數(shù)線（數(shù)軸）在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】本文論述數(shù)線（數(shù)軸）在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用策略，建議教師從最基本的“數(shù)線（數(shù)軸）”入手，從以“形”助“數(shù)”、以“數(shù)”解“形”兩個(gè)方面，分析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中合理使用數(shù)形結(jié)合的方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)線（數(shù)軸） 數(shù)形結(jié)合 以“形”助“數(shù)” 以“數(shù)”解“形”

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）06A-0092-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，還包括數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的自主探索過(guò)程，在知識(shí)形成的過(guò)程中感悟和體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想正是其中一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是通過(guò)數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想方法。數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，是抽象思維與形象思維的結(jié)合。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維正從直觀形象思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡，數(shù)形結(jié)合正是連接這個(gè)過(guò)程的紐帶，作為最常見的“數(shù)線（數(shù)軸）”，則簡(jiǎn)單易懂，如果教師能夠把它合理利用，就能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、分散的問(wèn)題集中化，讓課堂教學(xué)變得事半功倍。

一、以“形”助“數(shù)”促理解

數(shù)學(xué)是抽象的科學(xué)，特別是對(duì)于部分抽象概念的理解，有的學(xué)生常常通過(guò)死記硬背來(lái)鞏固。數(shù)形結(jié)合能為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，把抽象的概念形象化，把?fù)雜的數(shù)量關(guān)系具體化。

（一）“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

對(duì)于“因數(shù)”和“倍數(shù)”這兩個(gè)概念，學(xué)生經(jīng)?；煜?。在教學(xué)中，利用畫圖表示的方法，能夠讓學(xué)生充分感知因數(shù)和倍數(shù)的含義以及它們的內(nèi)涵和外延。從圖中學(xué)生能清楚地看出因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，范圍從0至它本身，而倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，范圍從其本身到無(wú)限大。通過(guò)數(shù)線圖，學(xué)生形成清晰的表象，也對(duì)數(shù)軸有了更清晰的感知。

（二）“四舍五入法”教學(xué)設(shè)計(jì)

在求近似數(shù)時(shí)，教師一般會(huì)要求學(xué)生使用“四舍五入法”。通常教師會(huì)直接告訴學(xué)生什么是“四舍五入”，然后反復(fù)強(qiáng)調(diào)，練習(xí)鞏固，但仍然會(huì)有不按套路出牌的學(xué)生?！八纳嵛迦搿边@個(gè)詞如此淺顯易懂，學(xué)生為什么就是不會(huì)呢？經(jīng)過(guò)思考，筆者把直觀的數(shù)軸引入教學(xué)，讓學(xué)生在數(shù)軸上找最接近的整十?dāng)?shù)，從而建立起直觀的數(shù)學(xué)模型，加深對(duì)“四舍五入”的理解。

如求一個(gè)小數(shù)的近似數(shù)：“一個(gè)兩位小數(shù)經(jīng)過(guò)四舍五入后是3.2，這個(gè)兩位小數(shù)是多少？”這類問(wèn)題有些學(xué)生沒辦法清晰地理解題目的含義，本質(zhì)也就是對(duì)“四舍五入”存在較大的困惑。因此，筆者采用豎向的數(shù)線，利用不同顏色的字體表示，把“四舍”和“五入”部分加以區(qū)分，讓學(xué)生一目了然。

（三）“分段計(jì)費(fèi)”教學(xué)設(shè)計(jì)

“某地出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為‘3公里以內(nèi)7元;超過(guò)3公里，每公里1.5元（不足1公里按1公里計(jì)算）。當(dāng)行駛里程是6.3公里時(shí)，應(yīng)付多少錢？”這是人教版（2011年版）教材中新出現(xiàn)的內(nèi)容。教材采用了數(shù)據(jù)分析與表格分析的方法幫助學(xué)生理解分段計(jì)費(fèi)的含義。

但在教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生并不能快速地解決問(wèn)題：總的收費(fèi)怎么求？每一小段的收費(fèi)是多少？怎么求？經(jīng)過(guò)思考，筆者采用以下數(shù)線圖的方法進(jìn)行教學(xué)。

通過(guò)數(shù)線圖，學(xué)生能清晰地感受到總價(jià)錢就是要把兩部分價(jià)錢加起來(lái)，如果還有第三次分段，就把三次分段的結(jié)果分別求出再加起來(lái)。這樣的數(shù)線圖學(xué)生比較容易畫出來(lái)，也比較容易理解，進(jìn)一步降低了學(xué)習(xí)的難度，學(xué)習(xí)效果比較好。

雖然以“形”助“數(shù)”，把數(shù)轉(zhuǎn)化為易觀察、易理解的圖形，促進(jìn)了知識(shí)的理解，但“形”是過(guò)程，“數(shù)”才是結(jié)果，因此，教師還要對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)、梳理，并加以靈活運(yùn)用，讓“數(shù)”變成“形”后能夠再回到“數(shù)”的運(yùn)用中。教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的年齡段選擇表達(dá)、復(fù)述、練習(xí)等方法。如在“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)中，筆者讓學(xué)生結(jié)合例題，通過(guò)復(fù)述分析的方式，加深對(duì)新知的理解。而在分段計(jì)費(fèi)的教學(xué)中，筆者則在練習(xí)中通過(guò)設(shè)計(jì)三次分段計(jì)費(fèi)的問(wèn)題，讓學(xué)生再次畫圖、深入解決，從而提升對(duì)“數(shù)”的理解。

