基于一種分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)閉環(huán)泛函的量化采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

陳剛，陳云，王煒，李亞琦

(1.湖南工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南株洲，412007；2.電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南株洲，412007)

采樣系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于數(shù)字控制系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，并隨著基于事件觸發(fā)和自觸發(fā)控制技術(shù)的出現(xiàn)，采樣系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為當(dāng)今控制領(lǐng)域最熱門的方向之一[1-2]。在實(shí)際應(yīng)用中，1個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定與否是決定整個(gè)系統(tǒng)能否正常運(yùn)行的前提保障，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究具有重要的理論意義與實(shí)際意義[3]。為了分析采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有如下3種基礎(chǔ)分析方法：將采樣系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)模型方法[4-5]；將采樣系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為跳變系統(tǒng)的脈沖系統(tǒng)方法[6]；基于李亞普諾夫泛函并將采樣系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為時(shí)滯系統(tǒng)的輸入時(shí)滯方法[7-8]。為了放松泛函中矩陣正定的限制，SEURET等[9]基于以上3種方法，結(jié)合混沌動(dòng)態(tài)系統(tǒng)方法與脈沖系統(tǒng)方法，提出了一種依賴轉(zhuǎn)換泛函狀態(tài)的閉環(huán)泛函分析方法。在此基礎(chǔ)上，SEURET[10]給出了1 個(gè)基于Wirtinger 積分不等式的穩(wěn)定性判據(jù)，獲得了更大的穩(wěn)定采樣區(qū)間上界。LEE等[11]采用基于自由權(quán)矩陣積分不等式的時(shí)滯相關(guān)不連續(xù)李亞普諾夫方法研究了采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性，再一次改進(jìn)了采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。在文獻(xiàn)[4-11]的方法中，都只關(guān)注了從tk到t 的采樣區(qū)間信息，卻忽視了從t 到tk+1的采樣區(qū)間信息。ZENG等[12]提出了2個(gè)采樣區(qū)間都考慮的新閉環(huán)泛函，得到了接近理論分析值的穩(wěn)定性判據(jù)。然而，以上研究仿真實(shí)例結(jié)果與由經(jīng)典特征值分析法所得結(jié)果相比，仍存在一些不足。另一方面，在數(shù)字控制系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，信號(hào)通過網(wǎng)絡(luò)傳輸之前需要經(jīng)過量化器處理，量化器可以看成一類非線性映射，將實(shí)數(shù)集的不同段映射到不同水平。由于字長有限，量化誤差不可避免且降低系統(tǒng)性能[13-14]。長期以來，對量化的研究一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)[15-19]。利用離散系統(tǒng)模型，HOU 等[15]研究了量化采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。ISHII 等[16-17]給出了量化采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的無記憶量化器的設(shè)計(jì)方法和隨機(jī)算法，但所使用的處理量化誤差的方法僅僅關(guān)注了系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，沒有考慮系統(tǒng)的性能。為解決此問題，F(xiàn)U等[18]提出了量化誤差可以用扇區(qū)有界的不確定性或非線性處理，這樣，魯棒控制分析方法可用于研究量化誤差對采樣系統(tǒng)的影響。基于FU 等[18]提出的處理量化誤差的方法，SHAO 等[19]通過構(gòu)造了1個(gè)分段可微的李雅普諾夫泛函，得出了量化采樣系統(tǒng)的指數(shù)和漸進(jìn)穩(wěn)定性判據(jù)，但所使用的時(shí)滯分析方法保守性很大，需進(jìn)一步改進(jìn)。為此，本文作者對量化采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究。首先，在采樣區(qū)間內(nèi)，引入1種分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)空間模型，然后構(gòu)造1 個(gè)充分利用從tk到t-λμ(t)，從tλμ(t)到t 和從t 到tk+1的區(qū)間狀態(tài)信息的全新閉環(huán)泛函。結(jié)合二階廣義自由權(quán)矩陣積分不等式和含自由權(quán)矩陣的恒零等式，得到采樣系統(tǒng)有量化和無量化這2個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)。最后，通過數(shù)例仿真對比其他文獻(xiàn)結(jié)果證明這2個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)的有效性和優(yōu)越性。

1 問題描述

定義如下符號(hào)：上標(biāo)T 和-1 分別表示矩陣或矢量的轉(zhuǎn)置和求逆；?n和?n×m分別表示實(shí)數(shù)域的n維向量空間和n×m 維的矩陣空間；矩陣P＞0 表示矩陣P 為對稱正定矩陣；0 和I 分別為零矩陣和單位矩陣；在塊矩陣中，?表示對稱項(xiàng)；P 為矩陣；Sym{P}表示P+PT；diag{b1，…，bn}代表塊對角矩陣；col{b1，…，bn}表示一組列向量，其中，b1，…，bn代表任意矩陣或向量。

