素數(shù)個數(shù)公式

◎安華杰 安福臻 （．河北省吳橋縣何莊鄉(xiāng)大魏中學(xué)，河北 滄州 06800；．河北省吳橋縣人民醫(yī)院，河北 滄州 06800）

一、預(yù)備定理

Pi表示素數(shù)，i 為自然數(shù)，P1是偶素數(shù)2，P2是奇素數(shù)3，P3是奇素數(shù)5，P4是奇素數(shù)7，P5是奇素數(shù)11……

定理1：在自然數(shù)中，按素數(shù)順序，到削去Pi的各倍數(shù)時，削去的第一個數(shù)是

證明：Pi的各倍數(shù)是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi，6Pi，7Pi，8Pi，9Pi，10Pi，11Pi，12Pi，13Pi，14Pi，15Pi……（Pi-1）Pi，（Pi＋1）Pi……

推論：在自然數(shù)中，削去Pi的各倍數(shù)后，前未被削去的數(shù)都是奇素數(shù)（1，2 除外）．

定理2：削去Pi的各倍數(shù)，到自然數(shù)N（N≥）削去數(shù)的個數(shù)等于Pi至除以Pi除不盡時，其商取只舍不入的整數(shù)值）未被Pi-1削去數(shù)的個數(shù)．

證明：因為不按素數(shù)順序先削去Pi的各倍數(shù)時，到N削去的最后一個數(shù)是Pi的m 倍除以Pi除不盡時，其商取只舍不入的整數(shù)值)，所以不按素數(shù)順序先削去Pi的各倍數(shù)是：2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi，，（Pi＋1）Pi……（m-1）Pi，mPi．

因為按素數(shù)順序，到削去Pi的各倍數(shù)時，削去的第一個數(shù)是

所以按素數(shù)順序削去Pi至Pi-1的各倍數(shù)后，以前的各數(shù)2Pi，3Pi，4Pi，5Pi……（Pi-1）Pi都已被削去了．

所以削去P1至Pi-1各倍數(shù)后，在Pi，Pi＋1，Pi＋2，Pi＋3……（m-3），（m-2），（m-1），m 這一列連續(xù)的自然數(shù)中，凡不是被削去的數(shù)，它們和Pi的各積到削去Pi的各倍數(shù)時才能被削去．

因此，削去Pi的各倍數(shù)時，到自然數(shù)N（N≥）削去數(shù)的個數(shù)等于Pi至除以Pi除不盡時，其商取只舍不入的整數(shù)值）未被Pi-1削去數(shù)的個數(shù)．

二、素數(shù)個數(shù)公式

1．素數(shù)個數(shù)準(zhǔn)確公式：

2.缺乏高素質(zhì)的管理人員和技術(shù)人員。在煤炭企業(yè)健康發(fā)展的過程中，一線員工發(fā)揮了重要作用，是不可或缺的組成部分。但是由于煤炭行業(yè)工作環(huán)境較為艱苦，而且人才引進(jìn)機(jī)制不完善，導(dǎo)致企業(yè)難以引進(jìn)高素質(zhì)技術(shù)人才，基層員工在技術(shù)與綜合素質(zhì)方面還有待提升。在此大環(huán)境下，雖然煤炭企業(yè)已經(jīng)著手加大人才引進(jìn)力度，但在培訓(xùn)工作方面開展的并不順利，造成煤炭企業(yè)技術(shù)人員與管理人員雖然能夠勝任崗位，但是還不夠優(yōu)秀，對于工作中遇到的難題不能第一時間進(jìn)行解決，在某種程度上限制了煤炭企業(yè)的正常運(yùn)行，不利于煤炭企業(yè)的全面、健康發(fā)展。

在1，2，3，4，5……N 一列自然數(shù)中削去2 的各倍數(shù)時，削去了2 除外的各偶數(shù)，所以削去2 的各倍數(shù)后到N 未被削去數(shù)（1 除外）的個數(shù)為奇數(shù)時，其商取只入不舍的整數(shù)值）．削去3 的各倍數(shù)時，到N 削去數(shù)的個數(shù)＝3 至未被2 削去數(shù)的個數(shù)．削去5 的各倍數(shù)時，到N 削去數(shù)的個數(shù)＝5 至未被3 削去數(shù)的個數(shù)……一般地，削去Pi的各倍數(shù)時，到N 削去數(shù)的個數(shù)＝Pi至未被Pi-1削去數(shù)的個數(shù)．Pi至未被Pi-1削去數(shù)的個數(shù)表示為商，簡記為時，削去Pi的各倍數(shù)后到N 的素數(shù)個數(shù)用Pi（N）表示，則素數(shù)個數(shù)準(zhǔn)確公式為：

練習(xí)：利用素數(shù)個數(shù)準(zhǔn)確公式求下列各偶數(shù)以內(nèi)素數(shù)的個數(shù)．

討論：對于這個公式有必要進(jìn)行討論，一方面討論它的純粹性，另一方面討論它的完備性．

純粹性：在1 至N 一列自然數(shù)中削去各素數(shù)的各倍數(shù)時，“1”總不被削去．因為“1”不是素數(shù)，所以要在公式里減去1．完備性：在1 至N 一列自然數(shù)中削去各素數(shù)的各倍數(shù)時，2 作為素數(shù)2 的一倍數(shù)被削去，3 作為素數(shù)3 的一倍數(shù)被削去，5 作為素數(shù)5 的一倍數(shù)被削去，…，Pi作為素數(shù)Pi的一倍數(shù)被削去，所以要在公式里加上i．

練習(xí)：利用素數(shù)個數(shù)近似公式求下列各偶數(shù)以內(nèi)素數(shù)的個數(shù)．

（1）10 （2）100 （3）210 （4）500 （5）1000

所以在1 至10 一列自然數(shù)中素數(shù)的個數(shù)

答：10 以內(nèi)有素數(shù)4 個（和準(zhǔn)確值相等）．

所以在1 到100 一列自然數(shù)中素數(shù)的個數(shù)

答：100 以內(nèi)有素數(shù)25 個（和準(zhǔn)確值相等）．

所以在1 到210 一列自然數(shù)中素數(shù)的個數(shù)

答：210 以內(nèi)有素數(shù)45 個（和準(zhǔn)確值相等）．

所以在1 到500 一列自然數(shù)中素數(shù)的個數(shù)

答：500 以內(nèi)有素數(shù)92 個（比準(zhǔn)確值95 少3 個）．

所以在1 到1000 一列自然數(shù)中素數(shù)的個數(shù)

答：1000 以內(nèi)有素數(shù)162 個（比準(zhǔn)確值168 少6 個）．

在計算以上各近似值的過程中，計算器上有幾位小數(shù)就取幾位小數(shù)，最后結(jié)果取只舍不入的整數(shù)值．