機械臂運動的智能自適應(yīng)模糊控制策略

趙 娟，楊慧中

（1.無錫工藝職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 宜興 214206；2.江南大學(xué)，江蘇 無錫 214122）

1 引言

機械臂可以代替人類進行重復(fù)性生產(chǎn)活動，而且隨著智能化程度越來越高，對機械臂的控制精度要求也越來越高，但是外界環(huán)境變化產(chǎn)生的擾動會影響機械臂的控制精度，導(dǎo)致產(chǎn)品質(zhì)量下降[1]。因此研究機械臂控制技術(shù)具有重要意義。隨著人工智能的興起與發(fā)展，人工智能技術(shù)與傳統(tǒng)控制理論相結(jié)合，并將其應(yīng)用到機械臂控制中成為一個熱點研究方向。文獻[2]使用抗飽和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制法解決了機械臂外界擾動及輸入受限問題；文獻[3]設(shè)計了干擾觀測器與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的機械臂控制方法，解決了滑?？刂贫墩駟栴}；文獻[4]使用兩個RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計了自適應(yīng)控制器，其中一個為輸入端控制器，另一個為辨識器，最終提高了機械臂末端連桿控制的穩(wěn)定性；文獻[5]提出了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法非線性積分滑?？刂品椒?，不僅減小了跟蹤誤差而且減小了驅(qū)動轉(zhuǎn)矩波動幅度。以上研究成果使用不同方法解決了機械臂軌跡跟蹤控制問題，且設(shè)置了不同的控制目標(biāo)，達到了不同的控制效果。針對存在外界干擾情況下的軌跡跟蹤控制問題，以二階模糊控制器為基礎(chǔ)，提出了具有智能自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力的模糊控制器，最終實現(xiàn)了減小控制誤差且減小驅(qū)動力矩幅值的目的。

2 雙連桿機械臂動力學(xué)模型

2.1 雙連桿機械臂結(jié)構(gòu)

雙連桿機械臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖1 所示。將機械臂工作區(qū)域設(shè)置在豎直平面內(nèi)，此機械臂由兩個關(guān)節(jié)組成，其中連桿1 與基座間關(guān)節(jié)記為關(guān)節(jié)1，連桿1 與連桿2 之間的關(guān)節(jié)記為關(guān)節(jié)2，每個關(guān)節(jié)僅有一個自由度。

圖1 雙連桿機械臂模型Fig.1 Two-Joint Manipulator Model

圖中：m1、m2—連桿 1 與連桿 2 的質(zhì)量；l1、l2—連桿 1 和連桿 2 的長度；θ1、θ2—關(guān)節(jié) 1 和關(guān)節(jié) 2 的關(guān)節(jié)角；g—重力加速度。

2.2 機械臂動力學(xué)模型

使用拉格朗日方程[6]建立雙連桿機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程，為：

式中：θi—關(guān)節(jié)的 i 角位置；τi—關(guān)節(jié) i 的驅(qū)動力矩拉格朗日函數(shù)—機械臂系統(tǒng)總動能；V（θ）—機械臂系統(tǒng)總勢能。剛性機械臂系統(tǒng)動能和勢能的計算較為簡單，且研究已經(jīng)成熟，可參考文獻[7]，這里不再贅述，直接給出動力學(xué)方程求解結(jié)果，為：

3 智能自適應(yīng)模糊控制器

3.1 機械臂系統(tǒng)控制方案

記機械臂期望運動軌跡為θd，實際運動軌跡為θ，則軌跡跟蹤誤差及誤差變化率為：

機械臂軌跡跟蹤控制的目標(biāo)是通過設(shè)計控制律使用最小的力矩實現(xiàn)最小的跟蹤誤差。也就是說，控制律的設(shè)計依賴跟蹤誤差而變化，因此將軌跡跟蹤誤差e 及誤差變化率e˙作為模糊控制器輸入，將機械臂控制律u 作為模糊控制器輸出。

使用智能自適應(yīng)模糊控制器對雙連桿機械臂系統(tǒng)的控制方案及智能自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計方案，如圖2 所示。圖中：Ke、Ke˙—量化因子；Ku—比例因子。智能自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計思路為：以跟蹤誤差和驅(qū)動力矩最小為目標(biāo)，以Ts為周期實時調(diào)節(jié)模糊控制器參數(shù)，使參數(shù)能夠隨跟蹤誤差和驅(qū)動力矩變化而自適應(yīng)調(diào)節(jié)，最終達到減小跟蹤誤差和驅(qū)動力矩的目的。

圖2 機械臂控制方案及模糊控制器設(shè)計Fig.2 Manipulator Control Scheme and Fuzzy Controller Design

