為什么讀“除以”

趙勁松 侯艷芳

摘要：預(yù)習(xí)“認(rèn)識(shí)除法”時(shí)，一位學(xué)生提出了“為什么讀‘除以”的問(wèn)題。這一問(wèn)題的提出，是基于與之前學(xué)習(xí)的加法、減法、乘法的比較。其實(shí)，“讀法”的背后，變化的是表達(dá)方式，而不變的是除法的意義?！耙阅硵?shù)除之”“以一個(gè)數(shù)平分另一個(gè)數(shù)”更能讓學(xué)生體會(huì)除法算式的意義，這才是讀法探尋的教學(xué)價(jià)值所在。

關(guān)鍵詞：除以讀法算式意義

一、于尋常處看見(jiàn)真問(wèn)題

“核心素養(yǎng)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)基于‘真問(wèn)題教學(xué)的實(shí)踐研究”是我們正在進(jìn)行的一項(xiàng)省級(jí)課題研究項(xiàng)目。我們所理解的學(xué)生的“真問(wèn)題”，就是真正從學(xué)生心底生長(zhǎng)出來(lái)的，真正屬于學(xué)生自己的，想知道、想探索的問(wèn)題。

在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)除法”教學(xué)前，請(qǐng)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生提前一天預(yù)習(xí)，提出問(wèn)題，并拍照發(fā)到群里。其中的一個(gè)問(wèn)題（見(jiàn)圖1）引發(fā)了我們的關(guān)注與思考——為什么讀“除以”？

圖1

這是一個(gè)我們未曾想過(guò)的問(wèn)題，甚至在看到問(wèn)題的瞬間所閃出的想法是：該怎么讀就怎么讀唄，讀法還有什么為什么！然而，能從尋常處提出自己的問(wèn)題，這本身就讓我們高看了一眼。揣測(cè)一下，學(xué)生為什么會(huì)問(wèn)出這個(gè)問(wèn)題呢？應(yīng)該是基于比較。之前學(xué)習(xí)加法、減法、乘法，是直接讀作加、減、乘的，而除法卻多了一個(gè)“以”。多么善于觀察而又“不滿足”的孩子！

當(dāng)然，這位學(xué)生所不知道的是，乘法和除法算式在之前均有兩種讀法。如，2×3讀作“2乘以3”，或者“3乘2”;8除以4，也可以讀成“4除8”。后來(lái)，教材取消了對(duì)被乘數(shù)與乘數(shù)的區(qū)分，一道乘法算式可以表示兩種意義，便沒(méi)有了“乘以”的讀法，只讀作“2乘3”了，但除法依舊。

那么，為什么可以把“乘以”中的“以”字去掉，而“除以”中的“以”卻依然保留呢？究竟“幾除幾”有什么講究？這個(gè)漢字“除”有什么特別的含義呢？

二、從多渠道解讀“除”和“以”

我們查閱了第7版《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》，發(fā)現(xiàn)“除”的幾種字義中，和除法相關(guān)的是“進(jìn)行除法運(yùn)算，如2除6得3”。再查“以”的解釋?zhuān)汀俺浴毕嚓P(guān)的只有作為介詞的“用，拿”這個(gè)意思。這就意味著“除以”并不是一個(gè)詞語(yǔ)。

那么，我國(guó)古代是不是也讀“除以”呢？

查閱《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》和《周髀算經(jīng)》這三本我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，關(guān)于除法運(yùn)算出現(xiàn)了三種描述方法：除、除之、以某數(shù)除之。在描述一個(gè)除法運(yùn)算時(shí)，多是“以法除實(shí)”（被除數(shù)稱(chēng)為“實(shí)”，除數(shù)稱(chēng)為“法”）。

比如《孫子算經(jīng)》中的一段記錄：“假令六為法，百為實(shí)，以六除百，當(dāng)進(jìn)之二等，令在正百下。以六除一，則法多而實(shí)少，不可除，故當(dāng)退就十位，以法除實(shí)，言一六而折百為四十，故可除。若實(shí)多法少，自當(dāng)百之，不當(dāng)復(fù)退，故或步法十者置于十位，百者置于百位。余法皆如乘時(shí)。實(shí)有余者，以法命之，以法為母，實(shí)余為子?！?/p>

這段文字所敘述的是“以六除百”，即“100÷6”的計(jì)算過(guò)程。也就是說(shuō)，我國(guó)古代并沒(méi)有“除以”的說(shuō)法。但是，其中的“以六除百”卻讓我們看到了“除以”的影子。同時(shí)，一個(gè)被忽略的問(wèn)題回到我們的視野：對(duì)于計(jì)算，我國(guó)古代一般是用算籌計(jì)算，用文字記錄的，而現(xiàn)代所用的這些數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)其實(shí)是從國(guó)外傳入的。

現(xiàn)在的除法運(yùn)算所使用的除號(hào)“÷”是在17世紀(jì)由瑞士人Johann Heinrich Rahn創(chuàng)造的，用一道橫線把兩個(gè)圓點(diǎn)分開(kāi)，表示分解的意思。這一表達(dá)方式傳入其他國(guó)家后就必然存在一個(gè)語(yǔ)言翻譯的問(wèn)題。比如，8÷4，用英語(yǔ)讀作“8 divided by 4”，也就是“8被4分解”，表達(dá)出了算式的意義。

