基于APOS 理論的指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

◎陳 麗 （貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

一、APOS 理論的概念

APOS 理論是由美國的杜賓斯等人在數(shù)學(xué)教育與研究實(shí)踐中發(fā)展起來的．杜賓斯等人認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，需要經(jīng)歷四個(gè)心理建構(gòu)過程，依次是操作、過程、對(duì)象、概型．［1］APOS 理論的四個(gè)階段，每一個(gè)階段對(duì)學(xué)生概念的獲得都具有不同的意義，因此在運(yùn)用APOS 理論時(shí)不可逾越．APOS 理論最初僅用于大學(xué)數(shù)學(xué)教育，現(xiàn)在在小學(xué)和中學(xué)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中也得到了越來越廣泛的應(yīng)用．

二、基于APOS 理論的指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)要求是“通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念［2］”．學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念時(shí)常出現(xiàn)對(duì)指數(shù)函數(shù)的定義、符號(hào)、底數(shù)的限制條件不理解，以及對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，從而會(huì)在心理上對(duì)指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸和厭學(xué)等情況．［3］因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要注意學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知發(fā)展方向，結(jié)合實(shí)際生活的需要講解指數(shù)函數(shù)的知識(shí)．在教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)以學(xué)生為主體，讓學(xué)生主動(dòng)探究、理解和掌握指數(shù)函數(shù)的概念．結(jié)合杜賓斯等人提出的APOS 理論，在指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一節(jié)中，“操作”階段（Action）是學(xué)生通過操作來感知事物，理解所學(xué)習(xí)內(nèi)容的意義．學(xué)生通過操作，對(duì)指數(shù)函數(shù)會(huì)有一定的感性認(rèn)識(shí)，理解指數(shù)函數(shù)的意義．在這一階段，教師要向?qū)W生提供符合指數(shù)函數(shù)的概念學(xué)習(xí)的材料或者情景動(dòng)畫，設(shè)計(jì)適合學(xué)生探究指數(shù)函數(shù)概念的數(shù)學(xué)活動(dòng)，為歸納、概括指數(shù)函數(shù)的概念提供固著點(diǎn)．“過程”階段（Process）是學(xué)生把“操作”階段中的操作感受進(jìn)一步內(nèi)化壓縮的過程．學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的思考、分析、比較、抽象，得到指數(shù)函數(shù)的概念．在這一階段，教師要適當(dāng)?shù)乩脝栴}驅(qū)動(dòng)啟發(fā)學(xué)生思考，對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念進(jìn)行辨析，并用嚴(yán)謹(jǐn)和符合邏輯的數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地表述出指數(shù)函數(shù)的定義、符號(hào)及指數(shù)函數(shù)的定義域．［4］“對(duì)象”階段（Object）是對(duì)“過程”階段的進(jìn)一步提升，讓指數(shù)函數(shù)成為一個(gè)具體的對(duì)象．在這一階段，教師應(yīng)謹(jǐn)慎引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作、觀察和分析、總結(jié)中得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解逐漸上升到“概型”階段．到了“概型”階段（Scheme），在學(xué)生的頭腦中指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)將以一種綜合的圖式呈現(xiàn)，并在學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占據(jù)獨(dú)特的位置．［5］在這一階段，學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念有較為完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或認(rèn)知框架．在“概型”階段，教師可利用例題，讓學(xué)生通過練習(xí)豐富對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生形成指數(shù)函數(shù)概念的圖式．

APOS 理論反映的是由特殊的實(shí)例或者情境到一般的數(shù)學(xué)概念的過程．APOS 理論下的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是讓學(xué)生勇于探索未知的領(lǐng)域，讓學(xué)生在思考、探究、合作的模式中經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過程，最終得到數(shù)學(xué)概念．它體現(xiàn)了課程改革中對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的精神要求．APOS 理論的提出在一定程度上使傳統(tǒng)的“填鴨式”教學(xué)的現(xiàn)狀有所改變．

三、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的相關(guān)分析

1．教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A 版數(shù)學(xué)必修1．

2．教材分析

指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一．指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)的研究是對(duì)函數(shù)的概念與性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容的深化，也為學(xué)生接下來學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容提供了知識(shí)基礎(chǔ)．指數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，但是在教材中對(duì)指數(shù)函數(shù)定義的介紹相對(duì)簡單．

3．學(xué)情分析

知識(shí)儲(chǔ)備方面：學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之前，在初中階段對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)，有一次函數(shù)、二次函數(shù)學(xué)習(xí)的直接經(jīng)驗(yàn)和在必修1 中對(duì)函數(shù)的概念和性質(zhì)的深入學(xué)習(xí)，已經(jīng)經(jīng)歷了高中關(guān)于函數(shù)概念的研究流程，熟悉了研究框架，對(duì)指數(shù)取值范圍的擴(kuò)充也有一定的了解；能力方面：學(xué)生具有一定的合作交流、活動(dòng)探究、反思質(zhì)疑的能力，有一定的猜想、推理和歸納的能力．

4．教學(xué)目標(biāo)

（1）理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖像，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)運(yùn)用．

（2）了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系．

（3）在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的過程中體會(huì)研究函數(shù)的一般流程和方法．

5．教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

難點(diǎn)：推導(dǎo)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．

四、基于APOS 理論的指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1．“操作”階段（Action）——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，探索概念

引例1：通過動(dòng)畫演示引入，《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”［6］

問題1：

（1）在第x 次取后，寫出木棍的剩留量y 與x 的關(guān)系式．

（2）這個(gè)變化過程中，如何用x 來表示y 呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過動(dòng)畫演示引入，幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中分析得到指數(shù)函數(shù)模型．學(xué)生由每一次取了之后剩下的量和次數(shù)的關(guān)系歸納總結(jié)，不難發(fā)現(xiàn)第x 次取時(shí)剩下的量y與x 的關(guān)系式為學(xué)生在操作中切實(shí)體會(huì)變量之間的關(guān)系，建立對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念的理解．

