基于數(shù)學(xué)教學(xué)“二重原理”的弧度制教學(xué)設(shè)計形成研究

常春艷，白慧超，湯志娜

基于數(shù)學(xué)教學(xué)“二重原理”的弧度制教學(xué)設(shè)計形成研究

常春艷，白慧超，湯志娜

（廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

從數(shù)學(xué)史的角度遵循“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”原理，明晰數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的實際問題背景和意義，結(jié)合“高中學(xué)生數(shù)學(xué)認知現(xiàn)狀”遵循“教與學(xué)對應(yīng)原理”，創(chuàng)設(shè)核心問題，構(gòu)建教學(xué)設(shè)計路線圖，并以個案研究的形式分析教學(xué)設(shè)計的改進流程，形成體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)設(shè)計，為數(shù)學(xué)教師進行教學(xué)設(shè)計提供可借鑒的參考模式．

弧度制；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)的二重原理

數(shù)學(xué)教學(xué)二重對應(yīng)原理包括“教與學(xué)對應(yīng)”原理和“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”原理[1]．它可以幫助教師將教材中抽象的數(shù)學(xué)問題變成易于學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識,形成“教會學(xué)生思考”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計．但是對于教師如何將原理體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計并有效應(yīng)用于課堂教學(xué)實踐,常常出現(xiàn)“易想難做”的困惑局面．

1 教學(xué)設(shè)計現(xiàn)狀

教師往往依托于教材進行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計，為此以弧度制為例，從“數(shù)學(xué)史”的角度切入，分析一下教學(xué)設(shè)計的“數(shù)學(xué)史”呈現(xiàn)情況．如表1所示：3個版本的教材從“弧度制”的章節(jié)安排上看，都是在“任意角”概念后，但是所呈現(xiàn)的和“弧度制”相關(guān)的數(shù)學(xué)史卻明顯不同．“北師大版”選擇的數(shù)學(xué)史內(nèi)容通過“統(tǒng)一單位”講明了“弧度制”的由來，又用“有利于數(shù)學(xué)問題的表示和研究”說明了它的用途．“人教版”選擇了歐拉的著作更直接點明“弧度制”的數(shù)學(xué)用途——簡化三角公式計算,也就是指向了“弧度制”的應(yīng)用．這樣看來教材試圖告訴讀者弧度制從“哪里來”，到“哪里去”？“蘇教版”并未直接選用“弧度制”的相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容，但通過“巴比倫”對角度和圓的關(guān)系劃分，鋪墊了“弧度制”的起源．

然而教師們想要將這種思想通過教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)在課堂教學(xué)中時，就發(fā)生了變化．為此選取百度文庫上評分為5.0的10篇“弧度制”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計和一篇獲獎的說課稿,發(fā)現(xiàn)直接選取數(shù)學(xué)史內(nèi)容進行教學(xué)設(shè)計的只有2篇，其中一篇“創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置疑問”中提到三國時王肅編的《孔子家語》一書中記載有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知尋．”[2]一篇依據(jù)數(shù)學(xué)史“弧度制”產(chǎn)生的史料，設(shè)計了5個案例，幫助學(xué)生理解“弧度制”概念的本質(zhì)．其它9篇設(shè)計中都沒有涉及“弧度制”的相關(guān)史料和數(shù)學(xué)思想．

若將這些教學(xué)設(shè)計進行課堂教學(xué)實踐，就會出現(xiàn)：將相關(guān)史料以故事的形式作為課前導(dǎo)入，或者課中圖片展示，又或者課后史料補充，這樣既有可能忽視了“數(shù)學(xué)史”所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維方法[3]，也因缺失了學(xué)生的互動，錯過了“教學(xué)生成”的教育智慧，最終都有可能將偏離“教會學(xué)生思考”的最終目標．因此，掌握體現(xiàn)“數(shù)學(xué)”的教學(xué)理論基礎(chǔ)就尤為必要了．

