論數(shù)學(xué)分析課程對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的功能及應(yīng)用

周露露

[摘要]文章在探討數(shù)學(xué)分析課程與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的重要性、數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用及數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)中存在的問(wèn)題的基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用，旨在為相關(guān)教育工作者提供參考和借鑒。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)分析課程;中學(xué)數(shù)學(xué);重要性;應(yīng)用策略

隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教育的不斷改革，中學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)展了各種豐富多彩的課外活動(dòng)。在課程活動(dòng)中，學(xué)生會(huì)接觸到一些中學(xué)數(shù)學(xué)課本以外的知識(shí)，這就對(duì)教師的眼界、思維及教學(xué)方式提出更高的要求。數(shù)學(xué)分析課程在其中的作用逐漸凸顯出來(lái)，如數(shù)學(xué)分析課程中函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法既包含有高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，又有初等數(shù)學(xué)的巧妙。因此，本文探討數(shù)學(xué)分析課程對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的功能及應(yīng)用，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系

當(dāng)初等數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段后必然會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)分析，初等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)分析形成的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析課程里面的導(dǎo)數(shù)、積分等概念都來(lái)源于初等數(shù)學(xué)。其中，導(dǎo)數(shù)最初是用來(lái)求直線斜率的，后來(lái)發(fā)展成為用極限方法求曲線上某點(diǎn)的切線斜率。積分最初是用來(lái)求直線所圍成的平面圖形面積，后來(lái)發(fā)展成為用極限方法求曲線所圍成的面積，從這些概念的發(fā)展過(guò)程可以看出數(shù)學(xué)分析解決了初等代數(shù)、初等幾何解決不了的問(wèn)題，其發(fā)展具有必然性。

從內(nèi)容上來(lái)看，數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)存在緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)分析是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行的研究，它是建立在實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)上的。而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)數(shù)也是非常重要的內(nèi)容之一，實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，如丌、平方根等都是無(wú)理數(shù)的代表，但關(guān)于無(wú)理數(shù)的一些問(wèn)題，如無(wú)理數(shù)是否大量存在，如何產(chǎn)生，以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一—對(duì)應(yīng)關(guān)系等，這些問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有做出具體的回答，但在數(shù)學(xué)分析中對(duì)其進(jìn)行了解答。

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容，中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)其研究重點(diǎn)是性質(zhì)、圖像、定義、值域、求解函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、極值、函數(shù)的奇偶性及周期性等，研究的方法主要是根據(jù)函數(shù)的定義，然后根據(jù)函數(shù)解析式的運(yùn)算性質(zhì)討論式子的恒等變形，解方程或解不等式，這在一定程度上限制了函數(shù)的研究，也給研究解題技巧帶來(lái)了一定難度。但是，如果用數(shù)學(xué)分析中微分學(xué)的原理方法，這些問(wèn)題就迎刃而解，以簡(jiǎn)馭繁了。例如，中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖像、方程與不等式等問(wèn)題，它們的求解方法具有局限性，很多方程與不等式的求解有很強(qiáng)的技巧性，而從數(shù)學(xué)分析角度看解方程或方程組其實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的零點(diǎn)或求兩條曲線的交點(diǎn)，解不等式的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)值符號(hào)的問(wèn)題。

另外，中學(xué)數(shù)學(xué)里的幾何問(wèn)題與數(shù)學(xué)分析也是息息相關(guān)的，利用數(shù)學(xué)分析的原理和方法求解任意曲線的切線、漸近線也是很容易的，而利用中學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)解答這些問(wèn)題則具有一定的難度。

二、數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的重要性

數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修課程和基礎(chǔ)課程，該課程并不是簡(jiǎn)單地沿用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模板和知識(shí)，而其中包含了很多數(shù)學(xué)分析思維和數(shù)學(xué)思想，學(xué)生一旦掌握這種數(shù)學(xué)分析思維，很多問(wèn)題都可迎刃而解。雖然目前不同省份所使用的教材版本各異，但數(shù)學(xué)分析課程的知識(shí)體系和思想傳輸都是一樣的，如對(duì)函數(shù)、微積分、級(jí)數(shù)、極限、函數(shù)等重要數(shù)學(xué)理論的研究。將數(shù)學(xué)分析課程應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)中，可以為學(xué)生厘清思路，感受到整體與局部、特殊與一般、近似和準(zhǔn)確的關(guān)系，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維邏輯和數(shù)學(xué)思維能力。另外，數(shù)學(xué)分析課程為物理、化學(xué)等課程的學(xué)習(xí)也奠定了專業(yè)學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)和提供了方法，以便學(xué)生在日后能夠?qū)W以致用，解決實(shí)際問(wèn)題。

三、數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，更應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，掌握多樣化的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，這樣才能在教學(xué)過(guò)程中更胸有成竹，得心應(yīng)手，把更多的數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生。與此同時(shí)，還要多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程中的一些理論知識(shí)、原理和解題方法，用現(xiàn)代化的知識(shí)武裝自己，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用全新的知識(shí)和理念去解釋相關(guān)的問(wèn)題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)分析中的理論、原理等知識(shí)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，將指導(dǎo)作用發(fā)揮到淋漓盡致。為了真正貫徹?cái)?shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，教師首先需要做到的是提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，熟練掌握和理解數(shù)學(xué)分析中的理論、原理等知識(shí)，并在日常教學(xué)過(guò)程中集思廣益，搜集大量的材料，把好的知識(shí)點(diǎn)記錄下來(lái)。此外，還需將數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行有效銜接，通過(guò)搜集典型的題型，比較二者的解法。長(zhǎng)此以往，就會(huì)養(yǎng)成將數(shù)學(xué)分析理論及原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的習(xí)慣，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)的作用。