3.2 智能自適應(yīng)模糊控制器實現(xiàn)

從圖2（b）中可以看出，模糊邏輯控制器的核心內(nèi)容包括兩個部分：一是模糊控制器設(shè)計，二是智能自適應(yīng)調(diào)節(jié)器設(shè)計，其中模糊控制器可分為三個部分：精確量的模糊化、模糊邏輯規(guī)則制定、去模糊化[8]，本節(jié)只對模糊控制器進行設(shè)計，智能自適應(yīng)調(diào)節(jié)器在第4 節(jié)進行設(shè)計。為了提高模糊控制精度，將軌跡跟蹤誤差e、誤差變化率e˙、機械臂控制律在論域上模糊化為7 個語言值，分別為負大（NB）、負中（NM）、負小（NS）、零（ZE）、正?。≒S）、正中（PM）、正大（PB）。模糊化隸屬度函數(shù)使用高斯隸屬度函數(shù)：

式中：μ（x）—x 的隸屬度值；c—隸屬度函數(shù)均值；σ—隸屬度函數(shù)偏移量。

模糊邏輯規(guī)則的制定遵循兩條規(guī)則：（1）當(dāng)誤差為較大正值（或負值），且誤差變化律也為較大正值（或負值），輸出量為較大的正值（或負值），以減小誤差；（2）當(dāng)誤差為較大正值（或負值），而誤差變化律為負值（或正值）時，輸出為較小正值（或負值）或0。按照以上兩條規(guī)則，制定模糊規(guī)則，如表1 所示。

表1 模糊邏輯規(guī)則Tab.1 Fuzzy Logistic Rule

由于加權(quán)平均法充分利用了隸屬度最大元素提供的主導(dǎo)信息，因此選用加權(quán)平均法進行解模糊化[9]，即：

式中：z*—去模糊化后的參數(shù)；n—模糊元素的個數(shù)；?j—模糊集的元素；μ（?j）—元素?j的隸屬度。

4 智能自適應(yīng)調(diào)節(jié)器

為了使模糊控制器具有智能自適應(yīng)性，能夠隨控制結(jié)果的變化自適應(yīng)調(diào)節(jié)自身參數(shù)和狀態(tài)，設(shè)計了智能自適應(yīng)調(diào)節(jié)器。此調(diào)節(jié)器以跟蹤誤差和驅(qū)動力矩最小為目標(biāo)，提出了多策略協(xié)同進化粒子群算法進行求解，將求解結(jié)果反饋給模糊控制器，從而實現(xiàn)模糊控制器的智能自適應(yīng)性。

4.1 基本粒子群算法

基本粒子群算法中，粒子速度在自身慣性、自身歷史最優(yōu)和種群最優(yōu)位置的牽引下進行更新[10]，即：

式中：vid（t）、xid（t）—粒子 i 迭代 t 次時在 d 維上的速度和位置；pid—粒子i 迭代至當(dāng)前時刻在d 維上的最優(yōu)位置；pgd—種群迭代至當(dāng)前時刻在d 維上的最優(yōu)位置；c1、c2—自身學(xué)習(xí)因子和種群學(xué)習(xí)因子；rand（）—（0，1）間的隨機數(shù)。

4.2 多策略進化與多種群協(xié)同

根據(jù)慣性權(quán)重對粒子探索能力的影響，設(shè)置三種進化策略，分別為大范圍搜索策略、精細搜索策略和速度自適應(yīng)更新策略。

4.2.1 多策略進化

在粒子尋優(yōu)過程中，慣性權(quán)重對粒子的探索能力和開發(fā)能力影響較大，慣性權(quán)重較大時粒子的探索能力較強，能夠大范圍移動，而探索之前未到達區(qū)域，利于全局搜索；慣性權(quán)重較小時粒子的開發(fā)能力較強，能夠在某一區(qū)域精細搜索，利于局部搜索和算法收斂。

對于同一搜索策略下的粒子，希望粒子的慣性權(quán)重隨著算法的迭代而不斷調(diào)整，從而動態(tài)調(diào)整算法的探索能力和開發(fā)能力，使用線性遞減方法自適應(yīng)調(diào)整慣性權(quán)重，即：

