大樣本數(shù)據(jù)中方差變點(diǎn)的兩階段估計(jì)方法

張 笛,趙文芝,楊銀倩

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

變點(diǎn)問題一直都是統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究熱點(diǎn)。在某個(gè)未知時(shí)刻,樣本的分布發(fā)生了突然的變化,這個(gè)時(shí)刻就稱作變點(diǎn)。 1954年，Page發(fā)表的一篇質(zhì)量檢驗(yàn)的文章提出了變點(diǎn)問題[1],引起了眾多學(xué)者對(duì)變點(diǎn)問題的關(guān)注,現(xiàn)在變點(diǎn)研究已被大量應(yīng)用于金融經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)診斷等領(lǐng)域。

在經(jīng)濟(jì)金融中,常用方差度量風(fēng)險(xiǎn),關(guān)于方差變點(diǎn)的文獻(xiàn)也有很多。 Gombay等對(duì)獨(dú)立序列中的方差變點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)和估計(jì),得到了變點(diǎn)估計(jì)量的漸近性質(zhì)[2]； 邵釧利用滑窗法證明了獨(dú)立序列中變點(diǎn)估計(jì)量的弱、強(qiáng)收斂速度[3]。 以上文獻(xiàn)都是考慮獨(dú)立情形,實(shí)際中的數(shù)據(jù)通常具有相依性。 趙文芝等應(yīng)用CUSUM估計(jì)量,在較弱條件時(shí)推導(dǎo)出線性過程中估計(jì)量的收斂速度[4]。 由于CUSUM檢驗(yàn)需要估計(jì)模型參數(shù),孫耀東等在非參數(shù)回歸模型中,構(gòu)造Ratio 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并研究了其極限性質(zhì)[5]。在消除序列相依性的同時(shí),金浩等通過Bootstrap方法提高了自回歸模型中方差變點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值[6]。 由于變點(diǎn)所處位置對(duì)其檢測(cè)效果有一定影響,在獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量序列中,Hsu在初始方差水平未知時(shí)對(duì)方差變點(diǎn)進(jìn)行2種檢驗(yàn)[7],王靜龍等在均值未知時(shí)構(gòu)造了方差變點(diǎn)的3種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,通過模擬得出變點(diǎn)所處不同位置時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量[8]。 此外,秦瑞兵等提出一種截?cái)鄻颖镜姆椒?，使估?jì)精度得以提高[9]。

在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)實(shí)踐中,常常會(huì)發(fā)生均值和方差變點(diǎn)同時(shí)存在或更復(fù)雜情況。Pitarakis發(fā)現(xiàn)均值和方差變點(diǎn)相互作用,因二者之一在最小二乘估計(jì)中被忽視而出現(xiàn)推斷錯(cuò)誤情況[10]；Bai用擬極大似然方法對(duì)面板數(shù)據(jù)中均值和方差公共變點(diǎn)進(jìn)行估計(jì),得到了方差變點(diǎn)的相合性和漸近分布[11]；胡堯等對(duì)于雙重變點(diǎn)采用小波方法, 得到方差變點(diǎn)躍度的估計(jì)[12]；王慧敏等研究了相依序列中均值和方差變點(diǎn)同時(shí)存在的CUSUM 估計(jì)量[13]；陳璐等進(jìn)一步研究了均值已知和未知時(shí)相合性和收斂速度的影響[14]。 當(dāng)變點(diǎn)個(gè)數(shù)不止一個(gè)時(shí),Inclan等應(yīng)用CUSUM 型估計(jì)量檢驗(yàn)獨(dú)立序列中多個(gè)方差變點(diǎn)問題[15]。 相對(duì)于突變點(diǎn),漸變點(diǎn)更能刻畫現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)特點(diǎn),劉鑫等利用最小二乘方法研究了面板數(shù)據(jù)中方差漸變點(diǎn)的估計(jì)問題[16]。

隨著經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展,統(tǒng)計(jì)產(chǎn)出數(shù)據(jù)呈指數(shù)型遞增,快速估計(jì)方差變點(diǎn)可使得人們及時(shí)調(diào)整思路以減少損失。本文針對(duì)大樣本數(shù)據(jù)提出了快速估計(jì)變點(diǎn)的兩階段估計(jì)方法,證明了估計(jì)量的相合性和收斂速度。

1 統(tǒng)計(jì)模型及假設(shè)

考慮如下方差變點(diǎn)模型:

(1)

式中：μ為常數(shù)；σ1≠σ2為常數(shù)，即σi取值考慮簡(jiǎn)單情形；k0為未知變點(diǎn)。Yi是給定的線性過程，

式中：V(·)、E(·)分別表示對(duì)隨機(jī)變量取方差、均值運(yùn)算。

對(duì)模型(1)進(jìn)行移項(xiàng),得Xi-μ=σiYi,故

k0的最小二乘估計(jì)量為

(2)

i=k*+(t-1)·dN

(3)

2 變點(diǎn)的兩階段估計(jì)

2.1 初始估計(jì)量

引理1若假設(shè)1和假設(shè)2成立,可推得γ=η。

(4)

(5)

(6)

2.2 最終估計(jì)量

由子序列與原序列的下標(biāo)關(guān)系式(3)及式(6)可得,P(k0∈[h1,h2])→1成立,其中

第二階段對(duì)原序列中落入隨機(jī)區(qū)間[h1,h2]的所有樣本進(jìn)行估計(jì),估計(jì)方法如下:

(7)

3 定理及證明

(8)

