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    幾何直觀:運算概念教學(xué)的有效通道

    2013-12-29 00:00:00劉善娜宋煜陽

    小學(xué)數(shù)學(xué)運算概念的學(xué)習(xí),主要包括四則運算概念、積的變化規(guī)律、商不變的性質(zhì)和運算律等內(nèi)容。在運算概念教學(xué)中,如何化抽象為具體、變復(fù)雜為簡明,一直是教學(xué)的焦點問題。一般地說,幾何直觀是運算概念教學(xué)目標(biāo)達成的有效通道。因為幾何直觀可以借助形與數(shù)的對應(yīng)幫助學(xué)生理解形與數(shù)的關(guān)聯(lián),有助于運算概念的引入;可以借助形的表象來幫助學(xué)生理解抽象的運算算理,有助于運算方法的理解和掌握;可以借助形的幾何推算激發(fā)學(xué)生對運算規(guī)律的探究欲望,有助于運算規(guī)律的應(yīng)用。本文就幾何直觀在運算律概念、運算算理理解、積的變化規(guī)律的教學(xué)中的實際運用為例,試著尋求以幾何直觀為主要路徑與手段來發(fā)現(xiàn)運算概念中內(nèi)隱的幾何背景,從而有效揭示運算概念的本質(zhì)。

    一、幾何直觀有利于運算概念的引入

    數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的運算概念呈現(xiàn)線性的教學(xué)結(jié)構(gòu)體系,根據(jù)同一領(lǐng)域內(nèi)容的先后順序縱向展開。如果把這塊知識和圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容結(jié)合,就能使知識點的學(xué)習(xí)環(huán)環(huán)相扣,形成一個網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。而兩者的結(jié)合點,就是利用幾何直觀對應(yīng)形與數(shù),使學(xué)生在理解形與數(shù)的關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上,有效建構(gòu)運算概念。

    在教學(xué)乘法分配律后,教師總會發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在著大量的運算錯誤,主要形式有“(a×b )×c”與“(a+b )×c”混淆,“(a+b)×c”演算成“a+b×c”。出現(xiàn)困難的學(xué)生往往只建立了運算概念的表象,并沒有將其本質(zhì)納入自身的知識結(jié)構(gòu)中。其中重要的原因是學(xué)生對乘法分配律引入的表征感悟不深。在課堂上,如果只讓學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)”到“數(shù)”、從“算”到“算”的乘法分配律建構(gòu)過程,只讓學(xué)生用“數(shù)”表征“數(shù)”、用“算”表征“算”,那么學(xué)生對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿層面,既給他們帶去記憶負擔(dān),又導(dǎo)致他們在多種運算律齊學(xué)之后胡亂運用。

    那么,以什么來表征乘法分配律,以什么來引入乘法分配律的建構(gòu)呢?在學(xué)生的學(xué)習(xí)中,雖然數(shù)與形一方面分別以不同的方式存在于各自的領(lǐng)域,但教師可以想辦法將它們聯(lián)系起來,例如,長方形的周長就與乘法分配律相關(guān)聯(lián)。學(xué)生在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形的周長,是否可以利用長方形周長的計算經(jīng)驗、直觀的線段圖來引出抽象的乘法分配律?筆者進行了嘗試,并收到了意想不到的效果。

    (一)以形引數(shù),以數(shù)表形

    師:用兩種方法求出第一個長方形的周長。

    生:5×2+3×2=16,(5+3)×2=16。(從形到數(shù),是抽象概括)

    師:指一指式子中每一步運算表示的是圖上的哪一部分。[“指一指”是從數(shù)到形,發(fā)現(xiàn)每一步運算代表的直觀意義,借助直觀理解(5+3)×2=5×2+3×2。]

    (二)借助直觀,理解乘法分配律的基本模型

    師(課件變數(shù)據(jù)):現(xiàn)在,你還能算這個長方形的周長嗎?

    生:(長+寬)×2,長×2+寬×2。

    師:左邊乘了一個2,右邊乘了兩個2,左右為什么會相等?(長+寬)×2=長+寬×2,看起來更合理。

    生:不是的。(長+寬)×2,是長方形一條長與一條寬先合起來,然后有這樣的兩份。長+寬×2,只有一條長兩條寬,變成一個殘疾長方形了。長×2+寬×2,是兩條長兩條寬,還是這個長方形。

    師:你們能把自己的意思畫出來嗎?

    (思考:學(xué)生原本對乘法分配律中數(shù)的變化并不在意,對“2”也不關(guān)注,他們很清楚用兩種方法求出的周長肯定相等,可現(xiàn)在不得不把所有的注意力都集中到式子中唯一的數(shù)字“2”上。他們經(jīng)歷了剛才的“指一指”,對每一步運算代表的直觀意義有了清晰的解讀,因此能很快畫出直觀圖來表示(長+寬)×2、長×2+寬×2、長+寬×2所代表的意義。在這個過程中,學(xué)生自己利用直觀形象予以解釋,對乘法分配律的基本模型有更深刻的理解,無形中減少了類似(5+3)×2=5+3×2這樣的錯誤。)

    師:當(dāng)長方形的長和寬變成a和b,周長怎樣算?