式中：w—自適應(yīng)權(quán)重；wmax、wmin—慣性權(quán)重最大和最小值；tmax—最大迭代次數(shù)。

通過設(shè)置不同的慣性權(quán)重最值，實現(xiàn)不同搜索策略，即大范圍搜索策略的慣性權(quán)重變化為：

細致搜索策略的慣性權(quán)重變化為：

當(dāng)本次搜索的粒子優(yōu)于上一代搜索粒子時，按照基本粒子群算法中速度更新方法依然要改變搜索方向，這種不加區(qū)分的粒子搜索方法顯然不合理，因此設(shè)置速度自適應(yīng)更新策略，基本思想為：當(dāng)本次搜索的粒子優(yōu)于上代粒子時，依然沿此方向繼續(xù)搜索；當(dāng)本次搜索粒子次于上代粒子時，則在歷史最優(yōu)和種群最優(yōu)牽引下運動。速度自適應(yīng)更新策略為：

式中：f（x）—適應(yīng)度函數(shù)。

4.2.2 多種群協(xié)同

式（7）給出了大范圍搜索策略，具有強探索能力；式（8）給出了細致搜索策略，具有強開發(fā)能力；式（9）給出了速度自適應(yīng)更新策略，具有快速搜索能力。若單獨使用細致搜索策略，算法能夠在小范圍內(nèi)精細搜索，但是難以從一個區(qū)域運動至另一區(qū)域進行大范圍搜索；同樣的，單獨使用大范圍搜索策略，粒子大范圍瀏覽區(qū)域，而沒有進行細致搜索，難以搜索到最優(yōu)解。因此提出了多種群協(xié)同搜索方法，將整個粒子種群劃分為3 個子群，按照3 種搜索策略分別設(shè)置3 個子群的速度更新機制，每完成一次迭代通過共享子群最優(yōu)信息實現(xiàn)信息交流。

4.3 多策略協(xié)同進化粒子群算法流程

根據(jù)基本粒子群算法原理、多策略進化和多種群協(xié)同搜索方法，制定多策略協(xié)同進化粒子群算法流程為：

（1）初始化算法參數(shù)，包括種群規(guī)模、粒子維度、搜索區(qū)域等；

（2）將種群等分為3 個子群，將3 個子群的粒子進行隨機初始化；

（3）各子群按各自搜索方式搜索最優(yōu)位置，每完成一次迭代，交換子群最優(yōu)粒子；

（4）比較子群最優(yōu)粒子，挑選出種群最優(yōu)粒子，使用種群最優(yōu)粒子替換各子群最優(yōu)粒子；

（5）是否達到最大迭代次數(shù)，若是則結(jié)束，輸出種群最優(yōu)粒子；若否則轉(zhuǎn)至Step3。

4.4 智能自適應(yīng)調(diào)節(jié)器實現(xiàn)

將多策略協(xié)同進化粒子群算法應(yīng)用于模糊控制器的自適應(yīng)調(diào)節(jié)中，模糊邏輯控制器包含3 個參數(shù)，因此將粒子維度設(shè)置為3，即 xi=（xi1，xi2，xi3）T，粒子的 1 至 3 維度分別表示 Ke、Ke˙、Ku。根據(jù)參數(shù)的通常取值，將搜索范圍分別設(shè)置為［0，10］、［0，8］、［0，8］。

優(yōu)化目標(biāo)為使用最小的驅(qū)動力矩實現(xiàn)最小的跟蹤誤差，即目標(biāo)函數(shù)為：

式中：g（）—目標(biāo)函數(shù)；N—采樣數(shù)量；e1（i）—關(guān)節(jié) 1 跟蹤誤差；e2（i）—關(guān)節(jié) 2 跟蹤誤差；u1（i）—關(guān)節(jié) 1 驅(qū)動力矩；u2（i）—關(guān)節(jié)2 驅(qū)動力矩；?1=?2=104—權(quán)值，目的是將誤差調(diào)整至與力矩具有相同的數(shù)量級。

5 仿真驗證

5.1 多策略協(xié)同進化粒子群算法驗證

仿真實驗在MATLAB 仿真環(huán)境下進行，機械臂參數(shù)設(shè)置為：m1=2kg、m2=1kg、l1=1.2m、l2=0.6m，g=9.8m/s2。關(guān)節(jié) 1 和關(guān)節(jié) 2的期望運動軌跡為 θd1（t）=θd2（t）=sin（2t-π/2）。關(guān)節(jié)角初始設(shè)置為 θ0=［-1，1］T，外界干擾設(shè)置為 y=sint。

以第一周期的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)為例，分別使用多策略協(xié)同進化粒子群算法與傳統(tǒng)粒子群算法對模糊邏輯控制器參數(shù)進行優(yōu)化，算法的參數(shù)設(shè)置為：最大迭代次數(shù)tmax=500，粒子規(guī)模設(shè)置為99，學(xué)習(xí)因子c1=1.8、c2=2.2。分別使用多策略協(xié)同進化粒子群算法與基本粒子群算法優(yōu)化模糊控制器參數(shù)，目標(biāo)函數(shù)隨迭代過程的變化曲線，如圖3 所示。