表1 不同版本《弧度制》中數(shù)學(xué)史內(nèi)容比較

2 理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教育具有一般教育過程的性質(zhì)[4]，又具有自身特殊過程的性質(zhì)，這種雙重性質(zhì)的數(shù)學(xué)教育過程構(gòu)成了數(shù)學(xué)研究的對象．建立于這樣的思想基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)問題的研究就得以沿著“教與學(xué)對應(yīng)的原理”和“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)的原理”的理論基礎(chǔ)進行設(shè)計，這樣才能更好地幫助學(xué)生理解“弧度制”概念本質(zhì)，才有可能更好地應(yīng)用弧度制解決數(shù)學(xué)問題和實際生活問題．

2.1 教與學(xué)對應(yīng)

“教與學(xué)對應(yīng)”的原理指出[5]，數(shù)學(xué)教學(xué)需要根據(jù)學(xué)生的“學(xué)”來確定教師的“教”，即根據(jù)學(xué)生的基本學(xué)情和課堂的應(yīng)然表現(xiàn)，來確定教學(xué)的目標、內(nèi)容、方法和流程等．這樣看來盡管“弧度制”概念是統(tǒng)一的，但是基于不同學(xué)生的理解，就需要設(shè)計出符合學(xué)生認知規(guī)律的教授內(nèi)容．而了解他們的認知難點是最直接獲取學(xué)生數(shù)學(xué)認知規(guī)律的方法．其實對于大多數(shù)學(xué)生而言，弧度和角度的換算并不是理解上的難點．事實上，很多高中學(xué)生對于弧度制的概念和弧度角的概念比較難以辨析．這是因為在日常生活中，他們已經(jīng)熟練掌握了用角度制來衡量角的大小，熟悉了角度制的應(yīng)用．所以根據(jù)這個認知現(xiàn)狀，要從學(xué)生的生活情境出發(fā)，完成從已知的角度制到未知的弧度制的認知同化．

2.2 教與數(shù)學(xué)對應(yīng)

數(shù)學(xué)教學(xué)不是僅僅研究“教學(xué)”，更要研究教育中的數(shù)學(xué)，要把教育與數(shù)學(xué)的本質(zhì)對應(yīng)起來．就數(shù)學(xué)的本質(zhì)而言，它和形式是事物存在的兩個方面．本質(zhì)是事物本身所固有的根本屬性，形式是事物內(nèi)容的組織結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)方式．對于一個數(shù)學(xué)對象（概念、法則、公式、定理等），它的形式可能是多樣的、可變的，它的本質(zhì)卻始終是恒定的、不變的．這就是說，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅要學(xué)習(xí)它的形式（記住符號），更重要的是把握它的本質(zhì)（理解其在特定范圍內(nèi)始終不變的特質(zhì)）．就“弧度制”的本質(zhì)理解而言，從數(shù)學(xué)史的發(fā)展，更容易體會到它不同于教材中靜態(tài)的定義表述，它是一個動態(tài)的發(fā)展過程，伴隨數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，它的本質(zhì)逐漸顯露．

首先，它具有“問題”本質(zhì)[6]．它起源于實際的天文學(xué)問題，應(yīng)用于廣泛的幾何問題．而且伴隨科技的發(fā)展，這一概念將會表現(xiàn)出更豐富的內(nèi)涵．所以圍繞“問題”展開教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生理解“弧度制”問題的緣起、發(fā)展和應(yīng)用，既有利于學(xué)生對弧度制本質(zhì)的把握，又可以起到建構(gòu)新知識的導(dǎo)航作用．

