淺談如何更好地理解V排=SΔh

余艷

在講授滬教版九年級(jí)物理第六章第四節(jié)《阿基米德原理》這一節(jié)新課時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)正確理解“V排”是理解阿基米德原理和解題的關(guān)鍵所在.通過(guò)液面升高的深度來(lái)求解“V排”也是教師正常的教學(xué)思路，但是學(xué)生往往只知其然，不知其所以然.下面筆者就自己在教學(xué)方面的理解以及查閱相關(guān)資料后的感悟談一談如何更好地理解V排=SΔh（S為柱狀容器的底面積，Δh為液面升高的深度）.

情況1：假設(shè)物體密度大于等于液體密度.

我們先做一個(gè)假設(shè).假設(shè)物體高度小于原有液體深度.當(dāng)物體密度大于等于液體密度時(shí)，物體將處于沉底或懸浮狀態(tài)，也就是物體將完全浸沒(méi)在液體中，設(shè)容器原有深度為h的某種液體，如圖1（a）所示，當(dāng)物體完全浸沒(méi)時(shí)，液面升高深度為Δh，如圖1（b）所示.完全浸沒(méi)的這種類型，學(xué)生很容易理解V排等于V物，但V排為什么等于SΔh卻說(shuō)不清楚.如果可以以數(shù)學(xué)證明題一般進(jìn)行論證，不僅更具有信服力，而且能為培養(yǎng)學(xué)生理科學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性打下基礎(chǔ).下面簡(jiǎn)要闡述證明過(guò)程.

證明：原容器中液體的總體積V液=Sh（1）;

物體完全浸沒(méi)后液體的體積不變，此時(shí)容器的總體積V=V液+V物（2）;

此外將容器和物體看成整體，總體積V=S（h+Δh）（3）.

即V液+V物=S（h+Δh）（4）

將（1）代入（4）可得，V物=SΔh，即V排=SΔh.

情況2：假設(shè)物體密度小于液體密度.

上述假設(shè)仍成立時(shí)，當(dāng)物體密度小于液體密度時(shí)，物體將處于漂浮狀態(tài)，依舊設(shè)容器原有深度為h的某種液體，如圖2（a）所示，當(dāng)物體漂浮時(shí)，液面升高深度為Δh，物體底面積為S物，如圖2（b）所示.圖2（b）所指數(shù)字1表示物體完全沒(méi)入的部分，數(shù)字2和3表示液體升高的深度部分，數(shù)字4表示表示物體夾在最初液面和最終液面之間的部分.它們的體積分別記為V1，V2，V3，V4.學(xué)生會(huì)直觀地理解V2+V3是排開(kāi)液體的體積大小，那么對(duì)應(yīng)的面積S′應(yīng)該是2和3對(duì)應(yīng)的底面積，也就是S-S物，利用面積差求出V排，V排=（S-S物）Δh.靠直觀的理解往往出現(xiàn)假象，以嚴(yán)密的證明過(guò)程進(jìn)行論述加以證明才可以正確理解V排到底是哪一部分.下面我們仿照第一種情況進(jìn)行論證上述結(jié)論是否正確.

證明：已知原容器中液體的總體積V液=Sh（1）;物體漂浮在液體表面，此時(shí)圖2（b）虛線框內(nèi)的總體積V=V液+V排（2）;此外將虛線框內(nèi)的液體和物體看成整體，總體積V=S（h+Δh）（3），即V液+V排=S（h+Δh）（4）.將（1）代入（4）可得，V排=SΔh.這與我們通過(guò)直觀的臆測(cè)不符合，也就是我們通過(guò)合理的論證證明出了V排依舊等于SΔh，從圖中可以發(fā)現(xiàn)SΔh=V2+V3+V4（5），因此V排并不是V2+V3這兩部分，其實(shí)是V2+V3+V4這三部分.

拓展延伸：有以上證明作為基礎(chǔ)，我們可以繼續(xù)分析當(dāng)物體密度大于液體密度時(shí)，且物體高度高于原有液體高度時(shí)，V排=SΔh是否還成立？如圖3所示，已知條件同上，我們依然采用前面的證明過(guò)程，再次論證.

證明：已知原容器中液體的總體積V液=Sh（1）;

物體沉在容器底部，此時(shí)圖2（b）紅色虛線框內(nèi)的總體積V=V液+V排（2）;此外將紅色虛線框內(nèi)的液體和物體看成整體，總體積V=S（h+Δh）（3）.即V液+V排=S（h+Δh）（4）.將（1）代入（4）可得V排=SΔh，我們通過(guò)相同的論證方法得出了V排依舊等于SΔh.

綜上所述，無(wú)論物體在液體中處于什么狀態(tài)，V排=SΔh，都是成立的.