例談生成性教學(xué)視野下分式方程的教學(xué)

任宏章

摘? ? 要：教學(xué)的核心不是目標(biāo)的達(dá)成而是學(xué)生的發(fā)展，而學(xué)生的發(fā)展是在具體教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)的.生成性教學(xué)視野下的課堂教學(xué)，整體感悟，巧妙預(yù)設(shè)，自然生長(zhǎng)，憑借經(jīng)驗(yàn)引發(fā)沖突，追根悟道靈動(dòng)生成，拓展延伸創(chuàng)意不斷，思潮涌動(dòng)智慧發(fā)展.

關(guān)鍵詞：生成性教學(xué);追根悟道;靈動(dòng)生成;智慧發(fā)展

教學(xué)的核心不是目標(biāo)的達(dá)成而是學(xué)生的發(fā)展，而學(xué)生的發(fā)展是在具體教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)的[1].生成性教學(xué)視野下的課堂教學(xué)，整體感悟，巧妙預(yù)設(shè)，自然生長(zhǎng)，憑借經(jīng)驗(yàn)引發(fā)沖突，追根悟道靈動(dòng)生成，拓展延伸創(chuàng)意不斷，思潮涌動(dòng)智慧發(fā)展.

一、憑借經(jīng)驗(yàn)? ?引發(fā)沖突

課堂教學(xué)在生成性教學(xué)的視野下組織，在整體感悟分式研究?jī)?nèi)容可以類比整式研究?jī)?nèi)容的前提下，自然從整式方程過渡到分式方程的問題，從回顧上一節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容開始，聚焦解分式方程，學(xué)生提及解分式方程的三種方法：①利用分式的值為0的條件解分式方程;②利用分子、分母比較的方法解分式方程;③利用等式的基本性質(zhì)兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母化分式方程為整式方程的解分式方程.其中方法③需要檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的方法為：把求得的未知數(shù)的值代入原方程，如果方程左右兩邊的值相等，未知數(shù)的值就是原方程的根，否則就不是.

在這樣的經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)下，筆者讓學(xué)生嘗試解方程：

（1）[3x+1-1x-1=0].

（2）[5x-4x-2=4x+103x-6-1].

生1解方程（1）的過程如下.

解：兩邊同乘以[（x+1）（x-1）]得：[3（x-1）-（x+1）=0].

解整式方程得：[x=2].

檢驗(yàn)：把[x=2]代入原方程

左邊=[32+1-12-1]=0，右邊=0，

左邊=右邊.

∴[x=2]是原方程的根.

生2解方程（2）的過程如下.

解：兩邊同乘以[3（x-2）]得：[3（5x-4）=4x+10-3（x-2）].

解整式方程得：[x=2]

檢驗(yàn)：把[x=2]代入原方程

左邊=[5×2-42-2]=0，右邊=[4×2+103×2-6]=0，

（分母無意義）? ?（分母無意義）

∴原方程無解.

生1的解方程過程沒有異議，但很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)生2的解方程過程中[5×2-42-2]=0的書寫是有問題的，分母無意義的說法值得肯定，但結(jié)果為0是錯(cuò)誤的，分母為0無法計(jì)算.課堂的意外發(fā)生了，是計(jì)算錯(cuò)誤嗎？學(xué)生都陷入沉思.

分母無意義情況的出現(xiàn)，引發(fā)了思維的沖突.課堂的生成在筆者的精心預(yù)設(shè)之下發(fā)生，筆者抓住這一契機(jī)，提出問題：

[x=2]是方程（2）的根嗎？難道計(jì)算錯(cuò)誤了嗎？

二、追根悟道? ?靈動(dòng)生成

經(jīng)過檢查，學(xué)生一致認(rèn)為：[x=2]不是方程（2）的根，計(jì)算沒有錯(cuò)誤.那為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？

小組討論：在解分式方程的過程中，哪一步變形可能引起未知數(shù)的值不是方程的根？

課堂討論在進(jìn)行，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題.

生3針對(duì)生2的解題過程說明：兩邊同乘以的最簡(jiǎn)公分母[3（x-2）]是0，而事先不知道最簡(jiǎn)公分母[3（x-2）]是0.這道題兩邊不能同乘以最簡(jiǎn)公分母[3（x-2）].

師：生3說得很有道理，但兩邊不能同乘以最簡(jiǎn)公分母[3（x-2）]的說法不能讓人信服，因?yàn)槲覀兘夥质椒匠涕_始時(shí)不知道最簡(jiǎn)公分母是不是0，現(xiàn)在乘了，要想一想是否有后補(bǔ)的措施？

學(xué)生異口同聲說：檢驗(yàn).