考慮如下量化采樣系統(tǒng)：

式中：x(t) ∈?n，為系統(tǒng)狀態(tài)向量；A 和B 為有合適維度的系統(tǒng)矩陣；狀態(tài)量化控制輸入u(t) ∈?m；K為系統(tǒng)控制增益矩陣；q(x(tk))表示量化器x(tk)的量化值。

采樣瞬間tk+1和tk滿足tk+1-tk=hk∈[h1,h2]，且h2≥h1＞0，其中，h1和h2分別代表采樣區(qū)間最上界和最下界。

量化器是對稱的，qi(-xi(tk))=-qi(xi(tk))，可描述為

其量化級(jí)數(shù)集合υ為

其中：ρ為量化密度且滿足0＜ρ＜1，初始量化υ0＞0。

式(2)中的量化器q(?)可以定義為

與文獻(xiàn)[19]中結(jié)果類似，當(dāng)xi(tk)≥0時(shí)，有

當(dāng)xi(tk)＜0時(shí)，有

所以，量化器可以描述為

其中，g(x(tk))為非線性函數(shù)并滿足

量化采樣系統(tǒng)模型可以改寫成

當(dāng)系統(tǒng)沒有狀態(tài)量化時(shí)，無量化采樣系統(tǒng)模型為

定義1：分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)的采樣系統(tǒng)狀態(tài)定義為x(t-λμ(t))，其 中，λ ∈(0,1)，t - λμ(t)∈[tk,t)，μ(t) =t - tk, μ˙(t) = 1。

基于以上定義，可以得出如下狀態(tài)空間模型：

注釋1：這種狀態(tài)空間模型與時(shí)滯系統(tǒng)中的狀態(tài)分割思想類似，但不同之處在于這里μ˙(t) = 1，不能直接在時(shí)滯系統(tǒng)中使用。但在量化采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，計(jì)算量不復(fù)雜和在構(gòu)建的泛函中增加了狀態(tài)信息x(t-λμ(t))，這使得其能夠很好地得到應(yīng)用。

引理1：給出正定對稱矩陣M ∈?n×n和任意矩陣Di∈?n×k(i=1，2，3)，對于任意可導(dǎo)函數(shù)x(?) ∈[a,b]→?n， Ψj∈?n×k， Ψ3j∈?n×k(j=1, 2) 和向量ζ ∈?k，有如下不等式成立：

其中：

注釋2：引理1 是基于文獻(xiàn)[12，20-21]所得，是一種二階廣義自由權(quán)矩陣積分不等式。這種積分不等式的優(yōu)勢在于估計(jì)積分項(xiàng)時(shí)不需要使用逆凸技術(shù)，與文獻(xiàn)[10]中的積分不等式相比，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性效果更好。

2 主要結(jié)果

在給出主要定理之前，有如下定義：

定理1：給定標(biāo)量h1，h2和λ ∈(0,1),存在矩陣P＞0，R1＞0，R2＞0和R3＞0，且存在具有合適維數(shù)的任意矩陣S1，S2，Z1，Z2，Z3，Q，G，M1，M2，M3，H1，H2，H3，H4，H5和H6，對角矩陣N＞0，對于hk∈{h1,h2}，有線性矩陣不等式

成立，則系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定。式中：

證明：首先構(gòu)造含分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)的泛函：

其中：

其中：

用引理1估計(jì)上面3個(gè)積分項(xiàng)，可得：

然后，根據(jù)式(9)可得

即

其中：L=diag{l1，l2，…，ln} 。

類似文獻(xiàn)[12]，有如下零矩陣等式：

綜上所述，可得

運(yùn)用Schur補(bǔ)定理，若式(14)和(15)成立，則有Ο1(hk)≤0和Ο2(hk)≤0，即V˙(t) ≤0，故量化采樣系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定。證明完畢。

注釋3：定理1 提供了1 個(gè)量化采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。與文獻(xiàn)[19]中方法相比，本文構(gòu)建了含更多狀態(tài)信息的泛函以及使用了更緊密估計(jì)泛函的積分不等式方法。

