隨機而不隨意

劉艷

摘要：在一次建鄴區(qū)小學生學業(yè)水平調研中，有一道考查“可能性”相關知識的選擇題得分率非常低。通過分析教學內容及誤區(qū)，查閱相關文獻資料，提出“可能性”這一內容的教學建議：用心設計活動，強調邏輯性;精心挑選素材，體會隨機性;匠心設計問題，體現層次性。

關鍵詞：可能性活動素材問題

在一次建鄴區(qū)小學生學業(yè)水平調研中，有這樣一道題：

3個袋子里都裝有質地相同的紅球和一些其他顏色的球。其中①號袋里有1個紅球，②號袋里有2個紅球，③號袋里有3個紅球。問：從幾號袋里摸到紅球的可能性最大？（）

A. ①號B. ②號

C. ③號D. 無法確定

題目考查學生對“可能性”相關知識的掌握程度。經統計，本題的得分率僅為24.9%，有72.7%的學生選擇了C選項，認為紅球的數量決定了摸出紅球的可能性大小。這引發(fā)了筆者對“可能性”這一教學內容的關注和思考。

一、教學內容

“可能性”是蘇教版小學數學四年級上冊第六單元的內容。通過本單元的學習，學生應初步了解簡單隨機現象的特點，感受簡單隨機事件發(fā)生的可能性的大小，發(fā)展隨機意識，增強數據分析觀念。同時，拓展解決簡單實際問題的范圍，發(fā)展分析問題和解決問題的能力，為第三學段隨機事件發(fā)生概率的學習奠定基礎。

二、教學誤區(qū)

筆者在實際聽課過程中發(fā)現，“可能性”教學看似不難，卻經?？梢婋S意性很強的課堂，具體表現為武斷地得出結論和忽略隱含條件。

（一）武斷地得出結論

【片段1】

師同學們參加過抽獎活動嗎？下面我們就來現場抽獎：這個不透明袋子里裝了2個球，任意摸1個，摸到紅球者中獎。

（請3位學生摸球，摸出的皆為黃球。）

生袋子里2個球都是黃球。

師我們打開袋子看一看，果然是2個黃球。從這個袋子里任意摸1個球，能摸出紅球嗎？

生不可能。

師（出示裝有2個紅球的袋子和裝有1個紅球、1個黃球的袋子）從哪個袋子里摸球，一定會中獎？

生從裝有2個紅球的袋子里摸球，一定會中獎。

師從裝有1個紅球和1個黃球的袋子里任意摸1個球呢？

生可能中獎，也可能不中獎。

師也就是說，從裝有1個紅球和1個黃球的袋子里任意摸1個球，可能是紅球，也可能是黃球。下面我們進行小組活動，看是不是這樣的。

（出示活動要求：組長拿著口袋，讓4位組員按順序輪流摸球;記錄員記錄組員報的顏色，紅球用紅色水彩筆標記，黃球空白即可。學生小組活動，完成后全班交流，匯總摸球情況，如圖1所示。）

圖1

師你有什么想說的？

生第1組摸到了很多次紅球。

師第1組在摸球前能確定摸出紅球嗎？

生（第1組）能確定，我發(fā)現袋子里的球有的光滑、有的粗糙。

生每個組的中獎率都挺高的。

師每次都中獎嗎？可能中獎，也可能不中獎，能確定嗎？

生第4組中獎率低。

生第8組的情況有點規(guī)律，空一格出現2個紅球。

師但第11次并不是紅球，證明不存在這個規(guī)律。（稍停）如果一開始沒摸出紅球，一直摸下去是不是總能摸到紅球？

生如果運氣差，會一直摸出黃球。

師一直摸下去，總是能摸到紅球的。

……

用抽獎的情境導入，學生摸了3次沒摸到紅球，就揭曉了答案——袋子里2個球都是黃球。這其實略顯隨意和武斷了，可以看到，這也與小組活動的結果矛盾——第6組前3次摸到的都是黃球，第4次摸到了紅球。此外，抽獎的情境容易讓學生結合“運氣”去思考問題（如果運氣差，會一直摸出黃球），聚焦點不在數學上，影響了數學的思考。

（二）忽略隱含條件

【片段2】

教師在例2教學完成后，緊接著讓學生完成“練一練”（見圖2）。在學生明確從第3個口袋里不可能摸出紅球后，組織學生基于對例2的體會，討論前兩個口袋從哪個口袋里摸出紅球的可能性大。一名學生回答：從第2個口袋里摸出紅球的可能性大，因為有2個紅球，第1個口袋里只有1個紅球。其他學生表示認可。教師完成教學。

圖2

例2主要幫助學生感受簡單隨機事件發(fā)生的可能性大小。從例2過渡到“練一練”，看似順理成章，實則出現了引導學生關注紅球個數的傾向。例2是同一隨機試驗不同隨機事件發(fā)生的可能性大小比較（從3張紅桃、1張黑桃撲克牌中任意摸一張），各種顏色牌數量的多少本身就決定了可能摸出它的情況總數，即如果用N表示所有可能結果的個數，用M表示摸出紅桃的可能結果的個數，那么出現紅桃的概率P（紅桃）=MN，兩個事件中N相同;而“練一練”是不同隨機試驗相同隨機事件發(fā)生的可能性大小比較，摸出紅球的概率P（紅球）=M′N′，兩次試驗中N′不一定相同。受例2的影響，學生在判斷“練一練”題目中的可能性大小時，只關注了紅球的數量，卻忽略了總體的數量（教師應強調“都是3個球”的前提條件）。