在我國(guó)，除法運(yùn)算是自古就有的，而除法算式是后期傳入的。那么，讀法就是傳統(tǒng)內(nèi)涵、表達(dá)與現(xiàn)代符號(hào)的一種融合。原先的“以4除8”，將介詞“以”組成的介賓短語(yǔ)“以4”后置，倒裝變化為“8除以4”。這是中國(guó)文字對(duì)現(xiàn)代算式的變通表達(dá)，既很好地觀照到從左向右讀的便利，同時(shí)又保留了中國(guó)傳統(tǒng)的除法表達(dá)內(nèi)涵，簡(jiǎn)潔、智慧！

由此推測(cè)，“乘以”也應(yīng)是“以某數(shù)乘之”的意思，被乘數(shù)、乘數(shù)原先也都有著特定的意義。

三、在咬文嚼字中促進(jìn)深理解

回顧整個(gè)思考過(guò)程，“讀法”的背后，變化的是表達(dá)方式，而不變的是除法的意義。我們認(rèn)為，“以某數(shù)除之”“以一個(gè)數(shù)平分另一個(gè)數(shù)”更能讓學(xué)生體會(huì)除法算式的意義，這才是讀法探尋的教學(xué)價(jià)值所在。在這種思考下，第二天，我們進(jìn)行了一次教學(xué)嘗試：

（出示教材例題的情境圖，見(jiàn)圖2。）

圖2

師從圖中你知道了什么？

生有6個(gè)小朋友坐纜車(chē)，每車(chē)坐2人，問(wèn)要坐幾車(chē)。

師要坐幾車(chē)呢？怎樣才能知道？

生可以用6個(gè)圓片擺一擺，每2個(gè)一份，可以分成3份。

生也可以直接想，3個(gè)2是6，所以坐3車(chē)。

師“有6個(gè)小朋友坐纜車(chē)，每車(chē)坐2人，要坐3車(chē)”，這句話還可以用除法來(lái)表示。通過(guò)昨天的閱讀，你知道怎么用除法來(lái)表示嗎？

（請(qǐng)一個(gè)學(xué)生嘗試寫(xiě)算式6÷2=3。）

師會(huì)讀嗎？

生（齊讀）6除以2等于3。

師關(guān)于除法算式，你還知道哪些知識(shí)？

生我知道“÷”是除號(hào)。

師瞧，用一短橫把兩個(gè)點(diǎn)分開(kāi)，是不是表示出了平均分的意思？

（教師介紹除號(hào)的書(shū)寫(xiě)順序。）

生我知道6是被除數(shù)，2是除數(shù)，3是商。

（教師帶著學(xué)生一起認(rèn)被除數(shù)、除數(shù)、商。）

師通過(guò)昨天的閱讀和剛才的學(xué)習(xí)，你還有什么問(wèn)題呢？

生我昨天看書(shū)的時(shí)候就有一個(gè)問(wèn)題：為什么讀“除以”？

生為什么不像加、減、乘一樣，讀“除”呢？

生為什么名字叫“除號(hào)”，卻讀“除以”呢？

生那應(yīng)該叫“除以號(hào)”吧？

生我爺爺教我讀的是“除于”。

師會(huì)觀察、會(huì)提問(wèn)，你們太棒了！剛才幾個(gè)問(wèn)題都和算式的讀法有關(guān)。說(shuō)實(shí)話，昨天老師看到“為什么讀‘除以”這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，都被難住了，這個(gè)問(wèn)題真好！老師特地去查了字典，“除”這個(gè)字就是平分的意思，用一個(gè)數(shù)去平分另一個(gè)數(shù)。我們來(lái)看一看，剛才的例題中，是怎么平分的？

生6個(gè)人，每2人一份平均分的。

師那么“6÷2”是用哪個(gè)數(shù)去平分哪個(gè)數(shù)呢？

（學(xué)生沉默、思考。）

生每2個(gè)一份，把6平均分成了3份。

生是用2去平分6，2個(gè)2個(gè)地把6平均分了。

師有道理嗎？真好！這里的“2”是除數(shù)，也就是用來(lái)平分的數(shù)，那被除數(shù)呢？

生就是被平分的數(shù)。

師老師也是這樣想的。所以6÷2就是用2去平分6，6被2平分了。在我國(guó)古代，會(huì)說(shuō)成“二除六”，或者“以二除六”，就是剛才說(shuō)的用2平分6的意思。

生那為什么不寫(xiě)成“2÷6”呢？

師這是一個(gè)好問(wèn)題！我們中國(guó)古代并沒(méi)有除法算式，都是用文字表示的?！?÷2”這種表示方法是三百多年前一個(gè)瑞士人發(fā)明的，用來(lái)表示6被2平分，流傳到我們中國(guó)以后，從左往右讀，就成了“6除以2”，和我們古代的“以2除6”是一個(gè)意思。

（學(xué)生都流露出驚訝的表情。）

生原來(lái)這種除法算式是外國(guó)人發(fā)明的呀！

生原來(lái)并不是“÷”讀“除以”，而是整個(gè)算式的意思。

生讀“除于”肯定是不對(duì)的了。

……

古人云：“學(xué)貴在疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)。疑者，覺(jué)悟之機(jī)也。”其實(shí)，學(xué)生好問(wèn)的天性一直都在，需要我們呵護(hù)。

讓“真問(wèn)題”走進(jìn)課堂，也給我們打開(kāi)了一扇窗，讓我們有機(jī)會(huì)和學(xué)生一起，將一些以往未曾看見(jiàn)的“面紗”逐一揭開(kāi)。

*本文系安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目“核心素養(yǎng)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)基于‘真問(wèn)題教學(xué)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：JK19103）的階段性研究成果。教師手記