其次，它以“比值”的形式將角數(shù)值化，從非連續(xù)的自然數(shù)集轉(zhuǎn)化成了具有連續(xù)性的實數(shù)集．可見，同一數(shù)學(xué)對象的不同表達形式正是變更非本質(zhì)特征的表現(xiàn)方式，從不同側(cè)面突出了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征．如果在概念學(xué)習(xí)中，注意從不同角度對對象的不同表現(xiàn)形式進行一系列的加工處理，形成以相關(guān)屬性為紐帶的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，那么，在不同的情景中就可以根據(jù)問題的形式和內(nèi)容，提取出相應(yīng)的有針對性的處理策略，就易于真正把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)．所以“比”是其根本屬性，而“比”的本質(zhì)，又要求兩個數(shù)量關(guān)系單位一致，這就為“角度制”向“弧度制”的轉(zhuǎn)化提供了自然過渡．

基于以上分析，制定以下教學(xué)設(shè)計框架．

3 教學(xué)設(shè)計框架建構(gòu)

3.1 圍繞二重原理預(yù)設(shè)教學(xué)設(shè)計

由“教與學(xué)對應(yīng)”和“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”的二重原理進行弧度制的教學(xué)設(shè)計[7]，要遵從學(xué)生的認知現(xiàn)狀和數(shù)學(xué)問題本質(zhì)進行內(nèi)容整合．

（1）基于學(xué)生認知創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，體現(xiàn)“教與學(xué)對應(yīng)”．

首先，學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和認知經(jīng)歷如表2．

從表2中可以看到學(xué)生已有：圖形中角的概念和π的初步認識，0°~360°角的認知和畫法，以及π和圓的關(guān)系．同時，在學(xué)習(xí)上述內(nèi)容的過程中，學(xué)生已有角的相關(guān)認知經(jīng)歷：從靜態(tài)角的定義到動態(tài)學(xué)習(xí)經(jīng)歷；部分學(xué)生了解無理數(shù)“π”和“角”的關(guān)系；初中的銳角的正弦、余弦和正切計算方法等．這些都直接有利于“弧度制”概念同化．

表2 與“弧度制”相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容

其次，為了學(xué)習(xí)未知的“弧度制”這個新概念，要明確采用哪一種概念教學(xué)模式更為適合？這就需要根據(jù)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀選擇適合的“概念同化”和“概念形成”模式進行教學(xué)設(shè)計（如表3）．

表3 “弧度制”概念的教學(xué)模式

根據(jù)預(yù)設(shè)內(nèi)容，就可以圍繞這一概念教學(xué)模式進行相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計內(nèi)容安排，比如概念同化要創(chuàng)設(shè)的情境，是便于利用先前的認知結(jié)構(gòu)從角的認識上進行上位學(xué)習(xí)，明確“角度制”和“弧度制”是同一個事物的兩個不同表達形式．而概念形成則要圍繞實際生活中“角”的應(yīng)用實例去感悟“弧度制”存在的必然性與合理性．

（2）基于數(shù)學(xué)史料設(shè)計核心問題，體現(xiàn)“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”．

教學(xué)設(shè)計中的情境不僅要考慮學(xué)生的接受程度，更要尊重數(shù)學(xué)史實，盡可能地揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，即要滿足“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”原理．它主要指教學(xué)的內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識對應(yīng)，教學(xué)的知識結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)對應(yīng)，教學(xué)情境與數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)對應(yīng)，教學(xué)的思維方法與數(shù)學(xué)思維方法對應(yīng)教學(xué)中的研究方法與數(shù)學(xué)研究方法對應(yīng)，教學(xué)中的表達方式與數(shù)學(xué)表達方式對應(yīng)．在教學(xué)中把握核心概念和教數(shù)學(xué)的“大方法”．

因此，以“弧度制”概念教學(xué)而言，要明確它“比”的本質(zhì)，要熟悉把握“角”的度量中，不同單位制下的表達形式和表達形式之間的聯(lián)系，進而解決“弧度制”的核心問題．這就需要根據(jù)數(shù)學(xué)史進行情境創(chuàng)設(shè)揭示“角”的變化特征，既有利于學(xué)生在情境中獲取“角”直觀表象，又與實際問題相聯(lián)系．為此，首先通過數(shù)學(xué)史的文獻的閱讀[8]，挖掘相關(guān)弧度制中蘊含的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題，然后根據(jù)教學(xué)目標，梳理出弧度制的核心問題，如表4所示．

