同心球殼電容器與同軸圓筒電容器的對應(yīng)性

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對于球形電容器和圓柱形電容器，由于帶電球面或帶電圓筒在其內(nèi)部空間產(chǎn)生的場強(qiáng)為零，則內(nèi)極板包圍的區(qū)域沒有電場；由于兩極表面的等量異種電荷都等效于集中在球心或軸線上而相互中和，則外極板之外的區(qū)域沒有電場.所以只在兩極板之間存在電場，或者說，電容器內(nèi)部電場相當(dāng)于只由里面的電極產(chǎn)生，與外面的電極無關(guān).而且兩種電容器的電容公式和優(yōu)化設(shè)計半徑的尺寸都具有對應(yīng)性.

1 電容器的尺寸設(shè)計

【例1】[1]兩個同心導(dǎo)體球殼，外球殼的內(nèi)半徑R=5 cm，內(nèi)球殼的外半徑可以任意選擇，若兩球殼之間充滿各向同性均勻電介質(zhì)，能使該電介質(zhì)恰好不被擊穿的電場強(qiáng)度為2×107V/m，試求兩球殼之間能承受的最大電壓.

解析:設(shè)內(nèi)球殼的外半徑為r，內(nèi)、外球殼的電荷量分別為Q，-Q，相對介電常數(shù)為εr，以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則兩球殼之間的場強(qiáng)與坐標(biāo)x的關(guān)系式為

可知兩球殼之間的電勢差為

由場強(qiáng)的關(guān)系式可知，當(dāng)x=r時，Ex取最大值，而Ex的允許最大值為Em，則

【例2】[2]由絕緣介質(zhì)隔開的兩個同軸的柱形導(dǎo)體構(gòu)成了同軸柱形電容器.設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體與介質(zhì)接觸面的半徑分別為r和R，長度為l(l?R-r)，兩圓筒之間充滿相對介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)，其擊穿場強(qiáng)為Emax.在外半徑R一定的情況下，為使電容器能夠承受的電壓最大，求內(nèi)圓柱導(dǎo)體的半徑r應(yīng)為多大.

解析:真空中均勻帶電無限長直線在距離為x處的場強(qiáng)大小為

設(shè)圓筒電容器內(nèi)、外兩極分別帶等量正、負(fù)電荷，那么只有在兩圓筒之間的區(qū)域存在電場，這相當(dāng)于只由里面的圓筒產(chǎn)生電場，而均勻帶電無限長圓筒在圓筒外面產(chǎn)生的電場可等效為電荷集中于圓筒軸線上的均勻帶電的無限長直線產(chǎn)生的電場，可知介質(zhì)中離軸線x處的場強(qiáng)為

(1)

電容器內(nèi)、外圓筒之間的電勢差為

(2)

由式(1)可知，當(dāng)x=r時，場強(qiáng)最大，而電介質(zhì)其擊穿場強(qiáng)為Emax，代入式(2)得

(3)

則

所以當(dāng)內(nèi)圓柱導(dǎo)體的半徑r=0.368R時，可使設(shè)計出的電容器能夠承受的電壓最大.

2 電容器的電容公式

【例3】試推導(dǎo)同心球殼電容器的電容公式.

解析:兩球殼之間的電勢差為

可知電容的倒數(shù)為

所以電容為

由此可知球殼電容器兩極等效正對面積等于兩個球殼表面積的幾何平均數(shù).

【例4】試推導(dǎo)同軸圓筒電容器的電容公式.

解析:同心圓筒電容器兩極的電勢差為

所以電容為