，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

圖1

然后，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景吸引學(xué)生學(xué)習(xí)這一課題的興趣。南朝數(shù)學(xué)家祖暅在其經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》中有云：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”。意思是兩個(gè)不同的立體，如果立體的高和任意截面面積相等，則這個(gè)立體的體積相同，為什么呢？通過(guò)將理論聯(lián)系實(shí)際，一方面提高學(xué)生參與討論的積極性，另一方面引導(dǎo)學(xué)生感受中國(guó)古代博大的數(shù)學(xué)文化和深邃的思想。引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)立體的不同點(diǎn)和共同之處，啟發(fā)學(xué)生思考怎樣將其與定積分的元素法結(jié)合起來(lái)。

3 運(yùn)用元素法分析平行截面面積已知的立體體積

接下來(lái)，介紹平行截面面積已知的立體，即兩個(gè)立體的任意垂直軸的平行截面面積相同。這一部分的重點(diǎn)是分析如何運(yùn)用元素法求解這一幾何問(wèn)題。

【重點(diǎn)：元素法推導(dǎo)平行截面已知的立體體積的計(jì)算公式】本章主題是探討定積分元素法的應(yīng)用問(wèn)題。除了求解不規(guī)則平面圖形的面積，還能運(yùn)用定積分解決哪些幾何問(wèn)題？這也是對(duì)定積分應(yīng)用在其他領(lǐng)域的重要嘗試[3]。引導(dǎo)學(xué)生探討如何運(yùn)用元素法將平行截面已知的立體體積轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算。在這一過(guò)程中注意強(qiáng)調(diào)對(duì)元素法原理的理解。

【解決方法】在教學(xué)過(guò)程中，擬采用逐層深入的方式探討元素法的原理及其在求解平行截面已知的立體體積中的應(yīng)用。結(jié)合圖形啟發(fā)學(xué)生思考元素法適用的問(wèn)題類型，需要滿足哪些條件的要求。在計(jì)算平面面積的幾何問(wèn)題中，歸納操作元素法的基本步驟。然后提出問(wèn)題：平行截面面積已知的立體是否具備使用元素法的條件呢？怎樣合理地選擇積分變量？采用對(duì)比的方式使學(xué)生感受不同的選擇對(duì)積分產(chǎn)生的影響。接下來(lái)，當(dāng)確定積分變量后，如何根據(jù)幾何體的特點(diǎn)求解平行截面面積函數(shù)？在這個(gè)過(guò)程中結(jié)合板書推導(dǎo)的方式強(qiáng)調(diào)對(duì)面積函數(shù)的分析。最后，根據(jù)截面面積函數(shù)與定積分的計(jì)算，解決立體體積問(wèn)題。

圖2

【難點(diǎn)：平行截面已知的立體體積的計(jì)算】運(yùn)用定積分求解平行截面已知的立體體積時(shí)需要計(jì)算出立體平行截面的面積函數(shù)。而空間幾何體的抽象性使得學(xué)生較難直觀地感受到立體的幾何特性。因此，如何提高學(xué)生的空間幾何的解析能力是一個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。

【解決方法】本節(jié)段采用特殊到一般的方式展開對(duì)難點(diǎn)的分析：首先，列舉一些大家較為熟悉的幾何體，通過(guò)板書詳細(xì)解答例題的演練過(guò)程，積累關(guān)于常見幾何體的處理方法和技巧。然后，逐漸過(guò)渡和推廣到較復(fù)雜的幾何類型。通過(guò)多媒體輔助的形式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何體的空間感受力。在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的空間幾何的解析能力。最后，總結(jié)求解立體截面過(guò)程中的一般步驟。

圖3

主要分為三步：

（1）定變量：x[a，b]。

（2）找微元：dV=A（x）dx。

因此，對(duì)體積元素積分，得到平行截面面積已知的立體體積的計(jì)算公式最后，回到剛才列舉的引例中，用元素法得到的平行截面已知的立體體積公式解釋“祖暅原理”。

4 將理論聯(lián)系實(shí)際案例加深學(xué)生對(duì)重難知識(shí)點(diǎn)的理解

結(jié)合定積分的概念啟發(fā)學(xué)生思考元素法的歸納過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)結(jié)合定積分的定義與曲邊梯形的面積來(lái)提煉出元素法。了解元素法適用的問(wèn)題類型，掌握其使用時(shí)的具體步驟。目標(biāo)對(duì)象可以表示為某一元素的求和，并且元素為一元函數(shù)與長(zhǎng)度微元的乘積形式。探索能否運(yùn)用這種比較抽象的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決其他幾何問(wèn)題。例如：怎樣運(yùn)用定積分的元素法求解平行截面面積已知的立體體積？教會(huì)學(xué)生辨識(shí)平行截面面積已知的立體。能夠判斷此類幾何問(wèn)題是否滿足元素法的適用條件。再次回到引例中，當(dāng)兩個(gè)立體高相等，且平行截面面積相同時(shí)，根據(jù)定積分求解平行截面面積已知的立體體積公式知道，這兩個(gè)立體的體積相同。

5 總結(jié)和拓展

本節(jié)探討了定積分的元素法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。采用了問(wèn)題引導(dǎo)式的教學(xué)方法，結(jié)合平行截面面積已知的立體體積問(wèn)題引導(dǎo)大家思考定積分的元素法的使用。啟發(fā)學(xué)生理解定積分的化整為零與以直代曲的基本思想[4]。同時(shí)，通過(guò)“祖暅原理”感受古今中外數(shù)學(xué)家們的智慧結(jié)晶，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)用性。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的熱忱。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體會(huì)數(shù)學(xué)的概念與方法是在對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析過(guò)程中抽離出來(lái)的，反過(guò)來(lái)，這些結(jié)論又在實(shí)踐中逐步地發(fā)展、豐富與完善。進(jìn)一步地，引導(dǎo)大家思考，除了幾何問(wèn)題還有哪些實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)定積分的元素法來(lái)求解，從而為下一節(jié)的探討做出鋪墊。