完整Coriolis力與弱地形作用下的非齊次mKdV-Burgers方程

周蘭鎖,欒金鳳,尹曉軍,那仁滿都拉

(1.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010018)

(2.內(nèi)蒙古體育職業(yè)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

地球旋轉(zhuǎn)對(duì)地球流體中波的產(chǎn)生有及其重要的作用,其中在大氣海洋領(lǐng)域中它的作用也是顯而易見(jiàn).Rossby波同樣與地球旋轉(zhuǎn)是密不可分.國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同角度出發(fā)對(duì)Rossby波的特性進(jìn)行研究[1?5].大氣千變?nèi)f化,大氣運(yùn)動(dòng)可以被一系列基本原始方程所描述,如有連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程、能量方程.自從Long開(kāi)創(chuàng)性用KdV方程來(lái)描述較為理想狀態(tài)正壓流體中的Rossby波的振幅演變規(guī)律后[6].許多學(xué)者分析誘導(dǎo)與加強(qiáng)大氣運(yùn)動(dòng)中Rossby波會(huì)受到beta效應(yīng)、地形強(qiáng)迫、耗散和外源、基本流的切變效應(yīng)、地形緩變效應(yīng)以及行星波與天氣波的相互作用等因素的影響[7?9].其中在分析Rossby波振幅特性的過(guò)程中,通常從準(zhǔn)地磚位渦方程出發(fā)來(lái)進(jìn)行研究.Dellar等[10]利用變分原理推導(dǎo)含有完整Coriolis力作用的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程.在2010年,他們[11]擴(kuò)展了這項(xiàng)工作,并導(dǎo)出了具有完整Coriolis力的方程來(lái)描述無(wú)粘、不可壓縮流體的多層流體背景下的Roosby波的流動(dòng).尹曉軍從含有完整Coriolis力的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程出發(fā)[12],推導(dǎo)出了mKdV-Burgers方程,進(jìn)一步闡述了Rossby波的振幅演變規(guī)律會(huì)受到地球旋轉(zhuǎn)水平分量、beta效應(yīng)以及強(qiáng)耗散三個(gè)因素的影響.楊紅衛(wèi)從基本方程出發(fā),推到出分?jǐn)?shù)階BDO方程去描述Rossby波的振幅演變規(guī)律[13].關(guān)于完整Coriolis力相關(guān)報(bào)道,見(jiàn)文獻(xiàn)[14?16].但是我們發(fā)現(xiàn)上述文獻(xiàn)都沒(méi)有討論中高緯度Rossby波的波動(dòng)形態(tài),實(shí)際上極端的天氣現(xiàn)象(氣旋、反氣旋、寒潮等)主要發(fā)生在中高緯度地區(qū),極大的影響了人們的生活.另一方面,由于描述波的波動(dòng)形態(tài)是一系列微分方程,因此尋找微分方程的解析解或者孤立波解近年來(lái)得到了迅速發(fā)展.如呂興等應(yīng)用雙線性變換求解了(3+1)維非線性演變方程以及Boussinesq方程的各種精確解以及多孤立子解[17?18].再比如Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[19],同倫攝動(dòng)法[20],Bcklund變換法[21]等.

本文主要對(duì)受到完整科里奧利力、地形效應(yīng)、耗散和外源強(qiáng)迫共同作用的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程進(jìn)行研究.首先對(duì)準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程所表示的大尺度問(wèn)題作了無(wú)量綱變換;然后把流函數(shù)分為基本流函數(shù)和擾動(dòng)流函數(shù)兩部分,在色散和非線性之間平衡的條件下,通過(guò)作時(shí)空伸縮變換和攝動(dòng)展開(kāi)法推導(dǎo)出弱地形作用下的非齊次mKdV-Burgers方程,闡述科里奧利力對(duì)方程齊次項(xiàng)系數(shù)產(chǎn)生影響,所得的弱地形效應(yīng)影響到方程中強(qiáng)迫項(xiàng);最后對(duì)得到的非齊次mKdV-Burgers方程應(yīng)用簡(jiǎn)化的微分變化法和Maple數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行了近似求解,并且對(duì)一種特定Rossby波的振幅進(jìn)行圖形模擬后發(fā)現(xiàn),Rossby波的振幅隨時(shí)間在逐漸增大,Rossby波的波峰與波谷出現(xiàn)的經(jīng)度位置隨時(shí)間沒(méi)有明顯改變.

2 非齊次mKdV-Burgers方程的推導(dǎo)過(guò)程

考慮含有完整科氏力以及帶有耗散和外源的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程:

其中φ(x,y,t)表示總的流函數(shù),x、y、t分別表示經(jīng)度和緯度變量以及時(shí)間變量,和fH分別表示科里奧利力的垂直分量和水平分量,且f0和fH為常數(shù),H表示垂直尺度,B(x,y)表示底地形函數(shù),μ0?2φ表示耗散,μ0表示耗散強(qiáng)度,Q表示外源.側(cè)邊界條件滿足的剛壁條件

方程(2.2)中y=y1,y=y2分別表示地球南北方向的邊界.

