例談直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用

張佳萍

[摘要]直角三角形是初中階段學(xué)習(xí)的重要圖形，許多問題都需轉(zhuǎn)化為直角三角形問題加以解決.探討直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，可以提高學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化能力.

[關(guān)鍵詞]直角三角形;性質(zhì);初中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020） 23-0031-02

直角三角形是初中階段學(xué)習(xí)的重要圖形，許多問題都需轉(zhuǎn)化為直角三角形問題加以解決，直角三角形有諸多性質(zhì)可以利用.如利用直角三角形兩銳角互余，結(jié)合同角或等角的余角相等，可得到相等的角;利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得此類直角三角形的三邊之比;根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，斜邊上的中線將它分成兩個(gè)三角形，一個(gè)為鈍角等腰三角形，一個(gè)為銳角等腰三角形.利用直角三角形的勾股定理可以求線段的長，直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，一方面考查學(xué)生對(duì)直角三角形性質(zhì)的掌握情況;另一方面考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化能力，

一、直角三角形中“∠A+ ∠B= 90°”的應(yīng)用

三角形的內(nèi)角和為180°，直角三角形有一個(gè)角是90°，所以其余兩個(gè)角一定互余，在直角三角形中，作斜邊上的高線，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可得兩組等角，再作一銳角的平分線，可得一等腰三角形.

[例1]如圖l，在△ABC中，∠BA C=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線BE交AD于F，試說明AE=AF.

解析：根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE= ∠EBC，再利用∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D推出∠AEF=∠AFE，然后根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)得證，

評(píng)注：此題如果作銳角C的角平分線，交高線與對(duì)邊有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與點(diǎn)A構(gòu)成的三角形也是等腰三角形，解答思路與上述相同，需要注意的是，在本題的圖形中，同時(shí)存在四個(gè)直角三角形，其中△ABE是直角三角形不易發(fā)現(xiàn)，是本題的難點(diǎn)，

二、特殊直角三角形“a=1/2c”的應(yīng)用

直角三角形有兩類特殊的三角形，它們分別是含30°角的直角三角形、等腰直角三角形，根據(jù)在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系是a=1/2c，據(jù)此，可得這類三角形的三邊之比為1：√3：2.在等邊三角形中，作任意一邊上的高，或者過邊上任一點(diǎn)作垂線，都會(huì)出現(xiàn)含30°角的直角三角形.

[例2]如圖2所示，等邊△ABC中，AD⊥BC于D，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，過E作EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：2BD= 2CF+ BE;

（2）若AB=4，過F作FQ ⊥AB，垂足為Q，PQ=1，求BP的長.

評(píng)注：本題在等邊三角形內(nèi)作了三次垂直，得到了三個(gè)含30°角的直角三角形，分別三次利用這類直角三角形直角邊與斜邊的一半關(guān)系，使這條直角三角形的性質(zhì)得到了充分的發(fā)揮，另一方面，第2小題有兩種情況，在解答時(shí)要通過畫各種情況的圖形找到這兩種情況，不能漏解，

三、直角三角形“斜邊中線的長=1/2斜邊長”的應(yīng)用

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是，斜邊上的中線與斜邊存在數(shù)量關(guān)系：中線長=1/2斜邊長，斜邊上的中線將它分成兩個(gè)三角形，一個(gè)為鈍角等腰三角形，一個(gè)為銳角等腰三角形，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角，可以在這樣的圖形中求線段長或角度，

評(píng)注：判定一個(gè)三角形的形狀時(shí)，這個(gè)三角形的形狀一般為直角三角形、等腰三角形或等邊三角形，這是考慮此類問題的三個(gè)方向，在解答第（3）小題時(shí)，求出∠DEC的度數(shù)使用了整體的方法，即將∠CAB+∠DBA作為一個(gè)整體處理，不能分開，

四、勾股定理的應(yīng)用

直角三角形的三邊有特定的數(shù)量關(guān)系，即兩條直角邊的平方和，與斜邊的平方是相等的，也就是勾股定理.

[例4]如圖8，秋千繩索OA靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（AC=1尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB=10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（BD=5尺），已知OC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，BE⊥OC于點(diǎn)E，OA= OB，求秋千繩索（叫或OB）的長度，

評(píng)注：在直角三角形中，已知兩直角邊長求斜邊時(shí)，取已知兩邊平方和的算術(shù)平方根就是斜邊長;已知一直角邊和斜邊時(shí)，取已知邊的平方差的算術(shù)平方根就是另一直角邊長，已知一邊長及另兩邊的關(guān)系，也可以利用勾股定理建立方程求出另兩邊的長，本題在構(gòu)圖時(shí)將一個(gè)梯形通過作高分割為一個(gè)矩形和一個(gè)直角三角形，從而將四邊形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，

以上僅是在三角形問題中直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，屬于直角三角形性質(zhì)的直接應(yīng)用，當(dāng)然直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用并不僅僅局限于此，在四邊形、圓、圖形變換問題中，都會(huì)用到直角三角形的性質(zhì)，如在正方形中會(huì)用到等腰直角三角形性質(zhì)，在矩形、菱形問題中會(huì)用到勾股定理，在應(yīng)用垂徑定理時(shí)常會(huì)用到勾股定理等.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）