自助法的改進及在結構參數(shù)不確定性量化和傳遞分析中的應用

駱勇鵬 劉景良 韓建平

摘要： 參數(shù)不確定性量化及傳遞分析常需假定參數(shù)的總體分布，概率分布的選取對分析結果有較大影響。自助法無需進行分布假設即可對總體的分布特性進行統(tǒng)計推斷，可在一定程度解決以上問題，但是在小樣本情況下容易導致計算結果偏離真實分布。為此，采用信息擴散理論對自助法進行改進，結合響應面理論，提出新的參數(shù)不確定性量化及傳遞分析方法。該方法首先對各個Bootstrap子樣本的概率密度函數(shù)進行信息擴散估計，采用接受-拒絕法生成大量改進Bootstrap子樣本，計算不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計特征值。其次，根據(jù)不確定性量化結果，基于響應面模型，快速計算結構響應的變化區(qū)間，根據(jù)所定義的區(qū)間靈敏度指標來判斷參數(shù)不確定性對結構響應的影響程度，量化響應的不確定性。最后，通過一斜拉橋的參數(shù)不確定性量化及傳遞分析，驗證了所提方法的可行性及可靠性。

關鍵詞： 不確定性量化和傳遞; 斜拉橋; 改進自助法; 響應面模型; 有限樣本; 信息擴散

中圖分類號： TU311.4; U448.27 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2020）04-0679-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.005

引 言

土木工程結構的材料屬性、制造誤差、幾何特征、荷載、邊界條件及服役環(huán)境等均存在不確定性[1]。采用確定性模型與確定性方法進行分析，將無法正確有效地估計和量化結構參數(shù)不確定性對結構響應的影響，難以對結構的實際力學特性進行準確地分析與判斷。因此，如何有效地量化參數(shù)不確定性及其對結構響應的影響，對于工程結構的分析、設計和優(yōu)化等具有重要指導意義[2]。

目前常用的不確定性分析方法主要有區(qū)間分析、模糊理論和概率理論，即可采用區(qū)間參數(shù)、模糊參數(shù)和隨機參數(shù)來描述參數(shù)不確定性問題。概率分析方法是三種方法中最為常用方法，而Monte Carlo法又是概率分析方法中應用較為廣泛的。該方法根據(jù)參數(shù)的概率密度函數(shù)進行隨機抽樣，通過多次有限元模型計算得到輸出響應的統(tǒng)計參數(shù)[3-5]。目前該方法存在的主要困難在于如何準確描述試驗參數(shù)和響應特征的概率統(tǒng)計分布規(guī)律。而不確定性源的描述方式直接影響不確定性分析結果的準確性與真實性[6]，概率模型參數(shù)的小偏差也可能引起結構分析結果出現(xiàn)較大誤差[7]。當試驗樣本個數(shù)較多時，可用K-S檢驗等方法來估計不確定性參數(shù)的概率分布[8]。但是，實際工程中往往難以提供足夠的實測數(shù)據(jù)，只能基于某種假設進行。當假設的概率分布與實際分布不符時，將導致較大誤差。也有學者提出區(qū)間分析可用于參數(shù)概率分布未知的情況，但需要指出的是區(qū)間分析無法提供輸入引起輸出的詳細信息和概率特性[9]，得出的不確定分析結果過于籠統(tǒng)，不能夠有效地指導工程實踐。因此需要一種能夠充分利用統(tǒng)計信息，又避免因信息過少而造成量化失真的不確定分析方法[10]。

自助法（Bootstrap抽樣）[11]運用模擬再抽樣技術代替理論分析，基于有限的試驗觀測數(shù)據(jù)模擬，再抽樣出大量符合原數(shù)據(jù)特征的模擬樣本，提供足夠的樣本進行概率統(tǒng)計分析，避免對概率分布函數(shù)假定的依賴，適用于小樣本不確定性參數(shù)量化。但是，研究發(fā)現(xiàn)自助法在每次重抽樣過程中均是從原始樣本中抽取，當原始樣本容量較小時，再抽樣得到的Bootstrap子樣本可能非常相似于原樣本，導致計算結果偏離真實分布[12]。為此，劉健等[13]通過對自助樣本生成范圍的拓展，在一定程度上克服了自助樣本生成范圍受限的不足。胡正東等[14]提出了利用驗前信息來彌補原始樣本不足的改進自助法。黃瑋等[15]研究了用指數(shù)分布函數(shù)、Boltzmann函數(shù)和三次多項式函數(shù)擬合修正樣本經(jīng)驗分布函數(shù)的可行性。Yu 等[16]綜合了無模型抽樣和自助法的優(yōu)勢，提出改進的Bootstrap抽樣方法。