首先通過(guò)無(wú)量綱化方程(2.1)和(2.2)變?yōu)?/p>

把(2.5)式代入到方程(2.3)中得

把變換(2.7)式代入到(2.6)式得

為了討論非線性長(zhǎng)波,可作時(shí)空伸縮變換,即Gardner-Morikawa變換

其中X,T分別為經(jīng)度和時(shí)間的緩變量,同時(shí)由變換(2.9)得

把變換(2.9)和(2.10)代入到方程(2.8)中得

把(2.12)式代入(2.11)式中得

通過(guò)后續(xù)(2.17),(2.21),(2.24)式分析得

從而底地形函數(shù)B(x,y)=ε3h(X,y),因?yàn)榭剖蠀?shù)ε?1,所以底地形函數(shù)B(x,y)表示相對(duì)非常小的量,即為弱地形作用.進(jìn)一步方程(2.13)可變?yōu)?/p>

下面采用攝動(dòng)展開(kāi)法.首先設(shè)擾動(dòng)流函數(shù)有如下的小參數(shù)展開(kāi)式

把方程(2.16)代入到方程(2.15)中,通過(guò)比較ε0的系數(shù)得

假設(shè)φ0具有下列形式的分離變量解

其中A(X,T)表示Rossby波的振幅,把方程(2.18)代入方程(2.17)中得Φ0滿足

由于函數(shù)p(y)的未知性,所以從本征值問(wèn)題(2.19)和(2.20)來(lái)確定本征函數(shù)Φ0和本征值c0的精確解是比較困難.為了確定Rossby波振幅A(X,T)的數(shù)學(xué)演化模型,繼續(xù)比較ε的系數(shù)得

假設(shè)φ1具有下列形式的分離變量解

通過(guò)分析,還不能從方程(2.23)中確定Rossby波振幅的演化規(guī)律所滿足的數(shù)學(xué)模型,需要提高精度,繼續(xù)比較ε2的系數(shù)得

其中

把(2.18)和(2.22)式代入(2.25)式中,并利用(2.19)和(2.23)式得

利用本征函數(shù)的正交性和消奇異條件

可以得到Rossby波的振幅滿足下列非齊次mKdV-Burgers方程

其中系數(shù)如下

3 求解非齊次mKdV-Burgers方程

下面采用簡(jiǎn)化的微分變化法求解方程(2.28).假設(shè)方程(2.28)具有如下形式的解

為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便,同時(shí)方程(2.28)的非齊次項(xiàng)記為g(X),即

把(3.1)和(3.2)式代入到(2.28)式得

分別比較(3.3)式中T0,T1,···,Tj?1,···前的系數(shù)得由此可得

把(3.4)、(3.5)和(3.6)式代入(3.1)式中,可得方程(2.28)的解

由(3.4)、(3.5)、(3.6)和(3.7)式得,當(dāng)系數(shù)α、β、γ、A0和g(X)確定后,方程(2.28)的解也就確定了,即確定了Rossby波振幅的演化規(guī)律.由(3.1)和(3.7)式得A(X,T)的近似解[7]為

假設(shè)初始項(xiàng)A0(X)=msechX和非齊次項(xiàng)g(X)=sinnX,由遞推關(guān)系(3.4)式和(3.5)式應(yīng)用Maple數(shù)學(xué)軟件得

把(3.9)和(3.10)式代入(3.8)式中,方程(2.28)的近似解就即可確定.從(3.4)、(3.5)式和(3.6)式體現(xiàn)出弱地形效應(yīng)會(huì)對(duì)方程解的系數(shù)Aj(X),j∈N均會(huì)產(chǎn)生影響.進(jìn)一步得出,在正壓模式下底地形效應(yīng)對(duì)Rossby波的振幅起主要作用.

依據(jù)初始項(xiàng)A0(X)=msechX和非齊次項(xiàng)g(X)=sinnX,通過(guò)(3.9)和(3.10)式方程(2.28)的近似解就可以完全確定.當(dāng)α=0.5,β=1,γ=1,m=1,n=0.5時(shí),方程(2.28)的近似解的圖形如上.從圖1和圖2可以看出:這種模擬式Rossby波的振幅在隨時(shí)間的改變而振幅逐漸在增大.波峰和波谷出現(xiàn)的經(jīng)度位置隨時(shí)間發(fā)生略微改變.

圖1 Rossby波的振幅

圖2 三個(gè)不同時(shí)刻的Rossby波的振幅

4 小結(jié)

本文從中高緯度含有完整Coriolis力的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦方程出發(fā),利用時(shí)空伸縮變換,得到了描述Rossby波的振幅形態(tài)滿足的非齊次mKdV-Burgers方程.在推導(dǎo)模型過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)底地形函數(shù)B(x,y)=ε3h(X,y),因?yàn)檫@里考慮的是大尺度問(wèn)題,即ε?1時(shí),所以底地形函數(shù)就表示弱地形效應(yīng).當(dāng)?shù)椎匦涡?yīng)徹底消失的時(shí)候就是文獻(xiàn)[12]的情形.最后對(duì)非齊次mKdV-Burgers方程利用簡(jiǎn)化的微分變換法做近似求解,對(duì)影響解的因素做出分析.

通過(guò)所得的分析結(jié)論,可以看出在理想狀態(tài)正壓模式下底地形效應(yīng)對(duì)Rossby波振幅影響較大.在大氣海洋學(xué)中,該結(jié)論為研究Rossby波在接近地球低層的振幅形態(tài)提供了理論依據(jù).