四、數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中存在的問(wèn)題

1.教學(xué)內(nèi)容抽象，學(xué)生較難理解

由于數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)內(nèi)容具有一定的抽象性，學(xué)生理解起來(lái)具有一定的難度，對(duì)于數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)方式和教學(xué)意義也不太了解。教師在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中沒(méi)有從學(xué)生實(shí)際的接受能力和興趣出發(fā)，且教學(xué)方法缺乏創(chuàng)新性，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析課程的內(nèi)容一知半解。另外，數(shù)學(xué)分析課程中的一些定義和概念都是在中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，但對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析能力要求更高，加上有些知識(shí)教師在短時(shí)間內(nèi)理解都有一定難度，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)就更加困難了。

2.數(shù)學(xué)分析教與學(xué)缺乏同步性

數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中最明顯的缺陷就是教與學(xué)沒(méi)有同步進(jìn)行，有些教師為了趕教學(xué)進(jìn)度，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求并不是太嚴(yán)格。而有些學(xué)生雖然對(duì)數(shù)學(xué)分析課程感興趣，也只能利用業(yè)余時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)和鞏固，在課堂中學(xué)到的知識(shí)十分有限。此外，有些教師并未將中學(xué)數(shù)學(xué)分析課程與其他課程進(jìn)行有效連接，致使該課程的價(jià)值沒(méi)有得到充分展現(xiàn)。

3.忽視對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)過(guò)程的重視

現(xiàn)階段，很多教師都比較注重?cái)?shù)學(xué)分析課程的結(jié)果，而忽視對(duì)數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)過(guò)程。受應(yīng)試教育的影響，教師更注重的還是學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，用分?jǐn)?shù)來(lái)衡量教學(xué)效果和學(xué)生的掌握程度。而數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，除了能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯能力外，還能讓學(xué)生形成整體觀，加強(qiáng)知識(shí)間的有效銜接，這些能力的提升都是在教學(xué)過(guò)程中積累起來(lái)的，所以，教師應(yīng)該重視教學(xué)過(guò)程，一步一個(gè)腳印，不能只注重教學(xué)結(jié)果。

五、數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用

1.級(jí)數(shù)理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)分析課程中，級(jí)數(shù)理論是非常重要的內(nèi)容，通過(guò)對(duì)函數(shù)級(jí)數(shù)進(jìn)行展開(kāi)可以計(jì)算近似級(jí)數(shù)，從中學(xué)數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)表及常用對(duì)數(shù)表可以看出，其制作的原理都運(yùn)用到了級(jí)數(shù)理論的求近似值。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)熟練掌握這些知識(shí)，教會(huì)學(xué)生查閱表格的方法，并將制作表格的理論依據(jù)講給學(xué)生聽(tīng)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。還可開(kāi)展一些數(shù)學(xué)課外活動(dòng)，開(kāi)闊學(xué)生的眼界。如在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用求函數(shù)極值的方法有不等式、配方等，這些方法較容易，學(xué)生都能掌握，但這些方法只適用于解決特殊問(wèn)題，技巧也較高，如若用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)極值問(wèn)題，會(huì)簡(jiǎn)單很多。

2.積分法原理和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

定積分和不定積分是積分學(xué)包含的兩大重要內(nèi)容，其中定積分的含義是基于極限的角度，不定積分的含義是基于逆運(yùn)算的角度，它們從定義上來(lái)看是完全不同的，但從Newton-Leibniz的微積分基本定理來(lái)看，它們也存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)榭梢詫⒍ǚe分里面求和式極限這樣較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求不定積分來(lái)解決，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

3.面積與體積計(jì)算方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，書本上給出的面積和體積公式都是用來(lái)計(jì)算規(guī)則平面圖形或空間立體圖形，但是很多公式不能給出具體的推導(dǎo)方法。因此，祖恒定理被當(dāng)作研究體積計(jì)算問(wèn)題的常用定理，以它作為理論依據(jù)，再結(jié)合長(zhǎng)方體的體積公式推出柱、錐、球等體積公式。而在數(shù)學(xué)分析課程中，不僅可以用積分或重積分的方法來(lái)計(jì)算面積和體積，而且可用定積分的定義來(lái)證明祖恒定理、柱、錐、臺(tái)、球等體積公式。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教師需結(jié)合數(shù)學(xué)分析里的一些方式方法來(lái)計(jì)算有關(guān)面積、體積的問(wèn)題，進(jìn)而為選用其中—種教學(xué)方法指明方向。

4.證明不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，不等式也是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，因?yàn)樗婕敖夥匠毯秃瘮?shù)方面的問(wèn)題，如解不定方程、極值、條件極值都包含在其中。證明不等式的方法有很多，題型不同，證明方法也不同。在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法有恒等變形、利用二次型等，而這些方法需要較高的技巧。如若利用數(shù)學(xué)分析里的函數(shù)的單調(diào)性、定積分的性質(zhì)等知識(shí)解答不等式問(wèn)題，求解過(guò)程會(huì)變得簡(jiǎn)單。

六、結(jié)語(yǔ)

總而言之，數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義，將其應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，而且能拓展學(xué)生的解題思路。因此，教師在解答相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以先利用數(shù)學(xué)分析的方法，然后再?gòu)闹袑W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，通過(guò)搜集典型例題，再?gòu)臄?shù)學(xué)分析中的理論、原理與中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系入手，優(yōu)化解題方案，提升教學(xué)效果。