導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中的最值問(wèn)題應(yīng)用淺析

陳杰

摘要：最值問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用的一個(gè)重要方面，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究者們研究的主體基本是圍繞如何在最少的投入中產(chǎn)生出最大的收益，其中涉及到的“最少”和“最大”就是數(shù)學(xué)中的常說(shuō)的最值問(wèn)題。文章主要從最小平均成本、最大利潤(rùn)、最佳廣告費(fèi)支出、最佳存款利息以及最佳批量、批數(shù)等五個(gè)方面舉例說(shuō)明最值在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：最值問(wèn)題;經(jīng)濟(jì)管理;導(dǎo)數(shù);應(yīng)用

最值問(wèn)題在人們的日常生活與工作中都普遍的存在，如商業(yè)企業(yè)會(huì)制定一些促銷措施、優(yōu)惠手段、優(yōu)化流通方案等，目的就是為了獲得最大的利潤(rùn)。因此，任何企業(yè)都會(huì)根據(jù)自身的實(shí)際條件，以尋求優(yōu)化方案作為目標(biāo)，這也是當(dāng)前企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理中的中心命題。事實(shí)上，這些都是最值問(wèn)題，即最大值與最小值的問(wèn)題。下面，筆者主要通過(guò)一些具體的實(shí)例，介紹最值在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域相關(guān)方面的應(yīng)用。

一、最小平均成本

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總成本通常指生產(chǎn)某種品種或數(shù)量的產(chǎn)品所需要的全部經(jīng)濟(jì)資源的總價(jià)格或費(fèi)用，由固定成本與變動(dòng)成本構(gòu)成。在數(shù)學(xué)中通常用符號(hào)來(lái)表示總成本，表示固定成本，表示可變成本，用表示產(chǎn)品的產(chǎn)量。在一定條件下，總成本=固定成本+可變成本，那么總成本函數(shù)可表示為;我們也會(huì)用來(lái)表示平均成本函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，也通常用成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示邊際成本函數(shù)，即生產(chǎn)前最后一個(gè)單位增加的成本。

例：某飲料生產(chǎn)加工企業(yè)生產(chǎn)某種飲品的成本（元）是日產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，問(wèn)日產(chǎn)量為多少時(shí)，才能使平均成本最低？

解：

令，得;由于

∴當(dāng)日產(chǎn)量時(shí)，有最小平均成本

因此，該飲料生產(chǎn)企業(yè)日產(chǎn)量定為424噸時(shí)，能使平均成本達(dá)到最低130.97元/噸。

二、最大利潤(rùn)

企業(yè)經(jīng)營(yíng)生產(chǎn)的主要目的之一就是獲取豐厚的利潤(rùn)，利潤(rùn)是收益與成本之差，一般記為。若用表示收入，表示成本，則利潤(rùn)，那么利潤(rùn)函數(shù)即可可表示為。這時(shí)對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后讓導(dǎo)數(shù)等于零，即，通過(guò)化簡(jiǎn)可以得到，而這只是取得極值的一個(gè)必要條件，如果要使利潤(rùn)函數(shù)在這個(gè)條件下取到最大值，那么就必須有利潤(rùn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)小于零，即。只有當(dāng)以上兩個(gè)條件都滿足時(shí)，生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)則能達(dá)到最大，這就是最大利潤(rùn)的計(jì)算方法。

例：設(shè)某白酒生產(chǎn)加工企業(yè)生產(chǎn)某款品牌白酒的生產(chǎn)成本（元）是月產(chǎn)量（瓶）的函數(shù)：，而目前市場(chǎng)上對(duì)該品牌白酒的需求（瓶）是單價(jià)（元/瓶）的函數(shù)：，白酒生產(chǎn)企業(yè)要根據(jù)該品牌白酒在市場(chǎng)上的需求來(lái)組織生產(chǎn)。試求：該白酒生產(chǎn)企業(yè)的月產(chǎn)量定為多少時(shí)，企業(yè)獲取的利潤(rùn)為最大;并求出此時(shí)生產(chǎn)水平上的價(jià)格又是多少？

解：根據(jù)題目所給的已知條件，可以得到需求函數(shù)為，

即，從而可以得到收入函數(shù)為.

那么，利潤(rùn)函數(shù)

令，得

由于，而是的唯一駐點(diǎn)，而且是極大值點(diǎn)。

所以當(dāng)該品牌白酒月產(chǎn)量定為29瓶時(shí)，白酒生產(chǎn)企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)價(jià)格為元。

三、最佳廣告費(fèi)支出

在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)銷售過(guò)程中，為了增加銷量，常用的促銷手段之一就是投放各類產(chǎn)品宣傳廣告，這也是目前被很多企業(yè)所采用的提高銷量方式之一。如何精準(zhǔn)地投放廣告，尋求最佳廣告開(kāi)支是當(dāng)前企業(yè)亟待解決的問(wèn)題。

