S3中等參曲面的兩個(gè)特征

方建波,梁 林

(1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州貴陽 550025)

(2.楚雄師范學(xué)院人事處,云南楚雄 675000)

1 引言

等參超曲面是高維微分幾何中非常重要的研究對(duì)象,在三維空間稱為等參曲面,這些曲面是一些平行曲面族.最簡單的情況,就是一個(gè)點(diǎn)波源誘發(fā)的球面波,波前就是同心球面族;然后是一個(gè)線波源,誘發(fā)的同軸柱面族;或者是一個(gè)面波源誘導(dǎo)的平行平面族.在三維歐氏空間R3中,平行曲面之間的性質(zhì)研究已出現(xiàn)在相關(guān)文獻(xiàn)中,參見文獻(xiàn)[1].在三維雙曲空間H3中,平行曲面族的相關(guān)特征可參看文獻(xiàn)[2,3].自然的想法是,在三維球空間中,平行曲面族之間又有些什么樣的特征?本文將給出一個(gè)初步的探討.

2 S3中的平行曲面的曲率

設(shè)x:M2→S3(c)為三維球空間中的曲面,ei是x的局部單位切標(biāo)架,ωi為其對(duì)偶標(biāo)架,e3為x的單位法向量,做M的平行曲面族{Mt}為

為方便起見,我們約束指標(biāo)范圍1≤i,j≤2.對(duì)于x而言,有

其中hij為M的第二基本形式的系數(shù).對(duì)(2.1)外微分并利用(2.2)可得

即{ei}也是TxtMt的標(biāo)準(zhǔn)基,其對(duì)偶基為

而

為xt的單位法向量.一方面,

另一方面,

比較(2.6)和(2.7)式可得

引理2.1S3中的平行曲面Mt的主曲率為

其中θi由 cotθi=λi確定.

證由(2.8)式,令hij=λiδij可得

為便于主要定理的證明,我們需要下面的引理.

引理2.2設(shè)x:M2→S3(c)是三維球面上的光滑曲面,λ1,λ2是曲面上的兩個(gè)主曲率,則

(1)兩個(gè)主曲率λ1,λ2是曲面上的連續(xù)函數(shù);

(2)兩個(gè)主曲率λ1,λ2是曲面上在非臍點(diǎn)處的光滑函數(shù).

證 現(xiàn)取曲面x的局部參數(shù)化(U,u,v)∈M2,x:U→S3,x=x(u,v)∈S3.它的誘導(dǎo)度量和第二基本形式局部上分別表示為

由于曲面的光滑性,因此度量張量的系數(shù){g11,g12,g22}和第二基本形式的系數(shù){h11,h12,h22}都是曲面x上關(guān)于參數(shù)u,v的光滑函數(shù).這樣矩陣

是兩個(gè)光滑矩陣.既然A是正定矩陣,那么C=BA?1是一個(gè)光滑矩陣.由于曲面上的高斯曲率K和平均曲率H可以表達(dá)為這樣曲面上的高斯曲率K和平均曲率H都是曲面上的光滑函數(shù),即是參數(shù)u,v的光滑函數(shù).

現(xiàn)設(shè)λ1,λ2是曲面上的兩個(gè)主曲率,則λ1+λ2=2H,λ1λ2=K,從而有

3 主要結(jié)論及證明

定理3.1M有常主曲率的充要條件是只是t的函數(shù)(k=1,2,3).

證必要性是顯然的.故只需證明充分性即可,先證明結(jié)論對(duì)k=3時(shí)成立.設(shè)

對(duì)(3.1)式關(guān)于t求導(dǎo),得

在(3.1)和(3.2)式中令t=0,從而得

由(3.3)和(3.5)式得

再由(3.4)和(3.6)式可得

上面的cp,p=1,2,···,6為常數(shù).

由引理2.2知,M上的主曲率λi是局部坐標(biāo)u,v的函數(shù),因此在(3.3)和(3.4)式中分別對(duì)u,v求偏導(dǎo)數(shù)可得

當(dāng)

時(shí),λi為常數(shù).

同理,對(duì)(3.3)和(3.7)式做類似于(3.9)和(3.10)式的討論可知,當(dāng)

時(shí),λi為常數(shù).

微分(3.13)式可得方程組

下證k=2的情形.令

對(duì)(3.15)式兩邊關(guān)于t求二階導(dǎo)數(shù)得

在(3.15)和(3.16)式中令t=0得

這里c7,c8為常數(shù).由可知是常數(shù),從而λ1和λ2是常數(shù).k=1的情形類似于k=2,此處不再贅述.

定理3.2設(shè)且則M具有常主曲率的充要條件是每個(gè)Mt有常值的高斯曲率.

證必要性是顯然的,下證充分性即可.令G(t)=λ1(t)λ2(t),為Mt的高斯曲率,因?yàn)棣?λ260,所以當(dāng)|t|充分小時(shí),由引理2.1可知G(t)60.作函數(shù)

上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得

在(3.19)和(3.20)式中令t=0得

這里c9,c10是常數(shù),對(duì)(3.21)式做類似于(3.9)和(3.10)式的討論可知,在的條件下,λ1,λ2是常數(shù),證畢.