滲透整體思想，巧解數(shù)學(xué)難題

馬俊

整體思想是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，也是優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的重要途徑.在實際教學(xué)中，很多問題，如果從局部出發(fā)是很難解決的，而應(yīng)用整體思想來解則會省去很多中間步驟，達到簡化計算的目的.通過日常的研究以及實際教學(xué)經(jīng)驗，我對整體思想的應(yīng)用方法進行以下總結(jié)，希望能為廣大教師的教學(xué)工作提供借鑒.

一、整體代換，簡化過程

審題時，我們首先關(guān)注的是已知條件以及求解內(nèi)容.通過觀察和對比，我們就可能找出已知條件和結(jié)論之間的對應(yīng)關(guān)系，從而整體代換，達到簡化計算的目的.

例已知a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，且abc=24，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值.

根據(jù)已知條件，可知有a、b、c、d四個未知數(shù)，也有四個式子，由此完全可以進行對a、b、c、d四個未知數(shù)進行求解.但很顯然，這種方法的計算量是非常大的.求解時，由于已知條件給出的前3個式子中都有d2，那么a、b、c兩兩之間的差值就很容易求出來了.然后對結(jié)論進行變形：abc+bca+cab-1a-1b-1c=a2+b2+c2abc-bc+ac+ababc=12abc（2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab）=12abc[（a2-2bc+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]=12abc[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2].至此，結(jié)論已經(jīng)轉(zhuǎn)變成了可以根據(jù)已知條件簡單轉(zhuǎn)化的整體形式.由a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，那么原式=12×24×（1+1+4）=18.

整體代換的適用范圍非常廣，大家一定要學(xué)會合理變形，實現(xiàn)條件和結(jié)論的雙向轉(zhuǎn)化.

二、整體變形，呈現(xiàn)規(guī)律

對于一些數(shù)值很大的計算來說，通過整體變形處理同樣可以達到簡化計算的目的.但變形也要通過觀察和思考，按照正確的方法和方向進行，這樣才能使整個式子呈現(xiàn)一定的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，否則就會適得其反.

如對于計算題99…9（2008個9）×99…9（2008個9）+199…99（2008個9），普通的計算方法是肯定不行的.通過觀察，我們首先可以考慮將含“9”的式子加1，從而便于計算.

原式=99…9（2008個9）×[99…9（2008個9）+1]-99…9（2008個9）+199…99（2008個9）=99…9（2008個9）×102008+102008=[99…9（2008個9）+1]×102008=102008×102008=104016.

對于這個計算題，第一眼看起來是非常難的.但我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)題中只用了0、1和9這3個數(shù)字.在我們?nèi)粘Ｗ鲱}和通常認(rèn)知中，對于“999+1=1000”的用法是很熟練的，因此可通過這種整體變形呈現(xiàn)出整個式子的規(guī)律，最后再應(yīng)用乘法分配律以及冪的計算進行求解.

三、整體配湊，特殊結(jié)構(gòu)

對于有些特殊結(jié)構(gòu)的題型來說，根據(jù)已知條件求解是無法實現(xiàn)的.但通過平方公式，我們能夠?qū)⑵溥M行整體配湊.這就要求學(xué)生不僅要背會平方公式，還要有進行“正應(yīng)用”和“逆應(yīng)用”的能力.

例已知a+2b+3c=12及a2+b2+c2=ab+bc+ca，求a+b2+c2.

在這道題目中，已知條件中有3個未知數(shù)，但只有2個式子，按照常規(guī)方法來說，顯然無法分別求得a、b和c的值.繼續(xù)觀察.已知條件a2+b2+c2=ab+bc+ca可配湊為2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0.由非負(fù)整式之和為0可知幾個整式的值均為0，那么a-b=b-c=a-c=0，即a=b=c.這時候結(jié)合a+2b+3c=12可得出a=b=c=2.最終可求得a+b2+c2=10.

解這類題型時一定要注意3點：①按照常規(guī)方法，所知關(guān)系式個數(shù)小于未知數(shù)個數(shù)是無法求解的，但通過非負(fù)整式之和的配湊可得出三個未知數(shù)之間的關(guān)系.這對求解有很大幫助.②熟記平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2及（a-b）2=a2-2ab+b2，遇到這幾種形式時一定要想辦法對這種特殊結(jié)構(gòu)進行配湊.③熟練應(yīng)用“若幾個非負(fù)整式的和為0，那么這幾個整式均為0”的原理.當(dāng)然，除平方外，根據(jù)題中的其他已知條件也可進行適當(dāng)配湊.教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生滲透正確的思考方式，而不是僅僅進行知識的灌輸.

整體思想的應(yīng)用范圍很廣，是初中生必須要掌握的內(nèi)容.通過總結(jié)，學(xué)生在面對問題時可以很明確地分辨解決方式和途徑，不會再是無頭緒的狀態(tài).最后，希望大家可以多花時間進行研究、探討和理解，將整體思想真正變成自己解題的“法寶”.