淺析《整式的乘除與因式分解》一章

陳江濤

【摘要】整式的乘除與因式分解一章既是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，如何使學(xué)生把握重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲。本人結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及學(xué)生實(shí)際，對(duì)《整式的乘除與因式分解》一章提出自己的見解，希望對(duì)老師的教和學(xué)生的學(xué)有一定的幫助。

【關(guān)鍵詞】整式? 乘除? 因式分解

我們已經(jīng)在初一學(xué)習(xí)了《整式的加減》一章，已經(jīng)對(duì)整式的相關(guān)知識(shí)有了一定的認(rèn)識(shí)和了解，根據(jù)我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律，了解了整式的相關(guān)概念、整式的加減后，進(jìn)而應(yīng)該學(xué)習(xí)整式的乘除?？v觀重慶歷年的中考試題，《整式的乘除與因式分解》一章是歷年重慶中考的重要內(nèi)容，所占比重一直居高不下，而且《整式的乘除與因式分解》一章也是為下一章《分式》及初三上冊(cè)《一元二次方程》的學(xué)習(xí)做好知識(shí)準(zhǔn)備。因此，學(xué)好本章知識(shí)勢(shì)在必行，現(xiàn)本人結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷從以下幾個(gè)方面提出自己的見解和認(rèn)識(shí)。

一、整式的乘除與因式分解的本質(zhì)

數(shù)學(xué)是一門看上去會(huì)，聽起來懂，而做起來下不了手的學(xué)科。這也是很多學(xué)生學(xué)不太好的原因所在，因?yàn)樗麄冎煌Ａ粼谥R(shí)的表面而沒有理解知識(shí)的本質(zhì)，他們總認(rèn)為教材上的知識(shí)過于簡(jiǎn)單從而不把教材上的知識(shí)點(diǎn)當(dāng)一回事。我們都知道教材上所講知識(shí)的確簡(jiǎn)單，但它僅起到一個(gè)“拋磚引玉”的作用，它需要學(xué)生本人和老師對(duì)其進(jìn)行再加工、再挖掘和再整合，因此，當(dāng)我們對(duì)知識(shí)的本質(zhì)吃透后，我們的學(xué)習(xí)就變得事半功倍了。

整式的乘除勢(shì)必與整式和乘除的知識(shí)密切相關(guān)，我們知道：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式，加之我們已經(jīng)了解了乘方的概念，不難發(fā)現(xiàn)整式的乘除的本質(zhì)是乘方的意義及乘法的分配律和結(jié)合律。即an表示n個(gè)a相乘，在乘方的基礎(chǔ)上得出了同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n（m，n為正整數(shù)），冪的乘方（am）n=amn（m，n為正整數(shù)），積的乘方（ab）n=an·bn（n為正整數(shù)）。結(jié)合乘法分配律、結(jié)合律和乘除法互為逆運(yùn)算得到了平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n（m，n為正整數(shù)，a≠0）等等。

由于因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，因此因式分解的本質(zhì)是單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式和完全平方公式的逆運(yùn)算。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是知識(shí)的學(xué)習(xí)，也是方法的學(xué)習(xí)。本章知識(shí)涉及多種數(shù)學(xué)思想方法，如類比思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等。 從幾何的角度說明了平方差公式和完全平方公式的正確性，為我們以后的學(xué)習(xí)打開了一扇窗——從多種角度來分析同一事實(shí)，體現(xiàn)了知識(shí)的統(tǒng)一性。另一方面，讓學(xué)生形成動(dòng)手動(dòng)腦的能力，讓他們?cè)趧?dòng)手的過程中體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣！

二、對(duì)本章學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)建議

（一）知識(shí)的辨析與記憶要準(zhǔn)確

本章知識(shí)點(diǎn)較多，公式法則較容易混淆。但縱觀本章，基本一小節(jié)只有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因此同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，務(wù)必要記清楚各公式法則中的內(nèi)在聯(lián)系，這對(duì)于初學(xué)者而言，的確較容易混淆，這就要求執(zhí)教者在教學(xué)中要不斷的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的辨析和記憶。另一方面要不斷的進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，不斷強(qiáng)化，長(zhǎng)此以往，相信學(xué)生能較好的掌握本章各知識(shí)點(diǎn)了。同時(shí)需要執(zhí)教者教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，如果不能記清公式或法則，也不必恐慌，回想老師在上課時(shí)如何進(jìn)行推導(dǎo)的，在必要時(shí)，可利用所學(xué)知識(shí)重新進(jìn)行演算。以下內(nèi)容為本章必記知識(shí)點(diǎn)：同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n（m，n為正整數(shù)）