本文引入信息擴散理論對Bootstrap抽樣進行改進，通過將單值樣本轉換成概率形式表達的模糊集值樣本，進而對非完備樣本信息進行有效處理，在一定程度上解決原始樣本限制的問題。其次在改進自助抽樣的基礎上，提出新的不確定性參數(shù)量化及傳遞分析方法，探討參數(shù)不確定性對結構動力響應的影響程度。以數(shù)值算例和斜拉橋動力響應不確定性分析為例，驗證所提方法的可行性及可靠性。

通過比較各個參數(shù)的靈敏度因子的大小判斷各個參數(shù)變異對結構動力響應不確定性的影響程度。

隨后，將靈敏度因子較高的不確定性參數(shù)的B組改進Bootstrap子樣本代入ACE響應面中，靈敏度因子較低的參數(shù)取均值，計算B組改進Bootstrap子樣本所對應的B組動力響應，進而獲得B組響應的統(tǒng)計特征值，如均值和標準差。用這B個統(tǒng)計量的分布去模擬結構響應均值和標準差的分布，從而得到響應概率統(tǒng)計特征值的抽樣分布及分布參數(shù)，達到估計多個參數(shù)變異對結構動力響應變化的影響以及因隨機抽樣產(chǎn)生的結構響應概率統(tǒng)計特征的估計誤差。

2 數(shù)值算例

為了考察改進Bootstrap抽樣算法的可行性及可靠性，利用一組來自已知總體的觀測樣本估計總體的分布參數(shù)。已知原始樣本X=[1.1124， 0.3679， -1.6876， -0.8223， -0.9069， -1.5200， 1.6908， -3.0461， -0.3754， -0.3704， -0.1325， 0.6321， -0.1546， 0.3655， 0.3436， 0.7355， 1.1339， -0.3106， 1.2065， -0.3256]是來自標準正態(tài)總體N（0，1）的獨立隨機觀測樣本，樣本個數(shù)n=20。

分別采用自助法、正態(tài)信息擴散及改進自助法3種方法對該組樣本的均值和標準差進行估計。表1給出了幾種方法估計的均值和標準差。從表1可知：直接根據(jù)小樣本數(shù)據(jù)得到的估計結果與實際結果誤差較大，基于自助法和信息擴散的估計結果有所改善，而本文所提的改進自助法估計的均值與標準差最接近實際值。由此可得改進的Bootstrap法在小樣本數(shù)據(jù)的情況下總體分布參數(shù)的估計精度高于自助法和信息擴散理論。

（3）抽樣隨機性對結構響應統(tǒng)計特征值有一定的影響，在不確定性分析中應予以量化。

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Abstract： The population distributions of the measured data or parameters are usually assumed during uncertainty analysis in structure parameter uncertainty quantification and propagation. In fact， the different probability distributions can bring different uncertain results， which will have impact on judgments of the structure. The overall distribution characteristics can be statistically inferred without the assumption of distribution based on Bootstrap method. However， this method limits the generating range of the self-help sample， which causes the self-help sample being similar to the original sample， and the non-self-help probability distribution disagreeing with the genuine distribution. Therefore， a new method for structure parameter uncertainty quantification and propagation based on improved Bootstrap method and response surface model （RSM） is proposed. Firstly， the information diffuse theory is introduced to estimate the probability density function of the limited measured data， which can be regarded as a surrogate function of the empirical distribution function and used to establish random samples. Secondly， the random samples of uncertain parameters are put into the RSM to calculate the response. A new sensitivity index is defined to judge the influence of the uncertainty parameters on the response. Finally， the dynamic characteristic uncertainty analysis of a cable-stayed bridge is presented to investigate the feasibility and effectiveness of the proposed method.

Key words： uncertainty quantification and propagation; cable-stayed bridge; improved Bootstrap method; response surface model; limited data; information diffuse