例：某化妝品公司研發(fā)了一款新的唇膏，為了提高改唇膏在區(qū)域范圍內(nèi)的知名度，增加銷量，在網(wǎng)絡(luò)媒體上進(jìn)行了適當(dāng)?shù)膹V告宣傳。若該新唇膏的利潤(rùn)為100元，每月的廣告費(fèi)支出的平均值為元，如果設(shè)銷售量是廣告費(fèi)的函數(shù)，且，其中，求要使該新唇膏獲得最大的利潤(rùn)，那么最佳的廣告支出是多少元？

解：設(shè)該新唇膏的純利潤(rùn)函數(shù)為

則通過(guò)對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo)得到

令，可以得到，解得（元）

通過(guò)對(duì)利潤(rùn)函數(shù)二次求導(dǎo)得：，得到，由于純利潤(rùn)函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，那么這個(gè)唯一極值點(diǎn)就是極大值點(diǎn)。

所以，當(dāng)每月廣告費(fèi)支出為元時(shí)，該新唇膏的利潤(rùn)取得最大值，（元），所以，當(dāng)廣告費(fèi)每月支出為599元時(shí)，可以使該產(chǎn)品達(dá)到最高純利潤(rùn)39 301元。

四、最佳存款利息

目前，商業(yè)銀行業(yè)務(wù)的開(kāi)展主要有兩個(gè)方面，一是吸收存儲(chǔ)現(xiàn)金，二是利用資金進(jìn)行投資。商業(yè)銀行一般會(huì)根據(jù)資金投資的收益來(lái)決定某項(xiàng)存款服務(wù)的利息，最重要目的就是使獲得的收益最大。

例：某商業(yè)銀行擬發(fā)行一款固定期限基金產(chǎn)品，假設(shè)獲得的資金量與基金收益成正比，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，通過(guò)獲得資金進(jìn)行投資的收益約為，那么該款基金產(chǎn)品在對(duì)外宣傳時(shí)收益率定為多少才能使投資獲得的收益最大。

解：設(shè)基金產(chǎn)品的收益率為，獲得的資金總額為，由題意可知，與成正比，則（為正常數(shù)），若使用資金進(jìn)行投資的總額為，則投資獲得的收益為，而這筆投資資金要付給基金購(gòu)買(mǎi)人的收益為，因此進(jìn)行投資獲得純收益為;

令，即，得，

且（），即駐點(diǎn)是的唯一極值點(diǎn)，而且是極大值點(diǎn)。

因此，當(dāng)該款基金產(chǎn)品的收益率定為時(shí)，可獲得最大的投資純收益。

以上只是理論上的投資純收益，在具體的銀行業(yè)務(wù)中，投資的收益會(huì)受到很多方面因素的影響，從而也影響函數(shù)客觀性。

五、最佳批量和批數(shù)

企業(yè)為了保證生產(chǎn)的正常運(yùn)行，都會(huì)根據(jù)生產(chǎn)任務(wù)提前采購(gòu)生產(chǎn)所需的原材料，那么就會(huì)遇到如何使訂單手續(xù)費(fèi)用跟保管費(fèi)用最少的問(wèn)題，即最佳批量與批數(shù)問(wèn)題。

例：某企業(yè)每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要甲原料噸，每次購(gòu)買(mǎi)甲原料的手續(xù)費(fèi)為元，而該甲原料每噸的庫(kù)存保管費(fèi)用為元，問(wèn)在該產(chǎn)品均勻生產(chǎn)的條件下（即甲原料的平均庫(kù)存數(shù)為批量的一半），該企業(yè)分幾批購(gòu)進(jìn)甲原料能使訂單手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)最少？

解：設(shè)甲原料訂購(gòu)批數(shù)為時(shí)總費(fèi)用為元，則可得：

令導(dǎo)數(shù)等于零，即，得駐點(diǎn)

又因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，又因?yàn)榇嬖谖ㄒ获v點(diǎn)，所以取得的極小值即實(shí)際問(wèn)題的最小值。

因此，該企業(yè)應(yīng)分為批購(gòu)進(jìn)可使采購(gòu)甲原料的手續(xù)費(fèi)及庫(kù)存保管費(fèi)之和最少。

在本例中，通過(guò)批數(shù)可算出批量為，這就是最佳進(jìn)貨量，經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱之為最佳經(jīng)濟(jì)批量。

隨著科學(xué)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科已經(jīng)廣泛應(yīng)用到政治、經(jīng)濟(jì)、文化等各個(gè)領(lǐng)域。導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題應(yīng)用頗為廣泛。在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域的相關(guān)研究中，如何用最少的投入來(lái)獲得最大的收益是經(jīng)濟(jì)學(xué)者們研究的主要內(nèi)容。諸多的應(yīng)用為導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中的應(yīng)用提供了更廣闊的研究舞臺(tái)。■

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作者簡(jiǎn)介：陳 杰，男，漢族，江蘇丹陽(yáng)人，蘇州旅游與財(cái)經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。