冪的乘方：（am）n=amn（m，n為正整數(shù)）

積的乘方：（ab）n=an·bn（n為正整數(shù)）

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：p（a+b+c）=pa+pb+pc

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：（a+b）（m+n）=am+bn+bm+bn

同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n（a≠0，m，n為正整數(shù)，并且m>n）

非零數(shù)的零次冪：a0=1（a≠0）

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

完全平方公式：

以及? ? ? 等等常見公式。

（二）公式法則的順逆用要靈活自如。我們知道，語文中的古詩詞填空的題目中，題目給出了上句，學(xué)生是較容易填出下句的，但如果題目中給出的是下一句，則較不容易回答上一句了，要解決這一問題，需要我們能背誦整首詩了，同樣的道理，對(duì)于數(shù)學(xué)而言，對(duì)于公式法則的順用，很多同學(xué)問題不大，但對(duì)于公式法則的逆用，不少同學(xué)還是存在一定的問題的，有一定的難度。這就要求執(zhí)教者在教學(xué)過程中要有意識(shí)無意識(shí)的去滲透、去拓展、去延伸、去強(qiáng)化了。另一方面，學(xué)生也可以記清順用公式法則，再根據(jù)等式左邊等于右邊，反過來右邊也等于左邊來處理，當(dāng)然整個(gè)過程中，需要學(xué)生要對(duì)公式法則比較熟稔，對(duì)公式的本質(zhì)要有較好的認(rèn)識(shí)，只有這樣學(xué)生在做題時(shí)才會(huì)游刃有余，學(xué)生的思路才更開闊。

（三）理解公式時(shí)，不僅要理解公式的本質(zhì)，還要理解其內(nèi)涵及外延。理解公式時(shí)，不僅只看公式本身，而且要理解公式的本質(zhì)屬性。如以上公式中，公式中的字母可以表示一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。我們不僅重視公式的形式，更要重視公式的內(nèi)容。因此，理解公式時(shí)，要注意公式的“形”，套用公式的形式;也要注意公式的“義”，展現(xiàn)公式的延伸。

另一方面，注重公式的內(nèi)涵及外延。任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)的知識(shí)均是由最基本的知識(shí)結(jié)構(gòu)架構(gòu)而成，所有的新知無非是在舊知的基礎(chǔ)上逐步演變而來，如本章內(nèi)容的（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac是在完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中把b看成b+c而得。再比如完美展現(xiàn)a+b，a-b及ab的，（a+b）2=（a-b）2+4ab是由完全平方和和完全平方差公式根據(jù)變形整理而得，只要掌握了一些基本公式，我們就有了一些知識(shí)儲(chǔ)備，就能更好的運(yùn)用知識(shí)解決問題了。

三、勤動(dòng)手，多動(dòng)腦?？朔冯y情緒，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心和決心。

誠(chéng)如偉大領(lǐng)袖毛主席所說：時(shí)間是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而言，再多再豐富的理論知識(shí)，最后都得學(xué)生將這些知識(shí)內(nèi)化于胸，外化于形，需要他們將知識(shí)消化吸收于大腦中，血液里。而據(jù)科學(xué)研究表明，實(shí)驗(yàn)和動(dòng)手就是最好的學(xué)習(xí)方式，因此要求我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，要勤動(dòng)手，多動(dòng)腦，積極思考與探索，努力克服困難，避免畏難情緒的產(chǎn)生。

學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)從易到難的過程，當(dāng)我們?cè)趯W(xué)習(xí)之路上，通過自己的努力或智慧，解決了別人所不能解決的問題時(shí)，我們會(huì)情不自禁的升起自豪感，這種自豪感會(huì)增加我們繼續(xù)學(xué)習(xí)、繼續(xù)努力的信心和決心。

參考文獻(xiàn)：

[1] 人教版八年級(jí)上冊(cè)第十四章《整式的乘除與因式分解》。

[2] 網(wǎng)絡(luò)資料截圖（公開課課件）。