高考中雙曲線問題的解法初探

摘要：雙曲線問題是高考中較為常見的題型，且難度較大，所以其研究價(jià)值尤為突出.本文在查閱了相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)了幾類常見題型及其一般解法，并結(jié)合近幾年高考中出現(xiàn)的題目，對其解法一一做了解析.

關(guān)鍵詞：高考;雙曲線問題;解法

引言

高考作為高中學(xué)子乃至中小學(xué)學(xué)生的一人生重要分水嶺，對于廣大學(xué)生而言是非常重要的，不僅關(guān)乎著學(xué)生的命運(yùn)及前途，也是作為教育部門及教育者的一項(xiàng)重大考驗(yàn).高中數(shù)學(xué)由于其作為基礎(chǔ)學(xué)科，在高考中不僅直接關(guān)系著其他學(xué)科邏輯思維能力和運(yùn)算解題，同時(shí)它本身在高考以及學(xué)生的未來發(fā)展中占有舉足輕重的地位.而在高考數(shù)學(xué)中，解析幾何問題也占有相當(dāng)多的分值，已經(jīng)超過了25%左右，故學(xué)好高中的幾何知識不僅是為了在高考中取得好的成績;同時(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建空間幾何能力和運(yùn)用解析幾何解決實(shí)際問題的關(guān)鍵所在.高中解析幾何主要的內(nèi)容以及高考的重難點(diǎn)就在于對圓錐曲線性質(zhì)的簡單應(yīng)用及解決較為復(fù)雜和綜合性較高的實(shí)際問題.同時(shí)由于圓錐曲線問題的多樣性和復(fù)雜性，故解決此類問題的思路以及方法也非常的多;對于學(xué)生的計(jì)算能力，邏輯思維能力與應(yīng)變能力的要求也比較高.本文主要致力于研究高考數(shù)學(xué)中常見的圓錐曲線中雙曲線問題的幾類題型和解法，為總結(jié)高考考點(diǎn)，方便理清實(shí)際教學(xué)重難點(diǎn)，更好的為今后的教學(xué)工作做好準(zhǔn)備.

一、雙曲線預(yù)備知識

1.雙曲線定義

定義1把平面內(nèi)的到兩個定點(diǎn)，的距離的差等于非零常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為焦距.

2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，，坐標(biāo)為，;

有定義知雙曲線便是集合，

又，，

故，整理得，

類比于橢圓方程建立過程令，得，

同理得當(dāng)焦點(diǎn)位于軸時(shí)雙曲線的方程形式是

2.雙曲線相關(guān)性質(zhì)

（1）定義域

（2）對稱性雙曲線關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對稱，其中關(guān)于原點(diǎn)是成中心對稱的.

（3）頂點(diǎn)在雙曲線方程中

令，得，可得雙曲線和軸有兩個交點(diǎn)，，分別叫做雙曲線的頂點(diǎn).

令，得，這個方程明顯是沒有實(shí)數(shù)根的，那么此時(shí)雙曲與軸是不存在交點(diǎn)的，但我們依然把，作于軸上，方便下一步研究，我們規(guī)定線段叫雙曲線的實(shí)軸，大小為;線段叫做雙曲線的虛軸，大小為.

（4）漸近線

（5）離心率

二、雙曲線在高考中的典型例題及其解法

1.根據(jù)定義及各參數(shù)關(guān)系解題

雙曲線定義和雙曲線各參數(shù)之間的關(guān)系是解決雙曲線問題的重要依托，對它們準(zhǔn)確的理解與運(yùn)用對學(xué)好雙曲線乃至整個圓錐曲線起到了至關(guān)重要得作用;而其于高考中運(yùn)用的主要體現(xiàn)在關(guān)于簡單雙曲線簡單問題的考察，一般的題型會集中在選擇題和雙曲線大題的第一小題.下面就實(shí)例進(jìn)行分析.

例1[2018浙江卷]

解析：根據(jù)雙曲線方程我們可以確定焦點(diǎn)位于X軸上，再由雙曲線方程及參數(shù)性質(zhì)我們可求解。

例2[2018理數(shù)全國卷二]雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（;）

解析：我們已經(jīng)知道離心率，可由離心率與a，c的關(guān)系立式求解。

2.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法主要用于求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.常見于大題第一小題，作為雙曲線問題中的基礎(chǔ)題出現(xiàn)，較為考察學(xué)生對于雙線定義及性質(zhì)的了解以及應(yīng)用.就實(shí)例如下.

例3[2008天津，理21]已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是.

（Ⅰ）求雙曲線的方程;

解析?由題設(shè)條件可知，又，則，聯(lián)立方程組可求解.

設(shè)雙曲線的方程為.

由題設(shè)得，解得，所以雙曲線方程為

3.數(shù)形結(jié)合

數(shù)從量反映問題，形從直觀反映問題.數(shù)形結(jié)合，可以做到取長補(bǔ)短，優(yōu)勢互補(bǔ)，往往能有效地解決問題.在對于雙曲線問題的研究，幾何關(guān)系結(jié)合數(shù)量關(guān)系可以更為直觀清楚地讓學(xué)生更為綜合地應(yīng)用學(xué)過的知識，同時(shí)從側(cè)面降低問題的難度以及了解數(shù)形結(jié)合的重要性，用時(shí)拓寬學(xué)生的思維.就實(shí)例如下.

