例談如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“深一度”

尹文軍

(南京市浦口區(qū)行知小學(xué)，江蘇南京，210000)

深度學(xué)習(xí)是源于人工智能網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)概念，后被教育工作者引入教育教學(xué)，一般指在真實(shí)復(fù)雜的情境中，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能，對(duì)信息進(jìn)行深度加工，深刻理解和掌握復(fù)雜概念的內(nèi)在含義，并主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，進(jìn)而以知識(shí)遷移推進(jìn)實(shí)際問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)過(guò)程、狀態(tài)和結(jié)果。[1-2]在教學(xué)中，為實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“深一度”，教師需要超越表層的符號(hào)教學(xué)，[3]對(duì)學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)路徑、學(xué)習(xí)狀態(tài)做深入細(xì)致的思考和探究。

一、研究學(xué)習(xí)材料的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)本質(zhì)的“深一度”

什么是數(shù)學(xué)本質(zhì)？不同角度的分析可能會(huì)有不一樣的理解。不少學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是探索和研究數(shù)學(xué)所依賴的那些基本思想，也就是“將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的東西”，主要包括數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)建模的思想。最近，也有學(xué)者基于數(shù)學(xué)史的沿革，提出數(shù)學(xué)本質(zhì)就藏在數(shù)學(xué)演變的線索中，那些一直保留的并且不斷建構(gòu)和延展的數(shù)學(xué)內(nèi)容，理應(yīng)就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。此話說(shuō)起來(lái)簡(jiǎn)單，但尋找起來(lái)卻不是一件容易的事。

要想對(duì)“什么是數(shù)學(xué)的本質(zhì)”給出一個(gè)清晰的、公認(rèn)的表達(dá)，并不是一件容易的事情。問(wèn)題是一線教師應(yīng)該怎樣凸顯相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而有效落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的改革目標(biāo)。筆者認(rèn)為，天下大事必作于細(xì)，天下難事必作于易，教師應(yīng)該從熟悉的教材和課堂入手開展實(shí)踐和思考。

“認(rèn)識(shí)面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。面積的本質(zhì)是什么？在古代，為了確定農(nóng)業(yè)收成、計(jì)算稅收，必須丈量土地，由此產(chǎn)生了面積的概念。中國(guó)古代形象地用“冪”或“積”來(lái)表示面積。其中，“冪”指遮蓋物品的方形布，“積”指積累。因此，面積的本質(zhì)是“面的積累”。小面積大面，是物體表面的本質(zhì)屬性，非比較出來(lái)的大小，而是積累起來(lái)的“多少”。更重要的是，“冪”是測(cè)量面積的標(biāo)準(zhǔn)，即單位。所以，人類對(duì)面積的認(rèn)識(shí)源于測(cè)量。

基于對(duì)面積本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行以下測(cè)量活動(dòng)：(1)用鉛筆盒的面測(cè)量書本面，說(shuō)說(shuō)書本的面里大約有幾個(gè)鉛筆盒的面；(2)用書本的面測(cè)量課桌的面，說(shuō)說(shuō)一張課桌面里大約有幾個(gè)書本面；(3)觀察并說(shuō)說(shuō)黑板的面大約有幾個(gè)課桌的面；(4)用規(guī)定大小的紙片測(cè)量一張A4紙的大小。通過(guò)多個(gè)測(cè)量任務(wù)，學(xué)生運(yùn)用了不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)量，在此過(guò)程中感受到面積源于對(duì)物體表面的測(cè)量，測(cè)量面積要有一定的標(biāo)準(zhǔn)，面積的大小是指大面積里含有多少個(gè)小面積等本質(zhì)含義。測(cè)量活動(dòng)促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的深度認(rèn)識(shí)。

二、適時(shí)追問(wèn)核心問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)過(guò)程的“深一度”

估算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。在第一學(xué)段，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將“能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝弧弊鳛楣浪愕暮诵?。在人教版三年?jí)“用估算解決實(shí)際問(wèn)題”中有這樣一道例題：“每張門票8元，29位同學(xué)參觀，帶250元夠不夠？92位同學(xué)參觀，帶700元夠不夠？帶800元呢？”在解決此題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)用“30”和“90”分別作為“29位同學(xué)”和“92位同學(xué)”估算的單位，其估算的結(jié)果是可靠的。但是，在解決“800元夠不夠”的問(wèn)題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生仍然以“90人”為單位進(jìn)行估算，很少有學(xué)生想到用“100人”作估算單位。這種情況下，教師可適時(shí)追問(wèn)兩個(gè)問(wèn)題：(1)以“90人”為單位進(jìn)行估算，其估算結(jié)果可靠嗎？(2)由“帶800元”和“每張門票8元”這兩個(gè)條件，你還能想到什么？通過(guò)追問(wèn)，教師啟發(fā)學(xué)生可以用“100人”做單位進(jìn)行估算，學(xué)生比較之后發(fā)現(xiàn)，其估算結(jié)果比以“90人”為單位進(jìn)行估算更可靠。