圖3 模糊控制器參數(shù)優(yōu)化過程Fig.3 Parameters Optimizing Process of Fuzzy Controller

從圖3 可以看出，多策略協(xié)同進化算法在搜索最優(yōu)參數(shù)過程中，不僅收斂速度快，而且最優(yōu)收斂值也遠遠優(yōu)于基本粒子群算法，轉(zhuǎn)化到模糊控制問題中，多策略協(xié)同進化算法能夠在較短時間內(nèi)搜索到更優(yōu)參數(shù)，且搜索的參數(shù)可以使用更小的力矩實現(xiàn)更小的跟蹤誤差。算法收斂速度快對于機械臂系統(tǒng)的實時控制具有重要意義。多策略協(xié)同進化粒子群算法之所以優(yōu)于基本算法，是因為多策略進化方法和多子群協(xié)同搜索策略，兼顧了種群的探索能力和開發(fā)能力，既保證了算法的大范圍探索能力，又兼顧了小范圍開發(fā)能力，所以搜索的參數(shù)值優(yōu)于基本粒子群算法，且收斂速度也較快。

使用兩種粒子群算法最終搜索到的第一周期最優(yōu)參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)值，如表2 所示。

表2 算法搜索結(jié)果Tab.2 Algorithm Searching Result

5.2 控制結(jié)果與分析

為了形成對比效果，分別使用智能自適應(yīng)模糊控制器和PID控制器對機械臂進行控制，得到的跟蹤誤差與驅(qū)動力矩曲線，如圖4、圖5 所示。從圖4 可以看出，使用智能自適應(yīng)模糊控制器對關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 產(chǎn)生的軌跡跟蹤誤差明顯小于PID 控制器的控制誤差。經(jīng)統(tǒng)計，使用智能自適應(yīng)模糊控制器對關(guān)節(jié)1 控制的最大跟蹤誤差為2.1×10-4rad，對關(guān)節(jié)2 控制的最大跟蹤誤差為1.9×10-4rad；而使用PID 控制器對關(guān)節(jié)1 的最大跟蹤誤差為7.9×10-4rad，對關(guān)節(jié)2 的最大跟蹤誤差為7.6×10-4rad，是智能自適應(yīng)模糊控制器的4 倍左右。由圖5 可以看出，PID 控制器驅(qū)動力矩波動較大，這是由正弦型外界干擾引起的，而智能自適應(yīng)模糊控制器的波動振幅極小，在應(yīng)對外界干擾時，能夠以小范圍浮動控制力矩實現(xiàn)機械臂控制。經(jīng)統(tǒng)計，關(guān)節(jié)1 的控制力矩中，PID 控制力矩的平均波動幅度為18Nm，智能自適應(yīng)模糊控制力矩平均波動幅度為3Nm；關(guān)節(jié)2 的控制力矩中，PID 控制力矩的平均波動幅度為10Nm，智能自適應(yīng)模糊控制力矩平均波動幅度為1.5Nm，由此可見，智能自適應(yīng)模糊控制器的力矩波動幅度遠遠小于PID 控制器。綜上所述，智能自適應(yīng)模糊控制器能夠以更小的力矩實現(xiàn)更準(zhǔn)確的軌跡跟蹤控制，這是因為智能自適應(yīng)模糊控制器能夠根據(jù)控制誤差和力矩大小實時優(yōu)化模糊控制器，使模糊控制器能夠根據(jù)控制結(jié)果實時改變自身參數(shù)，實現(xiàn)了在任意時刻和任意狀態(tài)下的最優(yōu)控制。

圖4 兩關(guān)節(jié)的跟蹤控制誤差Fig.4 Tracking Control Error of the Two Joints

圖5 兩關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩Fig.5 Driving Torque of the Two Joints

6 結(jié)論

研究了機械臂軌跡跟蹤控制問題，以二階模糊控制器為基礎(chǔ)，設(shè)計了智能自適應(yīng)模糊控制器，實現(xiàn)了以最小力矩得到最小誤差的控制目標(biāo)。

經(jīng)仿真驗證，得到以下結(jié)論：（1）多策略協(xié)同進化粒子群算法通過多策略進化和多種群協(xié)同搜索方式，提高了算法的收斂速度和精度；（2）智能自適應(yīng)模糊控制器能夠根據(jù)控制結(jié)果實時調(diào)整自身參數(shù)，實現(xiàn)了任意時刻的最優(yōu)控制。