基于光學頻率梳光譜干涉實現水的群折射率測量

張好運,趙海涵,徐昕陽,薛 彬

(天津大學海洋科學與技術學院,天津 300072)

1 引 言

自誕生以來,光學頻率梳在許多領域得到了廣泛的應用。光學頻率梳是一種新穎的功能強大的激光光源,它不僅具備了傳統(tǒng)激光光源的優(yōu)點,比如高功率、優(yōu)秀的準直性和單色性等,還有其獨特的優(yōu)勢。在時域內,光學頻率梳是一連串單個的脈沖,相鄰脈沖之間的時間間隔為T,單個脈沖的脈寬(半高全寬)可以窄至飛秒量級(甚至更窄)；在頻域內,光學頻率梳包含了一系列的等頻率間隔的頻率模式,單個頻率模式可以表示為m×frep+fceo。frep為光學頻率梳的重復頻率,frep=1/T,fceo為初始頻率偏移,m為一個整數。當精密鎖定frep和fceo至一個外部頻率基準時,頻域內光學頻率梳的每一個頻率模式就都具備了與外部頻率基準一樣的頻率穩(wěn)定性,所以,基于光學頻率梳,可以實現光學頻率與微波頻率、光學頻率與光學頻率的一步連接[1]。正是由于光學頻率梳優(yōu)秀的時間和頻率穩(wěn)定性,在過去的20年里,光學頻率梳在許多的科學研究和工程應用領域得到了廣泛的應用,并取得了顯著的成果,比如絕對頻率測量[2]、精密光譜學[3]、天文光譜學[4]、時頻傳遞[5]、絕對距離測量[6-7]等。

地球70 %以上的表面積被海洋覆蓋,海洋蘊藏著豐富的礦產資源,發(fā)展性能優(yōu)秀的海洋探測方法和設備,對研究海洋的物理和化學性質、氣候與環(huán)境監(jiān)測、海洋勘探、漁業(yè)、航行、軍事等領域都具有重要的意義[8]?？茖W家們發(fā)現藍綠激光(480～540 nm)在水下傳輸時,衰減系數較低。于是基于藍綠激光,水下激光通信[9]、機載激光雷達[10]、海底底質探測[11]等應用得到了廣泛的研究。需要注意的是,藍綠激光在水下傳輸時,一個基本的問題是水的折射率的測量,這直接影響了測量的精度。類似大氣折射率,純水的折射率也可以通過經驗公式(Harvey公式)計算得到,純水的折射率是激光波長、溫度、和密度的函數[12],但是,每一個傳感器都會引入測量不確定度,同時,經驗公式本身也存在不確定度。科學家們研究了許多直接測量水的折射率的方法,可分為折射原理和干涉原理?；谡凵涞脑?阿貝折射儀(Abbe refractometer)[13]可通過測量全反射臨界角實現水的折射率的測量,浦耳弗里許折射計(Pulfrich refractometer)[14]可通過測量折射角實現水的折射率的測量,但是,輔助棱鏡的折射率是必需的,并且需要精確地測量所需的角度值,這使得測量系統(tǒng)復雜,測量不確定度僅在10-4量級?；诟缮娴脑?科學家們也進行了許多的探索。通常,在邁克爾遜干涉儀的測量路徑中設置水容器,當水容器完全置于測量路徑中時,未注水時,測量測量臂與參考臂在空氣中的光程差,注水后,測量測量臂與參考臂的光程差,可計算得到水的折射率[15],所以水容器的幾何尺寸需要精確測量,于是水容器本身的熱膨脹會產生可觀的測量不確定度。可將測量鏡置于水容器內,測量鏡固定在位移臺上,移動測量鏡,測得光程差的變化,測量鏡的幾何位移已知,可計算出水的折射率[16]。此外,也有自適應的測量裝置實現水容器的熱膨脹的補償[17],測量不確定度可以達到優(yōu)于10-5。但是,現有的報道都是基于單色激光光源的條紋計數原理實現光程差的測量,這需要測量鏡的連續(xù)移動,且不能斷光,光學頻率梳作為測量光源可以解決這一問題。光學頻率梳已經用于測量玻璃[18]、硅片[19]等的厚度和折射率,然而用于水的折射率測量鮮有報道。