三、追求數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的“深一度”

平移是物體運(yùn)動(dòng)的一種形式。在蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“圖形的平移”中，教師一般通過(guò)數(shù)格子的方式讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)動(dòng)的方向、距離以及圖形平移前后的大小、形狀及位置關(guān)系。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)平移的認(rèn)識(shí)往往是零碎的。為了幫助學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，教師可以嘗試以下學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)畫，畫出金魚圖平移的路線；(2)數(shù)，金魚圖向( )平移( )格。該任務(wù)具有一定的開放性，學(xué)生可以采用不同的方式進(jìn)行探索、解答，呈現(xiàn)出多種不同的畫法和數(shù)法，如圖1—圖3。

圖1 生1

圖2 生2

圖3 生3

在學(xué)生交流平移想法之后，教師可以把學(xué)生的幾幅平移路線放在同一張圖上，幫助學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析，提煉出平移運(yùn)動(dòng)的元素和特征，如圖4所示。

圖4 平移運(yùn)動(dòng)的元素和特征

從圖4可知，以平移的路線為核心，學(xué)生動(dòng)態(tài)地認(rèn)識(shí)了平移的本質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等。

四、尋求關(guān)聯(lián)、溝通的數(shù)學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)方法的“深一度”

數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)。由于思維方式和思維能力的差異，在解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生采用的方法也不盡相同。以人教版四年級(jí)“雞兔同籠”問(wèn)題為例?！盎\子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”為了解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生采用了多種方法，其中，比較典型的有畫圖法、列表法、直接計(jì)算法等。

生1：我是畫圖的，我先畫8個(gè)頭，每個(gè)先畫兩只腳，再一個(gè)一個(gè)添上兩只，邊畫邊數(shù)，數(shù)到26只，發(fā)現(xiàn)雞有3只，兔有5只。

生2：我是列表的，從雞有8只，兔有0只開始，一個(gè)一個(gè)推算出雞有3只，兔有5只。

生3：我是列式計(jì)算的，如果都是雞，就有8×2=16只，……

圖5 解題思路

當(dāng)學(xué)生匯報(bào)完各自的想法后，教師對(duì)這幾種想法進(jìn)行關(guān)聯(lián)和溝通，繪制出如圖5的解題思路。通過(guò)關(guān)聯(lián)，學(xué)生意識(shí)到，雖然表達(dá)形式不同，但它們的共同點(diǎn)都是先假設(shè)這8只全是同一種動(dòng)物(雞或兔)，再根據(jù)題中條件進(jìn)行調(diào)整。如此，學(xué)生對(duì)方法的認(rèn)識(shí)得到升華，思維得以進(jìn)階。

五、進(jìn)行有效的容錯(cuò)、化錯(cuò)，實(shí)現(xiàn)思維“深一度”

基于小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在帶著問(wèn)題和任務(wù)自主探索的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)多種既有共性又有個(gè)性的結(jié)果，也會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。對(duì)于錯(cuò)誤的結(jié)果，教師更多的應(yīng)應(yīng)是包容和合理利用。蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘小數(shù)”的計(jì)算一課中，學(xué)生計(jì)算3.8×3.2時(shí)出現(xiàn)了下面兩種典型錯(cuò)誤：

圖6 學(xué)會(huì)繪制的解題圖形

錯(cuò)誤1：

錯(cuò)誤2：

3.8×3.2=9.16(平方米)

此時(shí)，教師不必急于判斷對(duì)錯(cuò)，而是放手讓學(xué)生嘗試用不同的方法畫一畫、算一算房間的面積。在此過(guò)程中，部分學(xué)生畫出了如圖6的圖形?！跋裆厦娴乃惴?，哪幾塊面積沒有算出來(lái)呢？”通過(guò)畫、質(zhì)疑、爭(zhēng)辯、解釋，教師讓學(xué)生明晰錯(cuò)誤，進(jìn)而真正理解小數(shù)乘法的算理。