3.2 圍繞核心問題形成教學(xué)設(shè)計框架

確立“為什么”和“有什么用”是“弧度制”課堂教學(xué)的核心問題后，教師需要結(jié)合教學(xué)現(xiàn)狀，利用教材創(chuàng)設(shè)情境，使這兩個問題成為課堂教學(xué)的“驅(qū)動力”，既要它驅(qū)動學(xué)生朝著解決這兩個問題的方向不斷深入思考，逐步揭示弧度制的概念本質(zhì)，又要它引領(lǐng)教師通過解決這些問題，教會學(xué)生學(xué)習(xí)更一般數(shù)學(xué)概念的科學(xué)研究方法．

（1）直線型教學(xué)設(shè)計．

表4 “弧度制”教學(xué)設(shè)計預(yù)設(shè)核心問題

圍繞人教版的教材內(nèi)容，采用概念形成的形式進行問題情境設(shè)計，根據(jù)數(shù)學(xué)史所體現(xiàn)的科學(xué)和數(shù)學(xué)價值[9]，以及便于學(xué)生更好聯(lián)系實際的生活價值，形成如下教學(xué)設(shè)計的框架，這就需要根據(jù)這個標準選擇弧度制的例子（如表5）．

表5 弧度制的“直線型”教學(xué)設(shè)計框架

（2）循環(huán)型教學(xué)設(shè)計．

靈活地將教學(xué)內(nèi)容以循環(huán)的方式體現(xiàn)出來，從數(shù)學(xué)史的材料中選取一些角度制無法解決的問題，將其用“數(shù)學(xué)化”的方法，通過計算，發(fā)現(xiàn)新的度量角的方法——弧度制．再通過合適的數(shù)學(xué)模型思想，建立“弧度制”的應(yīng)用，與角度制的應(yīng)用呼應(yīng)，做到從“產(chǎn)生問題出發(fā)，回到解決問題”，有助于學(xué)生形成解決一般問題的科學(xué)研究方法中來．這種設(shè)計可以看作是一種“概念同化”的教學(xué)方式，需要學(xué)生對角有一定的認知結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的運算技能，便于在解決問題的過程中，更好地理解“弧度制”的“比值”本質(zhì)（如圖1）．

圖1 弧度制的“循環(huán)性”教學(xué)設(shè)計框架

4 教學(xué)設(shè)計的實踐

根據(jù)預(yù)設(shè)的教學(xué)設(shè)計框架，依托某校高二學(xué)生的認知基礎(chǔ)，教師A選取數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容，完成“弧度制”的教學(xué)設(shè)計，并針對“核心問題”不斷修訂，進而通過課堂教學(xué)實踐檢驗逐步完善．

4.1 教師的教學(xué)設(shè)計初稿

教師A圍繞“弧度制從哪里來？”和“弧度制有什么用？”教學(xué)設(shè)計初稿配圖如圖2．兩個核心問題梳理對相關(guān)的數(shù)學(xué)史實進行梳理，在課堂教學(xué)中形成了如下教學(xué)片段．

圖2 弧度制教學(xué)設(shè)計初稿配圖內(nèi)容

【片段1】以“古希臘對正弦定義”形成認知沖突，引發(fā)學(xué)生興趣．

【片段2】“托勒密的部分弦表”[10]，讓學(xué)生直觀看到“度可以是弧長的單位”

【片段3】數(shù)學(xué)家阿耶波多弧長與弦長均采用60進制，但是他們的單位卻是不同的．圓周長是分為360份，以1/360為單位，而弦長是在將半徑分為60等份，取半徑的1/60作為長度單位．