師：那檢驗(yàn)?zāi)男┓矫婺兀?/p>

生4：一要檢驗(yàn)計(jì)算的正確性，二要檢驗(yàn)得到的未知數(shù)的值是否適合原方程.

師：這就對(duì)了.現(xiàn)在比較乘以最簡(jiǎn)公分母[3（x-2）]前后的兩個(gè)方程，從解的存在的角度出發(fā)，有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：乘以最簡(jiǎn)公分母后的方程的解的范圍擴(kuò)大了，未知數(shù)的取值允許原來分母為0了.

師：這就是說，乘以最簡(jiǎn)公分母前后的兩個(gè)方程不一定是同解方程，乘以最簡(jiǎn)公分母后得到的整式方程加上最簡(jiǎn)公分母不為0才會(huì)與原方程同解.

學(xué)生在教師的追問下對(duì)問題的理解不斷加深，至此，學(xué)生明白了增根產(chǎn)生的原因，也知道了解分式方程要檢驗(yàn)的道理.

于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，回答問題：不是原方程的根叫什么根？

像這樣使分式方程的分母為0的根叫作原分式方程的增根.

解分式方程的過程在悟道的基礎(chǔ)上自然生長(zhǎng).

因?yàn)榻夥质椒匠炭赡墚a(chǎn)生增根，所以解分式方程必須要檢驗(yàn).但能用比較簡(jiǎn)明的方法檢驗(yàn)解分式方程產(chǎn)生的增根嗎？

新的問題再次引起學(xué)生的思考.

生6：增根的檢驗(yàn)不需要代入原方程，只要代入最簡(jiǎn)公分母.

師：具體怎么代呢？

生6：如果代入最簡(jiǎn)公分母的值是0，就是增根;如果代入最簡(jiǎn)公分母的值不是0，就是根.

師：請(qǐng)你改進(jìn)方程（2）的檢驗(yàn)過程.

生6到講臺(tái)前板書：檢驗(yàn)：把[x=2]代入最簡(jiǎn)公分母[3（x-2）]，得[3（x-2）=0].

∴ [x=2]是原方程的增根.

∴原方程無解.

師：今后熟練了，我們也可以直接寫：

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的增根.∴原方程無解.

解分式方程的規(guī)范過程在悟道的基礎(chǔ)上自然生成.

在已經(jīng)規(guī)范解分式方程過程的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生解下列方程：

（3）[1x-2=1-x2-x-3].

（4）[x-2x+2-x+2x-2=16x2-4].

生7板書解方程（3）過程如下.

解：[1x-2=-1-x-x-2-3（x-2）].

兩邊同乘以（x-2）得：1= -1+[x]-3（[x]-2）.

解整式方程得：[x]=2.

檢驗(yàn)：把[x]=2代入[x]-2=0.

∴[x]=2是原方程的增根.

∴原方程無解.

當(dāng)生7板書完成解方程（3）后，筆者沒有評(píng)判，而是讓全班學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤或書寫不妥之處可以直接走上講臺(tái)前修改.

生8把[1x-2=-1-x-x-2-3（x-2）]改為[1x-2=-1-x-x-2-3];

接著生9把[1x-2=-1-x-x-2-3]改為[1x-2=-（1-x）-（x-2）-3]，再變形為[1x-2=x-1x-2-3].

修改的過程在無聲的交替過程中進(jìn)行，學(xué)生觀察著、思考著，把利用等式的性質(zhì)與利用分式的性質(zhì)進(jìn)行比較、區(qū)別，解分式方程的過程在認(rèn)知漸進(jìn)的生成過程中不斷被修改、被規(guī)范、被糾正.

真正意義的課堂學(xué)習(xí)在不斷發(fā)生，課堂生長(zhǎng)的力量在持續(xù).

生8板書解方程（4）過程正確（略）.

規(guī)范解分式方程過程在練習(xí)實(shí)踐中進(jìn)一步充實(shí)、完善.

三、拓展延伸? ?創(chuàng)意不斷

隨著課堂的進(jìn)展，筆者正準(zhǔn)備出示含有字母參數(shù)的方程，但被學(xué)生修改完善解方式方程的過程深深感染.

于是靈機(jī)一動(dòng)，說：分式方程[1x-2=1-x2-x-3] 等號(hào)左邊的分子被污染了，用一個(gè)未知的字母[a]表示，變成[ax-2=1-x2-x-3]（筆者隨即在投影上做了修改），請(qǐng)問這個(gè)關(guān)于[x]的分式方程一定有解嗎？

筆者的提問引起學(xué)生的思考，馬上生9站起來說：[a]=1時(shí)，該方程無解;[a]≠1時(shí)，該方程有解.