注釋4：由泛函的定義可知，與文獻(xiàn)[12]相比，本文泛函引入了分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)，狀態(tài)區(qū)間變成了從tk到t-λμ(t)，從t-λμ(t)到t和從t到tk+1，這使穩(wěn)定性判據(jù)的保守性得到減少。為進(jìn)一步突出本文方法優(yōu)于相關(guān)文獻(xiàn)中的方法，考慮采樣系統(tǒng)無量化的情形，給出如下定理。

定理2：給定標(biāo)量h1，h2和λ ∈(0,1)，存在正定對稱矩陣P＞0，R1＞0，R2＞0 和R3＞0，且存在具有合適維數(shù)的任意矩陣S1，S2，Z1，Z2，Z3，Q，M1，M2，M3，H1，H2，H3，H4，H5和H6，對 于hk∈{h1,h2}，有線性矩陣不等式

成立，則系統(tǒng)（11)漸近穩(wěn)定。式中：

其他變量與定理1中的定義一致。

證明：在向量ξ(t)中刪除g(x(tk))項(xiàng)，并在其對應(yīng)的ei減少一維選擇泛函時(shí)去除(tk+1- t)(t -tk)[gT(x(tk))Gg(x(tk))]項(xiàng)，其證明過程與定理1的證明過程相似。

注釋5：邵漢永等[3]提出在構(gòu)建泛函時(shí)加入狀態(tài)積分項(xiàng)有利于改善采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，因此，對于一些基于采樣的控制問題，可在本文的泛函基礎(chǔ)上擴(kuò)展一些狀態(tài)積分項(xiàng)，如2[x(t) -和。

3 仿真實(shí)例

例1考慮量化采樣系統(tǒng)模型(10)，其中，量化參數(shù)分別為。

給出λ ∈{0.000 1, 0.010 0, 0.020 0, …, 0.990 0,0.999 9} 和采樣區(qū)間下界h1=10-5。由文獻(xiàn)[19]和根據(jù)定理1 所得的采樣區(qū)間上界h2分別為1.121 5 和3.076 4，可見由本文方法所得結(jié)果相比文獻(xiàn)[19]中結(jié)果提高了174%，這說明本文所獲得的量化采樣系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性小。

不同的λ 所得的最大采樣區(qū)間上界h2如圖1 所示。由圖1 可知：當(dāng)λ=0.06 時(shí)，h2取最大值3.076 4，這同時(shí)也說明分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)的閉環(huán)泛函方法具有一定的可行性。

圖1 例1中不同λ下的采樣區(qū)間上界h2Fig.1 Upper bound h2 of sampling interval under different λ in Example 1

為了進(jìn)一步說明本文方法的優(yōu)越性，考慮如下無量化采樣系統(tǒng)仿真實(shí)例。

例2考慮無量化采樣系統(tǒng)模型(11)，其中，

給出λ ∈{0.000 1, 0.010 0, 0.020 0, …,0.990 0,0.999 9} 和采樣區(qū)間下界h1=10-5。表1 所示為根據(jù)本文定理2 和文獻(xiàn)[10-12]以及傳統(tǒng)特征值分析法所得的采樣區(qū)間上界h2。由表2可知：與文獻(xiàn)[10-12]中結(jié)果對比，由本文定理2 所得的h2較大，可知本文提出的基于分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)閉環(huán)泛函方法具有明顯的優(yōu)越性。值得注意的是，本文所得采樣區(qū)間上界已略大于理論值，這也說明該例采用特征值分析法所得精度具有一定的保守性。

表1 例2中采樣區(qū)間上界h2Table 1 The maximum upper bound of h2 in Example 2

取λ ∈(0,1)所得最大采樣上界h2如圖2 所示。由 圖2可知：當(dāng)λ=0.51～0.53 時(shí)，h2取最大值3.270 8。

圖2 例2中不同λ下的采樣區(qū)間上界h2Fig.2 Upper bound h2 of sampling interval under different λ in Example 2

4 結(jié)論

1)研究了量化采樣系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性問題?；谝环N分?jǐn)?shù)時(shí)滯狀態(tài)空間，構(gòu)建了1個(gè)全新的閉環(huán)泛函，用1個(gè)二階廣義自由權(quán)積分不等式估計(jì)了這個(gè)泛函的導(dǎo)數(shù)，同時(shí)加入了一些含自由權(quán)矩陣的恒零等式，推導(dǎo)出基于線性矩陣不等式的有量化和無量化采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。

2)在數(shù)值實(shí)例仿真中，通過求解線性矩陣不等式，發(fā)現(xiàn)這2 個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定性判據(jù)具有明顯的優(yōu)勢。

3)本文方法可用于解決其他基于采樣控制的控制問題，如基于采樣的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步控制和基于采樣的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞控制問題。