式中：P(k0?[h1,h2])<ε,ε為任意小的正數(shù)。

|E(Uk0)|-|E(Uk)|≥Gη|λN(ρ-η)|

(9)

(10)

(11)

經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算可得

(12)

再由文獻(xiàn)[4]的定理1和定理2可得

從而，

(13)

定義

DN,S={k:Nδ≤k≤N(1-δ),k∈[h1,h2],

則

(14)

由于

0≤f(k)≤1

(15)

假設(shè)λN>0,由E(Uk0)>0,得,

(16)

因?yàn)镋(Uk0)={η(1-η)}1/2λN,由Hjek-Rényi不等式[19]知,當(dāng)N→∞時(shí)，式(16)中前兩項(xiàng)均趨于0,所以P1→0。

對(duì)于P2,由Uk-Uk0≥0可推出

Uk-E(Uk)-(Uk0-E(Uk0))≥

E(Uk0)-E(Uk)

(17)

由式(9)和式(17),得

A(k)+R(k)≥E(Uk0)-E(Uk)≥

則

(18)

(19)

由式(15)和k≥Nδ,有

(20)

(21)

其中C1>0。當(dāng)N,S→∞時(shí),式(21)中的3項(xiàng)均趨于0，則P2,2→0。 同理,P2,1→0，則式(14)趨于0。

定理3在假設(shè)1～3成立條件下,

證明在下面證明中,U(k)和Uk是等價(jià)的可互換。由定理2可知

(22)

且

?Q>0,有|v|≤Q,定義[-Q,Q]上有統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)函數(shù)空間C[-Q,Q]。記

則

2N(Uk0-E(Uk0))(Uk-Uk0)+

N(Uk-Uk0)2

(23)

首先證明在集合HN(Q)上,式(23)的后兩項(xiàng)是趨于0的。由式(12)可得N1/2(Uk0-E(Uk0))是有界的,僅需證明N1/2(Uk-Uk0)在HN(Q)上是趨于0的。

N1/2|Uk-Uk0|≤N1/2|A(k)+R(k)|+

N1/2|E(Uk)-E(Uk0)|

(24)

易知關(guān)于R(k)的上界依然有效,對(duì)式(20)乘以N1/2,由不變性原理,經(jīng)過計(jì)算均依概率趨于0。同理,在集合HN(Q)上N1/2A(k)→0。對(duì)于式(24)第二項(xiàng),易知?V>0，使得V(N1/2λN)-1→0。由式(15)和k∈HN(Q),得

0≤N1/2(E(Uk0)-E(Uk))≤

N1/2(f(k0)-f(k))λN+

V(N1/2λN)-1

下面證明對(duì)于k∈HN(Q),

(25)

NλN(Uk-Uk0)=NλN(A(k)+R(k))-

NλN(E(Uk0)-E(Uk))

(26)

式中：“?”為弱收斂；W1(·)為[0,∞]上的布朗運(yùn)動(dòng)。由于

因此

NλN(A(k)+R(k))?{η(1-η)}-1/2·

(27)

NλN(E(Uk0)-E(Uk))=

(28)

結(jié)合式(25)～(28),當(dāng)v≤0時(shí),有

同理,當(dāng)v>0時(shí),有

的極限分布。因?yàn)閃1(·)是由i≤k0時(shí)的{ei}決定的,同樣W2(·)是由i>k0時(shí)的{ei}決定的,所以W1和W2由不相重疊的序列{ei}決定且彼此獨(dú)立。

為了證明定理3,定義Cmax[-Q,Q]是C[-Q,Q]上函數(shù)存在唯一最大值時(shí)的子集,且argmax函數(shù)在Cmax[-Q,Q]上是連續(xù)的,利用連續(xù)映射定理,可得

4 隨機(jī)模擬

由模型(1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)據(jù),即

其中Yi是AR(1)過程,Yi=φYi-1+εi,φ=0.3,εi為服從N(0,1)的獨(dú)立同分布序列。取N=4 000、6 000、8 000,k0=0.5N,k*=0.5dN,BnN=lgnN,lnnN,log2nN,每次估計(jì)重復(fù)1 000次,結(jié)果如表1所示。其中,Mean,Std和Toc分別表示模擬1 000次時(shí)的估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和運(yùn)行時(shí)間。T-S估計(jì)表示所提出的兩階段估計(jì)方法,L-S估計(jì)表示傳統(tǒng)的最小二乘方法。

表 1 2種方法模擬1 000次的對(duì)比

由表1可知,隨著樣本量N的增大,估計(jì)所需運(yùn)行時(shí)間越來越長(zhǎng)。當(dāng)樣本量N一定時(shí),隨著BnN的增大, 所提方法的最終估計(jì)值不斷靠近傳統(tǒng)方法的估計(jì)值,標(biāo)準(zhǔn)誤在不斷減少; 運(yùn)行時(shí)間有所增加但優(yōu)于傳統(tǒng)方法的運(yùn)行時(shí)間,估計(jì)效果不斷提高。 尤其當(dāng)BnN=log2nN時(shí),兩階段估計(jì)法的估計(jì)值最為接近傳統(tǒng)方法的估計(jì)值,且時(shí)間相比傳統(tǒng)方法的估計(jì)時(shí)間縮小一半甚至更少。數(shù)據(jù)量N越大估計(jì)結(jié)果愈加準(zhǔn)確,體現(xiàn)了大樣本數(shù)據(jù)中二階段估計(jì)方法的有效性。

5 結(jié) 語(yǔ)