教師問：你是怎么想的呢？

生9：憑感覺嘛！

師：憑感覺？怎么能憑感覺呢？應(yīng)該有道理吧，可以怎樣寫出過程？

生10：不妨先把含字母[a]的分式方程化成整式方程，再把可能的增根[x]=2代入得到的整式方程，就可以求出[a]了，看看是否有[a]=1.

根據(jù)學(xué)生的表述，筆者板書：

兩邊同乘以（[x]-2）得：[a]= [x]-1+3（[x]-2）.

當(dāng)[x]=2時(shí)，[a]= 1.

∴[a]= 1時(shí)，原方程有增根x=2，即原方程無解.

師：看來生9的直覺是正確的，數(shù)學(xué)需要直覺，但僅靠直覺并不可靠，需要想明白其中的道理，需要用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)出來.

筆者的教學(xué)機(jī)智顯然被激活了，再次靈機(jī)一動(dòng)要求學(xué)生繼續(xù)改編問題.

仿照教師的做法，把分式方程[1x-2=1-x2-x-3] 改編為含字母[a]的分式方程，討論該方程解的存在情況.先在白板上書寫編好的題目，再寫出解題過程.（磁性白板，學(xué)生書寫的小白板可以粘貼展示）

班中七個(gè)小組的學(xué)生迅速進(jìn)入合作學(xué)習(xí)狀態(tài)，6分鐘后，四個(gè)小組學(xué)生完成編題解題，兩個(gè)小組學(xué)生完成編題，解題沒有寫全，一個(gè)小組學(xué)生編題后寫解題過程遇到困難.

學(xué)生編題主要有三種.

編題1：[a]為何值時(shí)，分式方程[1x-2=a-x2-x-3]有增根？

編題2：[a]為何值時(shí)，分式方程[1x-2=1-ax2-x-3]無解？

編題3：[a]為何值時(shí)，分式方程[1x-2=1-x2-x-a]有增根？

筆者分別請(qǐng)編題小組學(xué)生當(dāng)小老師，講解編題的想法，說明解題過程.編題1、2的學(xué)生講解順利，編題3的學(xué)生講解如下.

解：兩邊同乘以（[x]-2）得：1=[x]-1-[a]（[x]-2）.

當(dāng)[x]=2時(shí)，1=2-1;

當(dāng)[x]≠2時(shí)，（[x]-2）（1-[a]）=0，[a]=1.

（此時(shí)，負(fù)責(zé)講解的學(xué)生無法說清楚是什么情況）

學(xué)生自己編的題自己說不明白.這一意外生成顯然也是筆者事先沒有預(yù)料的，課堂在此卡殼，師生都陷入沉思.

筆者此時(shí)讓學(xué)生冷靜地觀察、比較、思考，a=1時(shí)原方程可以變形為什么？a≠1時(shí)原方程又可以變形為什么？

馬上有生11說：[a]=1時(shí)原方程變?yōu)閇1x-2=1x-2]，這是一個(gè)恒等式.

師：未知數(shù)[x]可以取哪些值呢？

生11：除了2以外的所有數(shù).

師：此時(shí)方程的解有多少個(gè)？

生11：無數(shù)個(gè).

師：怎樣描述此時(shí)方程解的情況？

生12：當(dāng)[a]=1時(shí)，分式方程有除了2以外的無數(shù)個(gè)解.

師：另外一種情況怎么說呢？

生13：[a]≠1時(shí)，原方程變形為（[x]-2）（1-[a]）=0，一定有[x]=2，而[x]=2是增根，所以方程無解.

至此，在師生的對(duì)話過程中，思想的匣子被打開，智慧的思考發(fā)生了，編題3有了完美的解答，這一解答超越了常規(guī)，一般情況字母[a]取一個(gè)確定的值時(shí)，分式方程有增根，而本題中字母[a]取確定的值時(shí)，分式方程有除了2以外的無數(shù)個(gè)解，字母[a]除了1以外不確定時(shí)，分式方程無解，這是特殊的案例.

意料之外的生成促成深刻的思想的產(chǎn)生，現(xiàn)有的資料中沒有，過去教師也沒有講過，課堂生成開出美麗的花朵，鮮艷奪目.

在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步要求學(xué)生完成練習(xí)：

（5）若方程[2x+ax-2=-1]的解是正數(shù)，求[a]的取值范圍.

（6）關(guān)于[x]的方程[2xx+1-][ mx2+x= ][2x-1x]，

當(dāng)[m]為何值時(shí)，會(huì)產(chǎn)生增根？