例4[2017課標(biāo)1，理]已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn).若=60°，則的離心率為_____.

解析?如圖一，利用點(diǎn)到漸近線的距離公式，考慮圖中三角函數(shù)關(guān)系聯(lián)立方程可求得，由得所以.

圖一

如圖一所示，作，因圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩個點(diǎn)，則、為漸近線上的兩個點(diǎn)，且，.

而，所以=30°

點(diǎn)到直線的距離

在中，代入計(jì)算得

，即。由得

所以.

例5[2013大綱全國，理21]已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為3，直線與雙曲線的兩個交點(diǎn)間的距離長度為.

（1）求，;

（2）設(shè)過的直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且=，證明：，，成等比數(shù)列。

（1）解析?已知離心率可求得雙曲線方程，將代入，求得.可求，

由題設(shè)知=3，即=9，故

所以的方程為.

將代入上式，求得.

由題設(shè)知，，解得.

所以，.

（2）解析?由（1）知，，C的方程為

①

由題意可設(shè)的方程為，，

代入①并化簡得.

設(shè)，，則，，，.

于是===，

===.

由=得=，即=.

故，解得=，從而=.

由于===，

===，

故=-==，

==.

因而=，所以，，成等比數(shù)列。

4.雙曲線與圓等幾何圖形綜合考察

學(xué)生在中小學(xué)除學(xué)習(xí)雙曲線知識外，學(xué)生還要學(xué)習(xí)了圓等幾何圖形的定義及性質(zhì)，并要做到應(yīng)用這些幾何圖形的定義以及性質(zhì)解決一些簡單的問題;而高考是對于學(xué)生綜合能力的考察，這里的綜合當(dāng)然也包括綜合利用眾多圖形關(guān)系解決實(shí)際問題.在這一小結(jié)中，主要陳述綜合利用雙曲線和其他幾何圖形.這是雙曲線問題中較為困難的，不僅要求學(xué)生對于眾多幾何圖形，包括雙曲線的有足夠的認(rèn)識，并且能做到明確地區(qū)分它們之間的不同，同時(shí)，又能充分利用它們的幾何關(guān)系給出正確的解法和答案.這類問題困難程度較大，需要學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的前提下，發(fā)掘它們的關(guān)系，善于思維，精于從圖形中找到解題的關(guān)鍵，善于較為復(fù)雜的運(yùn)算.就實(shí)例如下.

例6[2016高考天津理數(shù)]已知雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于、、、四點(diǎn)，四邊形的的面積為，則雙曲線的方程為（;）

（A）（B）（C）（D）

解析：

根據(jù)雙曲線的對稱性，我們假設(shè)A點(diǎn)位于第一象限，，

∴，

∴，故雙曲線的方程為，故選D.

例7[2017課標(biāo)II，理9]若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（;）

A.2;;;B.;;;C.;;;D.

解析：

由圓與雙曲線的位置關(guān)系可以得雙曲線的漸近線是：，

圓心到漸近線距離為：，

不妨設(shè)點(diǎn)到直線的距離：，

即：，整理可得：，雙曲線的離心率.

故選A.

結(jié)語

高考中雙曲線問題一直是考察著重于學(xué)生對于高中幾何知識的掌握程度，并綜合于對于解題能力與思維能力，在這些年的高考試卷上考察的方式很多多是以選擇題與壓軸解答題的形式出現(xiàn).利用雙曲線是在高考中是解決雙曲線簡單問題的常用方法，例如對于一般的選擇題或大題第一小問;但對于一般較為復(fù)雜的問題就特別講究解題的技巧與對于雙曲線以及相關(guān)知識的理解程度.如在解決直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，一向采用設(shè)出方程但不求出具體數(shù)值，然后利用韋達(dá)定理得出相應(yīng)數(shù)值關(guān)系，可以說韋達(dá)定理起到了一個代換的作用如例5.同時(shí)在解決高考中較為困難的雙曲線大題時(shí)，要利用的知識不僅有高中幾何知識，常見的有勾股定理，圓上的點(diǎn)到圓心的距離相同等知識.在高考中一般的較為困難的是對于雙曲線與圓等圖形的綜合考察，學(xué)生應(yīng)該在了解這些幾何圖形的性質(zhì)的前提下，聯(lián)系幾何知識做到技巧性的應(yīng)用.在高考中一般的較為困難的是對于雙曲線與圓等圖形的綜合考察，學(xué)生應(yīng)該在了解這些幾何圖形的性質(zhì)的前提下，聯(lián)系幾何知識做到技巧性的應(yīng)用.可以說學(xué)生要真正掌握圓錐曲線問題需要的知識積累與解題技巧大龐大的.本文就常見的題型及方法由以下歸納的：數(shù)形結(jié)合?待定系數(shù)法?利用雙曲線與圓等圖形的性質(zhì)的方法.

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作者簡介

陳幸（1996.9—），男，漢族，四川綿陽人，本科在讀，四川民族學(xué)院理工學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。