引例2：一位富翁對(duì)他的兒子說：“我會(huì)直接給你10 萬元，但你須要承擔(dān)一定的任務(wù)：從今天開始，第一天給我2元，第二天給我4 元，第三天給我8 元，第四天給我16 元．依此類推，假設(shè)我想簽訂一個(gè)15 天的合同，你同意嗎？ 假設(shè)我要和你簽訂一個(gè)30 天的合同，你簽嗎？ 在第x 天你應(yīng)給我多少元錢？”

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在引例中發(fā)現(xiàn)問題，思考給出的錢y和時(shí)間x 的數(shù)量關(guān)系，通過歸納得出第x 天需要給出的錢y與x 的關(guān)系式為y＝2x（x∈N）．在討論交流、歸納、抽象共性的情況下，學(xué)生將經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的過程，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是現(xiàn)實(shí)生活中的一種有效的數(shù)學(xué)模型．

2．“過程”階段（Process）——梳理特征，概括概念

問題2：在上面的兩個(gè)引例中得到了兩個(gè)關(guān)系式y(tǒng) ＝2x它們是不是函數(shù)表達(dá)式？

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表達(dá)式，通過分析引例1 中得到的表達(dá)式和引例2 中得到的表達(dá)式y(tǒng)＝2x（x∈N），結(jié)合函數(shù)的定義思考，學(xué)生很容易得出結(jié)論．

問題3：這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式有什么共同特征？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過觀察分析這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，從整體上體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)的一般特征．

學(xué)生活動(dòng)：這個(gè)函數(shù)是我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生不斷比較這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)表達(dá)式，很容易得出：這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)表達(dá)式不同．［7］

學(xué)生活動(dòng)：寫出這個(gè)新函數(shù)的一般表達(dá)式．

問題4：請(qǐng)同學(xué)們發(fā)揮自己的想象力，聯(lián)系這個(gè)新函數(shù)的特征，給它取一個(gè)合適的名字．

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生發(fā)揮想象力，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)的名稱，經(jīng)歷給函數(shù)取名的過程，降低學(xué)生對(duì)新知識(shí)的陌生程度，從而輕松得到指數(shù)函數(shù)的定義．

問題5：指數(shù)函數(shù)y＝ax中的底數(shù)a 取任何數(shù)都可以嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)底數(shù)a 的討論分為三個(gè)部分進(jìn)行：

（1）若a＜0 會(huì)有什么問題？

（2）若a＝0 會(huì)有什么問題？

（3）若a＝1 又會(huì)怎么樣？

學(xué)生活動(dòng)：小組討論．

（2）若a＝0，x＞0 時(shí)，ax＝0；x≤0 時(shí)，ax無意義．

（3）若a＝1，ax＝1x＝1 是常量，沒有研究的必要．

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生取特殊值討論每種情況，體會(huì)為什么要規(guī)定a＞0 且a≠1，理解底數(shù)的取值屬于特殊的規(guī)定，深刻理解指數(shù)函數(shù)的定義，并為接下來學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ)．

問題6：指數(shù)函數(shù)y＝ax中，x∈R 都有意義嗎？

指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y ＝ax（a＞0 且a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)镽．

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在交流討論歸納出共同特征的基礎(chǔ)上，深入分析指數(shù)函數(shù)的概念中的底數(shù)a，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x 取正數(shù)、負(fù)數(shù)或0 時(shí)都有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，總結(jié)概括出指數(shù)函數(shù)的具體概念，將指數(shù)函數(shù)看成一個(gè)獨(dú)立的整體進(jìn)行研究．

3． “對(duì)象”階段（Object）——辨析特征，鞏固概念

例1結(jié)合指數(shù)函數(shù)的定義，判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)．

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的定義解決問題，區(qū)別指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的不同，深入理解指數(shù)函數(shù)的概念．［8］

學(xué)生活動(dòng)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)探究．

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過作圖探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，鞏固畫函數(shù)圖像的步驟及方法，引導(dǎo)學(xué)生從具體的函數(shù)圖像出發(fā)，觀察歸納對(duì)底數(shù)的分類討論的思維方式，讓學(xué)生從整體上強(qiáng)化對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖像的認(rèn)識(shí)．

4．“概型”階段（Scheme）——練習(xí)鞏固，形成結(jié)構(gòu)

例2已知指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0 且a≠1）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，π），求f（0）， f（1）， f（-3）的值．

例3比較下列各題中的兩個(gè)值的大?。?/p>

（1）1．72．5，1．73（2）0．8-0．1，0．8-0．2

（3）1．73，0．93

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中逐漸完善指數(shù)函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)的綜合圖式．

五、教學(xué)建議

在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，通過兩個(gè)引例，讓學(xué)生經(jīng)歷“操作”階段，理解指數(shù)函數(shù)的意義；再經(jīng)歷“過程”階段，將第一階段的操作過程綜合，得到對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念的初步認(rèn)識(shí)，辨析底數(shù)a 的取值，得到指數(shù)函數(shù)的概念；在“對(duì)象”階段，將指數(shù)函數(shù)看成一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象，探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；最后在“概型”階段，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，引導(dǎo)學(xué)生將指數(shù)函數(shù)模型運(yùn)用到實(shí)際生活中．

APOS 理論的四個(gè)階段是循序漸進(jìn)的過程，每個(gè)階段對(duì)學(xué)生概念的獲得都具有不同的意義．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)體系是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸建構(gòu)起來的，因此教師在教學(xué)中要聯(lián)系學(xué)生已有的知識(shí)，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念．