    生:(a+b)×2,a×2+b×2。

    師:a和b可以是幾?你能舉例嗎?

    師:觀察,這些式子里,誰總是不變的呢?

    生:“2”,沒有變。

    師:那如果“2”也變了,比如說變成了3,兩個式子還會相等嗎?請舉例,并用作圖的方式說明你的看法。(個別學(xué)生板演)

    生: (a+b)×3=a×3+b×3。

    (多名學(xué)生舉例、說明)

    師:既然這個2也可以變,可以是3,可以是4……那我們可以用一個怎樣的式子加以概括?

    生:(a+b)×c=a×c+b×c。

    師:觀察一下你們畫的圖形,長度為a和b的線段有什么特點?

    生:兩種線段一樣多。

    師:當(dāng)長度為a和b的線段擁有相等的數(shù)量時,我們總能得到這樣的兩個相等的式子嗎?當(dāng)它們都有10份時,總長度是多少?

    師:(a+b)×10=a×10+b×10。

    師:誰來舉例?

    生:當(dāng)a和b都有99份時,(a+b)×99=a×99+b×99。

    師:能看圖說嗎?

    生:(5+12)×3=5×3+12×3。

    師:(5+12)×3,從圖上怎么看?5×3+12×3又是怎么看?

    師:大家都能理解為什么(a+b)×c=a×c+b×c,這很好。但這(a+b)×c=a×c+b×c,還表示著一種運算律,叫作乘法分配律。

    (思考:在這一系列寫、說、畫之后,學(xué)生會自然地發(fā)現(xiàn)當(dāng)a和b數(shù)量相等時,教師總可以寫出這樣的兩個相等的式子。借助直觀一步一步提取了基本模型,提取后再從數(shù)到形用直觀加以表征,數(shù)與形也就結(jié)合起來共同納入學(xué)生的認知系統(tǒng)。在數(shù)與形獨立、 對應(yīng)的基礎(chǔ)上,讓兩者承接內(nèi)聯(lián),相互作用、相互影響,以便于學(xué)生更深刻地理解知識, 更全面地揭示知識的本質(zhì)。)

    二、幾何直觀有利于運算方法的理解

    在計算教學(xué)中,經(jīng)常能看到數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。但如何在算理算法上突破以往的思維慣性,讓直觀幾何真正起到幫助學(xué)生理解算法的作用呢?丁杭纓老師的“多位數(shù)乘一位數(shù)筆算”教學(xué)給教師提供了極佳的范例。

    (6 位小朋友參加羽毛球訓(xùn)練,教練員要求“每人準(zhǔn)備 30 只羽毛球 ”,他們訓(xùn)練了一個月后,有3個小朋友剩下的羽毛球只數(shù)都是12只,另3個小朋友剩下的都是21只)

    師:剛才同學(xué)們分別用口算的方法、豎式的方法嘗試計算了 21×3 的積。這兩種方法你看懂了嗎?為了證明大家已經(jīng)理解了,老師想和大家一起合作,我點豎式中的一個(部分)數(shù),你們點出它相當(dāng)于橫式中的哪一步?在這幅圖中(見下圖),又是指哪一部分呢?(師點“ 3”,生點 “ 3 ×1 =3”,另一生指出了圖中王芳、陳園、張晴所剩下的羽毛球中,零散的3只。師再指 6,生圈3×20=60,另一生指出3人剩下6盒羽毛球)

    師: 從上圖可以看出豎式中的每一步和口算、 圖都是有密切聯(lián)系的。

    師:剛才我們計算了 21×3和 12×3, 再把兩個積相加, 算出還剩羽毛球 99 只。老師也解答了這個問題, 但是我的算式是這樣的: 33×3=99, 請你猜一猜, 老師是怎么想的?

    生: 知道了, 21 和 12 加起來是 33, 再把 33 和 3 乘起來。

    師: 請你在圖上指給大家看, 21 和 12 加起來是什么意思?……

    師: 請你用豎式計算 33×3。(學(xué)生獨立計算,互相說明計算方法)

    (思考:在這樣一個教學(xué)過程中,運用幾何直觀是教師的重要教學(xué)手段。幾何直觀為理解算理與算法提供了豐富的支撐。學(xué)生學(xué)會了算,理解了為什么這樣算,使運算在學(xué)生眼里不再是枯燥的,而是豐滿和立體的。)

    三、幾何直觀有利于運算規(guī)律的應(yīng)用

    在小學(xué)運算概念中,主要有積變化的規(guī)律和商不變的規(guī)律。積的變化規(guī)律一課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生探索因數(shù)變化引起積的變化規(guī)律,感受發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律。