做出如上的設(shè)計是因為教師主要考慮到下述教學(xué)問題．

（1）如何理解弧度制的概念？可以從“了解弧度制出現(xiàn)的原因”開始學(xué)習(xí)，如片段1、2、3．

（2）如何能對弧度制的適用性有更加深刻認識？參見片段4和5．

（3）如何從心理上更自然地接受弧度制？

從圖2中進一步分析可以看出，弧度制概念形成過程的合理性：從圓心角所對的弦和弧考慮，到圓心角所對半弦，再到圓心角的一半所對弦的猜想，清晰的表明了人類對“角”大小衡量方法的思維變化．但是以下問題值得深入分析．

Q：弧度制的本質(zhì)是什么？

A：用“邊”的關(guān)系描述角．

Q：邊的什么關(guān)系呢？

A：比值．

Q：弧度與角度的異同？

A：都是描述角的大小，單位制不同！

Q：弧度制的產(chǎn)生過程的數(shù)學(xué)思想是什么？

A：統(tǒng)一單位，化曲為直．

結(jié)合這樣的分析，教師A對圖2所采用的配圖提出質(zhì)疑，擔(dān)心學(xué)生認知水平不夠，難以理解，于是依據(jù)“教與學(xué)對應(yīng)”和“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”的雙重原理基礎(chǔ)，回到“弧度制”概念本質(zhì)，修改教學(xué)設(shè)計．

4.2 教師的教學(xué)設(shè)計修改版

考慮弧度制的本質(zhì)是一個比值，采取概念同化的方式，借鑒數(shù)學(xué)史資料提供圖3所示的配圖，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)“弧度制”概念緣起．

圖3 弧度制教學(xué)設(shè)計修改稿配圖內(nèi)容

【片段6】請學(xué)生說出角在哪里？根據(jù)配圖，可知在學(xué)過的直角三角形、圓、球中，是從簡單的圖形中認識角．但古人卻是從復(fù)雜的圖形中認識角的，這就是托勒密研究天文學(xué)中發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的角．

【片段7】無論在哪個圖形中，都要明確一個目的角的用途什么？度量！度量所在圖形中的各個線段的長度，面積大小等．那么在三角形中的角，可以通過量角器，銳角的正弦公式計算而得，在圓和球中呢？為了研究問題的方便，僅研究這個圓中的角還有什么別的方法能進行度量？

【片段8】啟發(fā)探究，在圖3中，怎么進行度量角的大小呢？沒有直角三角形，就構(gòu)造直角三角形，所以出現(xiàn)了弦長的關(guān)系，順其自然介紹數(shù)學(xué)史上各位大家的方法．

教師A利用概念形成的教學(xué)模式，借鑒正弦的“比”的概念，推導(dǎo)出弧度的比，若能啟發(fā)學(xué)生說出，角的大小是通過“曲線與直線”的比轉(zhuǎn)化成“直線比直線”的關(guān)系而加以界定，“弧度制”的概念本質(zhì)將更加清晰．

4.3 課堂的教學(xué)設(shè)計實踐

為了更好的突出“弧度制”的概念本質(zhì)，教師A再次明確弧度制的教學(xué)目標為下述3個：（1）體會“度”也可以用來表示“弧長”；（2）理解弧度制出現(xiàn)的來由，理解角的概念；（3）體會弧度制在高中學(xué)習(xí)中的實際應(yīng)用．為此確立了新的教學(xué)思路為：弧長用“度”來衡量—弦長由“半徑”求出—弦長與半徑單位不同（量直線與曲線單位不同）—統(tǒng)一弧長與半徑單位—托勒密的方法—阿耶波多的方法—歐拉方法—弧度角的定義—總結(jié)弧度制的意義，并最終選擇了以下教學(xué)配圖，通過課堂教學(xué)實踐進一步完善，形成下述教學(xué)片段．

圖4 弧度制教學(xué)設(shè)計課堂實錄稿配圖

【片段9】試用不同單位制度量同一線段AB的長度，啟發(fā)學(xué)生進行類比思考嘗試認識同一角度的不同表述．

【片段10】同學(xué)們先看下圖，老師畫出了一個角，角度為30°，我現(xiàn)在請一位同學(xué)來給我標記一下．

【片段11】師：現(xiàn)在對于一弧度角的描述，你明白了嗎？結(jié)合圖5，我們可以計算出1弧度角和角度角的關(guān)系，所以1 rad角比1°大很多呢！