二、以“數(shù)”解“形”拓思維

以“數(shù)”解“形”的學(xué)習(xí)方法一般多運(yùn)用在初中和高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)“數(shù)”可以幫助學(xué)生解決復(fù)雜的“形”的問(wèn)題。其實(shí)在小學(xué)階段，有些教學(xué)內(nèi)容也可以充分利用“數(shù)線（數(shù)軸）”，通過(guò)“數(shù)”來(lái)解“形”。

（一）發(fā)展思維時(shí)

在解決問(wèn)題時(shí)，教師常常因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于題意的理解不透徹、不全面感到頭疼，特別是年級(jí)越高、條件越復(fù)雜的時(shí)候，部分學(xué)生更是“無(wú)從下手”。此時(shí)，如果把條件變成直觀的數(shù)線（數(shù)軸），通過(guò)圖形、表格、數(shù)量之間的互相轉(zhuǎn)化，就能促進(jìn)學(xué)生理解題意，發(fā)展學(xué)生的思維。

例如，在“植樹問(wèn)題”教學(xué)中，學(xué)生對(duì)100米道路上種樹的問(wèn)題進(jìn)行“猜測(cè)”后，教師讓學(xué)生進(jìn)行“驗(yàn)證”，可是100米太長(zhǎng)了，不好畫圖，于是教師讓學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”，經(jīng)歷兩個(gè)層次探究植樹問(wèn)題的規(guī)律。

第一個(gè)層次：在20米的道路上，每隔5米種1棵樹，（兩端都種）可以種幾棵？

學(xué)生利用線段圖來(lái)呈現(xiàn)自己的想法，師生共同小結(jié)得出：棵數(shù)=段數(shù)+1（兩端都種）。

第二個(gè)層次：自己選擇一段道路進(jìn)行種樹，采用畫線段圖的方式解決問(wèn)題。

通過(guò)學(xué)生獨(dú)立作圖、匯報(bào)、展示，再一次驗(yàn)證了規(guī)律所在。

把條件變成數(shù)線圖，通過(guò)“數(shù)”與“形”不斷地轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生的思維發(fā)展有了憑借，由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀，進(jìn)而促使數(shù)學(xué)思想方法真正得以滲透。

（二）整合知識(shí)時(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，它們之間存在嚴(yán)密的內(nèi)部聯(lián)系，從低年級(jí)向高年級(jí)螺旋上升。教師應(yīng)該利用有效的遷移，讓學(xué)生系統(tǒng)地將其整合，形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

如“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，教師就充分利用有效的遷移引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)整合數(shù)學(xué)知識(shí)。

師：同學(xué)們，你們能用“1”來(lái)表示以下的事物嗎？

（教師出示圖片：1個(gè)蘋果、1群馬、1間教室、1個(gè)班的同學(xué)）

師：你還能舉例出像上面這樣的生活中的“1”個(gè)事物嗎？

生1：1塊蛋糕。

生2：1個(gè)小區(qū)。

……

師：我們把這些“1”用單位“1”來(lái)表示。你們知道為什么“1”要加引號(hào)么？（不只表示1個(gè)，還可以表示1群）

師：是啊，單位“1”可以表示1個(gè)物體、1堆物體、1個(gè)計(jì)量單位……

數(shù)學(xué)具有“簡(jiǎn)潔”之美，教師不僅可以把各種因素轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史。自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等知識(shí)都是人們從日常生活中逐步提煉出來(lái)的，通過(guò)從學(xué)生熟悉的感性材料入手，利用學(xué)生已有的“1”的概念，抽象出單位“1”的概念，從“形”上抽象出“數(shù)”，讓學(xué)生從內(nèi)在意義和外在表現(xiàn)上初步感知單位“1”。接著，設(shè)計(jì)在圖形中找分?jǐn)?shù)的練習(xí)，利用數(shù)軸理解2、3、[12]、[14]……進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，進(jìn)而對(duì)“數(shù)”也有了更深刻的理解。當(dāng)然，在以“數(shù)”解“形”的過(guò)程中，教師要注意避免“數(shù)”的枯燥，在提煉出“數(shù)”后，還要和“形”加以聯(lián)系，從而提高理解知識(shí)的實(shí)效。

“數(shù)”“形”結(jié)合、互化的過(guò)程，既是知識(shí)生成的過(guò)程，又是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同運(yùn)用、互相促進(jìn)、共同發(fā)展的過(guò)程，只要我們合理地使用數(shù)形結(jié)合思想，就能使我們的教學(xué)更加富有魅力，使我們的課堂更加高效。

作者簡(jiǎn)介：施慧敏，女，福建省優(yōu)秀教師，廈門市數(shù)學(xué)骨干教師，現(xiàn)任廈門市江頭第三小學(xué)教學(xué)副校長(zhǎng)，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。

（責(zé)編 林 劍）