    教材以兩組乘法算式為載體,試圖引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、口算、計算、說理、交流等活動,歸納出積的變化規(guī)律,并會用數(shù)學(xué)語言刻畫這個規(guī)律,感悟函數(shù)的思想方法。因此,在教學(xué)中,教師大多是從口算引入,再來引出規(guī)律,然后舉例驗證,最后應(yīng)用。

    學(xué)生雖然通過觀察、歸納,看似能夠比較順利地歸納出積的變化規(guī)律,但在實際應(yīng)用時,卻出現(xiàn)了問題。

    例如,下面這樣一道題(見圖1、圖2)。第二個因數(shù)依次擴大到原數(shù)的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍,學(xué)生的正確率較高??梢坏⑺闶巾樞虼騺y,將題目重新排列(見圖2),錯誤卻大增。而當(dāng)學(xué)生遇到下面這道題(見圖3)時,僅個別學(xué)生能夠自發(fā)運用積的變化規(guī)律去計算。

    圖 1

    圖 2

    圖3

    這說明學(xué)生從探究到應(yīng)用使用的材料都是以組為單位按一定規(guī)律排列的乘式,探究時往往數(shù)據(jù)很簡單,使學(xué)生在易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時形成了對規(guī)律沒有學(xué)習(xí)需求的問題。而且從數(shù)到數(shù),他們只看到積的0一個一個多起來了,卻沒有深刻領(lǐng)悟0因誰而多起來,為什么多起來,也無法將其與幾何圖形自發(fā)關(guān)聯(lián)。因此,很多學(xué)生不具備靈活應(yīng)用積的變化規(guī)律的能力。

    積的變化規(guī)律是小學(xué)階段第一次概括運算規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律,教師應(yīng)該注意在歸納和應(yīng)用的過程中讓學(xué)生經(jīng)歷一個從直觀到抽象的過程,讓“形”成為“數(shù)”的支撐,讓學(xué)生經(jīng)歷一個自發(fā)需要探究規(guī)律、運用規(guī)律的過程,讓探究需要成為規(guī)律歸納與應(yīng)用的動力,使學(xué)生能將規(guī)律靈活應(yīng)用于實際問題的解決。

    第一步,計算中探求規(guī)律。呈現(xiàn)多個長方形,無序擺放,讓學(xué)生求出它們的面積。給出的數(shù)據(jù)不容易口算,又要計算4個圖形,學(xué)生自然會感到很麻煩。教師引導(dǎo)“看誰動作快,一邊算,一邊可以觀察哦!發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)秘密,你就不會覺得計算麻煩了”。當(dāng)有個別學(xué)生發(fā)現(xiàn)秘密后,就會刺激其他學(xué)生去發(fā)現(xiàn),允許同桌交流,擴大探究面。

    第二步,結(jié)合直觀描述規(guī)律。讓學(xué)生上講臺來匯報他們的發(fā)現(xiàn)和思考。在學(xué)生回答時,教師緊扣“誰變了,誰不變,誰跟著變”將式子中的數(shù)與圖中的數(shù)據(jù)對應(yīng),從數(shù)的變化推論圖形面積的變化,又用圖形的形狀和面積的變化來直觀式子中數(shù)的變化。在學(xué)生描述發(fā)現(xiàn)的過程中,將上圖變成下圖,使學(xué)生直觀地認識到一條邊的長度不變,另一條邊擴大幾倍,面積也擴大相應(yīng)的倍數(shù)。

    借助“形”的支撐,學(xué)生很快歸納出“一個因數(shù)不變,另一個因數(shù)擴大幾倍,積也擴大相應(yīng)的倍數(shù)”這一運算規(guī)律。

    第三步,以形表數(shù),靈活應(yīng)用。提出“看到120×23,你想到了怎樣的圖形?”這類作圖問題,使學(xué)生在“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換中完全掌握規(guī)律。隨后做圖3的變化題(見圖4)。

    圖4

    把560變成544,544÷8×24與544×(24÷8),在計算上544×(24÷8)優(yōu)勢明顯,凸顯運用規(guī)律的便捷性。而560÷8×24和560×(24÷8),誰更方便呢?方法不同,僅僅是解決問題的策略多樣化,并未為運算規(guī)律的應(yīng)用提供助力。

    數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)與形雖然存在于兩個系統(tǒng)領(lǐng)域中,但兩者在某種意義上往往存在著要素的對應(yīng)關(guān)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)運算概念教學(xué)中,如果能充分挖掘運算概念中的幾何內(nèi)涵,優(yōu)化幾何直觀的教學(xué)行為,打通數(shù)與形之間的通道,必將會使學(xué)生更深刻地理解運算概念,更全面地揭示概念的本質(zhì),學(xué)習(xí)也必將更為直觀和更具數(shù)學(xué)味。

    (浙江省奉化市實驗小學(xué) 315500

    浙江省奉化市教師進修學(xué)校 315500)

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