另外弧度制還可以應(yīng)用于簡化物理學(xué)中圓周運動相關(guān)公式，以及高等數(shù)學(xué)部分極限公式和微分公式。這些都是弧度制為我們提供的便利應(yīng)用，它不僅簡化了公式便于計算，更為科學(xué)合理地描述事物本質(zhì)提供了思維方法．

圖5 一弧度角

通過觀摩課后教師評價反饋，這樣的教學(xué)設(shè)計創(chuàng)新度高，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用，是一次很好的嘗試．但是鑒于學(xué)生的認知程度不同，有些細節(jié)還需要不斷完善．比如考慮正弦函數(shù)自變量時，只能選用“弧度制”表示角的范圍，這是由函數(shù)定義決定的．但學(xué)生們往往會忽視“兩個非空數(shù)集”的本質(zhì)屬性，錯用“角度”表示，實際上嚴格的“1°”表示的一個圖形，而非“數(shù)”．

5 啟示

通過課堂教學(xué)實踐，教師們不僅發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史應(yīng)用于教學(xué)設(shè)計對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升空間很大，比如“托雷密弦表”中的（0.5°）的弧長對應(yīng)著0°31′21″是怎么算來的？這樣細節(jié)的問題，若師生合力探究，不僅加深“弧度制”的理解，而且解決這個問題的過程中用到了“托雷密定理、托勒密弦表、60進制與10進制的轉(zhuǎn)換、圓內(nèi)接正多邊形的做法”等知識，充分實踐了“發(fā)現(xiàn)問題，解決問題”的有效策略．其次將數(shù)學(xué)教與學(xué)“二重原理”貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計，絕非一件易事，它不僅需要精通數(shù)學(xué)，更要依據(jù)學(xué)生的認知現(xiàn)狀將教室外的天文、大自然與日常生活等現(xiàn)象，經(jīng)過長期的觀察和體驗，形成教室內(nèi)的數(shù)學(xué)問題，然后圍繞數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，數(shù)學(xué)問題所蘊含的思想方法，通過數(shù)學(xué)教學(xué)原理的設(shè)計應(yīng)用，讓學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)概念，更有效的解決實際問題．

[1] 涂榮豹．“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”原理的實踐——對“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計的思考[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（4）：5–9．

[2] 風(fēng)雨56910．弧度制教學(xué)設(shè)計[EB/OL]．（2018–06–29）[2018–10–21]．https://wenku.baidu.com/view/095674cd9ec3d5bbfd 0a745a.html?from=search．

[3] 汪曉勤，張小明．HPM研究的內(nèi)容和方法[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（1）：16–18．

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Design-Based Research on Instruction of the Topic of Radian Measure with Respect to the Dual Principle of Mathematics Education

CHANG Chun-yan, BAI Hui-chao, TANG Zhi-na

(Department of Mathematics and Information Science in Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

This study presented the background and significance of the historical development of the topic of radian measure. In consideration of “teaching corresponding to learning” and “high school students’ mathematical cognition”, we attempted to create key instructional tasks and established a map for instructional design. We then analyzed and modified a teaching case so as to provide a detailed process model for teaching, which reflects historical development of the topic.

radian; history of mathematics; dual principle of mathematics education

2020–02–06

2018年度廣東省高等教育改革項目——基于新師范建設(shè)的數(shù)學(xué)教學(xué)技能訓(xùn)練模式和路徑研究（粵教高函【2018】180號–458）

常春艷（1977—），女，山西太原人，博士，副教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論及數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究．

G421

A

1004–9894（2020）04–0034–04

常春艷，白慧超，湯志娜．基于數(shù)學(xué)教學(xué)“二重原理”的弧度制教學(xué)設(shè)計形成研究[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（4）：34-37．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]