除數(shù)或分母為零時的概述之商榷

常秀芳

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037007）

清晰、準(zhǔn)確、無誤的數(shù)學(xué)概念不僅有助于理解問題時不會發(fā)生歧異，而且還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理中具有嚴(yán)密的邏輯性、條理性、精確性和簡潔性，更會促使問題解決時善于創(chuàng)新[1-3]。

1 除法的定義

定義1已知兩個數(shù)a、b，如果存在一個數(shù)q，使得q與b的乘積等于a，即bq=a，那么這種運(yùn)算叫做除法。記作

a÷b=q,

讀作“a除以b(或b除a)等于q”，數(shù)a叫做被除數(shù)，數(shù)b叫做除數(shù)，數(shù)q叫做數(shù)a與b的商，符號“÷”叫做除號[2]。

2 除法運(yùn)算的封閉性

從定義即可知道，如果bq=a，則a÷b=q，那么在這種運(yùn)算關(guān)系中，很明確地說明了除法是乘法的逆運(yùn)算，也就是已知積與一個因數(shù)求另一個因數(shù)的運(yùn)算。

2.1 商的存在性

當(dāng)除數(shù)不為零時，商是唯一存在的。

特別地，當(dāng)除數(shù)為零時，因為除數(shù)為零，即b=0 時，那么

①當(dāng)被除數(shù)a≠0 時，由于任何數(shù)乘以0 都不可能等于數(shù)a，所以a÷0 的商是不存在的；

②當(dāng)被除數(shù)a=0 時，因為任何數(shù)乘以0都等于0，所以a÷b的商是不確定的，可以為任何的數(shù)。

2.2 商的唯一性

數(shù)的四則運(yùn)算，每一個學(xué)生都能夠掌握，而在沒有學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時，我們知道，中小學(xué)在減法運(yùn)算中規(guī)定被減數(shù)不小于減數(shù)。這樣，加法、減法與乘法運(yùn)算是封閉，和、差(如果存在)與積都是唯一的。但在除法中為了排除商(如果存在)不是唯一或不存在的情況，于是也需規(guī)定在除法中，除數(shù)不能是零即可。

在整數(shù)范圍內(nèi)，除法運(yùn)算不封閉，其也不總是可以施行。例如，就不存在一個與2 相乘等于7 的整數(shù)，這說明整數(shù)集對于除法運(yùn)算是不封閉的。但是，如果兩個數(shù)有整數(shù)的商存在，那么這個商一定是唯一的。

定理1在除法運(yùn)算中，若有整商存在，那么商唯一。即若a÷b=q，則商q是唯一的。

證明假設(shè)a÷b的商不唯一，有兩個不同的商q和q′，即q≠q′，

由除法的定義知

bq′=a，bq=a，

因此0=a-a=bq-bq′=b(q-q′)，

而b≠0，故q-q′=0 即q=q′，這與假設(shè)產(chǎn)生了矛盾。所以a÷b的商不能有兩個不同的商，于是a÷b的商是唯一的。

3 分?jǐn)?shù)與除法聯(lián)系

3.1 分?jǐn)?shù)的定義

定義2形如的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)，其中n是大于1的自然數(shù)，叫做分母；m是大于1的自然數(shù)，叫做分子；中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線[2]。

3.2 分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

分子相當(dāng)于被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號，分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于商。在除法中，除數(shù)不能為零，在分?jǐn)?shù)里分母也不能為零。

分?jǐn)?shù)與除法是有區(qū)別的，分?jǐn)?shù)是一個數(shù)，除法是一種運(yùn)算。

4 除數(shù)或分母為零是有意義的

在空間解析幾何中，方程

若有一個為0，不妨m=0，而n、p≠0時，方程為

則該直線是平行于坐標(biāo)平面oyz。

若有兩個為0，不妨m=0，n=0，而p≠0時，方程為

則該直線是平行于坐標(biāo)軸z軸。

此時分母為零，應(yīng)用了除法概念中除數(shù)為0，被除數(shù)也為0，商存在的特性，從而分?jǐn)?shù)值存在。

綜上可知，分母為零并不是沒有意義。

5 除數(shù)或分母為零概述的商榷

在中小學(xué)，除法中，當(dāng)除數(shù)為零時，或在分?jǐn)?shù)中遇到分母為零時，它和減法中被減數(shù)要不小于減數(shù)一樣，便于中小學(xué)生的認(rèn)知，應(yīng)該給學(xué)生灌輸?shù)氖俏覀儠簳r不考慮這種情況，也可以說現(xiàn)在我們規(guī)定的除數(shù)或分母不為零，我相信學(xué)生一定能夠接受的。

然而，學(xué)生在中小學(xué)階段的一些教材教參中，甚至絕大部分教師都認(rèn)為除法或分?jǐn)?shù)中除數(shù)與分母為0是沒有意義的。這樣使學(xué)生經(jīng)過十幾年來定勢的影響，到后續(xù)的學(xué)習(xí)造成很大的干擾。本人認(rèn)為商不唯一或不存在，貿(mào)然直接來個沒意義，這是極其荒誕的，對科學(xué)是極其不負(fù)責(zé)任的、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，必須予以修正?/p>