三、教學建議

“可能性”教學首先需要教師了解關于概率（可能性的大?。┑谋倔w性知識。通過查閱資料發(fā)現，多位專家對概率及其教學進行了深入的解讀。

史寧中教授在《基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題》一書中指出，隨機事件發(fā)生的可能性大小即概率，通常用字母P表示，概率是一個非負的不大于1的數，即0≤P≤1。至少有兩種方法可以得到未知的概率。一種是通過樣本頻率估計概率，如《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的例40（袋中裝有4個紅球和1個白球。只告訴學生袋中球的顏色為紅色和白色，不告訴他們紅球數目與白球數目，讓學生通過多次有放回的摸球，統計摸出紅球和白球的數量及各自所占比例，由此估計袋中紅球和白球數目的情況）。還有一種方法就是不借助數據而直接根據背景定義概率，定義的概率實質上就是對隨機事件發(fā)生可能性大小的一種度量，這個度量是人們在理想狀態(tài)下制訂出來的。如果用A表示所要求概率的那個事件，用m表示有利情況的數目，用n表示所有可能情況的數目，那么，定義事件A發(fā)生的概率就是P（A）=mn。這樣的定義稱為古典概率。

張奠宙教授在《小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現》一書中提出，由于大數定律保證“頻率趨向于概率”，但對什么意義上的“趨向”，有多種復雜的理解，小學階段無法說清，而具體實踐中，大數定律也沒有充足的時間去驗證，因此，小學生的概率學習要充分運用兒童的直覺，基于大數定律的“頻率趨向于概率”只能略微提及。

曹培英教授在《小學數學“統計與概率”教學研究（一）》一文中介紹了概率論公認的源頭是“數學家們?yōu)橘€徒解決賭博難題時形成的數學專題”，指出“古典概率必須具備兩個條件：試驗中所有可能出現的情況為有限個，每種情況出現的可能性相等。這兩個條件是古典概率區(qū)別于其他概率類型最根本、最基礎的要素”。

特級教師陳靜在《小學階段學生概率思維的形成與發(fā)展》一文中圍繞如何有效培養(yǎng)并發(fā)展學生的概率思維，從概率思維的內涵與特征、概率思維的直覺與先期經驗以及促進概率思維形成與發(fā)展的教學策略三個角度進行了深入分析。

可以看出，關于概率的由來及本體性知識已比較明朗，能指導課堂教學實踐。而教學時有以下幾點要格外注意：

第一，用心設計活動，強調邏輯性。

小學階段的概率都是古典概率模型，也就是定義出來的概率，是理論概率，因此，在實驗之前，概率已經存在。教材配套的教師用書也指出，教材提供的摸球情境是先得到可能性的結果，再實驗感悟。如果像片段1中所述，根據幾次摸球的結果，就推斷出袋子里球的情況，就會出現邏輯性錯誤。

第二，精心挑選素材，體會隨機性。

為了使試驗中“每種情況出現的可能性相等”，教師需要精心挑選素材，排除人為干擾，幫助學生更好地體會這種隨機性。如：摸球活動中，球除顏色不同外，質地、大小都應相同，摸之前要先攪勻，摸的人不能偷看，等等;翻撲克牌活動中，撲克牌大小、質地、背面花色都應相同，為了避免學生盯著一張牌不放，還可以把牌放在背后洗，等等。當然，教學中可以把摸球和翻撲克牌兩種活動中的素材“合二為一”，以一種素材貫穿始終，不分散教師和學生活動時的注意力。

第三，匠心設計問題，體現層次性。

好的數學活動要有好的數學問題啟發(fā)學生深入思考。例如，在體會隨機事件發(fā)生的可能性的活動中，可設計如下問題：“在摸之前，能確定摸出的是什么顏色的球嗎？”“如果再摸一次，會是什么結果呢？”在體會隨機事件發(fā)生的可能性大小的活動中，可以設計如下問題：“如果袋中有10個白球、1個紅球，任意摸1個球，會是什么情況？”“如果袋中有100個白球和1個紅球呢？”“如果袋中有1000個白球和1個紅球呢？”“只要袋子里有紅球，任意摸1個球，就可能摸出紅球，但我們發(fā)現，摸出紅球的可能性越來越——”“紅球的數量都是1個，為什么摸出紅球的可能性越來越小呢？”通過這樣一系列的問題幫助學生清晰地認識到：摸出紅球的可能性大小除了和紅球的數量有關，還與球的總數有關，也就是要看兩者之間的關系。

參考文獻：

[1] 史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現[M].上海：上海教育出版社，2018.

[3] 曹培英.小學數學“統計與概率”教學研究（一）[J].小學數學教育，2019（5）.

[4] 陳靜.小學階段學生概率思維的形成與發(fā)展[J].教育視界，2019（4）.