本文提出一種基于光學頻率梳光譜干涉實現純水的群折射率測量的方法,分析了光譜干涉測量水折射率的原理,搭建了實驗裝置,在不同溫度下測量了純水的群折射率；實驗結果表明,在不同溫度下,與參考值相比,測量不確定度在10-5量級,表明該方法可以實現水的群折射率的高精度測量。

2 光譜干涉實現水的群折射率測量

圖1為光譜干涉的實驗原理圖,光源發(fā)出一串連續(xù)的脈沖光,其在分束器處分為兩束光,一束進入參考臂,在參考鏡處被反射,為參考脈沖光；一束進入測量臂,在目標鏡處被反射,為測量脈沖光；最后兩束被反射的光射入光譜儀,光譜發(fā)生相干干涉,觀察到光譜干涉條紋。光梳的中心角頻率為ωc,記參考脈沖光為Eref(t),對應光譜為Eref(ω)；測量脈沖光為Epro(t),對應光譜為Epro(ω)。

圖1 光譜干涉的原理

假設光梳發(fā)出的脈沖為理想高斯脈沖,則其光譜為理想高斯光譜,記為E(ω),進而參考脈沖的光譜可以表示為:

Eref(ω)=αE(ω)

(1)

測量脈沖的光譜則可以表示為:

Epro(ω)=βE(ω)exp(-iτω)

(2)

其中,α和β為參考脈沖與測量脈沖的功率因子,參考脈沖與測量脈沖的功率比為α2/β2,α< 1,β< 1。理想情況下,邁克爾遜干涉系統(tǒng)中,光譜儀探測到的參考脈沖與測量脈沖的功率是嚴格相等的。

參考脈沖的光譜與測量脈沖的光譜發(fā)生干涉,光譜儀探測到的光譜強度可以表示為:

I(ω)=(Eref(ω)+Epro(ω))2

=〈(Eref(ω)+Epro(ω))(Eref(ω)+Epro(ω))*〉

=|Eref(ω)|2+|Epro(ω)|2+2Re[Eref(ω)Epro*(ω)]

=E2(ω)[α2+β2+2αβcos(τω)]

=E2(ω)[α2+β2+2αβcos(2k(ω)l)]

(3)

其中,k(ω)=ngω/c;ng為介質的群折射率;c為真空中的光速。獲得干涉光譜條紋后,可以通過傅里葉變換,獲得解卷相位的斜率,求得光程差ngl[20]。

測量過程分為兩步:第一步,水容器未注水時,可以測得測量臂與參考臂在空氣中的光程差為La,La=ngal,nga為空氣的群折射率,由Ciddor公式[21]計算可得；第二步,水容器注水,可以測得測量臂與參考臂在水中的光程差為Lw,Lw=ngwl,ngw為水的群折射率。所以水的群折射率ngw可以計算為:

(4)

由公式(4)可知,通過兩步測量后,我們可以實現水的群折射率的測量。但是,受光譜儀分辨率的限制,測量臂與參考臂的幾何長度差l較小(最大毫米量級),無法實現任意位置的折射率測量。同時,La和Lw的小的測量不確定度會帶來大的折射率的測量不確定度。我們設計了圖2所示的改進型實驗原理圖,不受光譜儀分辨率的限制,可實現任意位置的水的折射率的測量。如圖2所示,光源發(fā)出的光在分光鏡1處,被分為兩束,一束射入邁克爾遜干涉儀,一束經分光鏡2、反射鏡1和反射鏡2后,在分光鏡4處與邁克爾遜干涉儀的輸出光合束,最后由光譜儀探測,得到光譜干涉條紋。反射鏡2固定在精密掃描平臺上,可通過改變反射鏡2的位置,使得反射鏡2反射的光分別與參考光和測量光發(fā)生光譜干涉,從而獲得參考鏡與目標鏡(即參考臂與測量臂)引入的光程差。

圖2 改進后的光譜干涉測量折射率原理圖

改進后的測量過程同樣分為兩步:第一步,水容器未注水,調節(jié)反射鏡2的位置,與參考光(即參考鏡反射的光)發(fā)生光譜干涉,可測得光程差Lra；移動反射鏡2,與測量光(即測量鏡反射的光)發(fā)生光譜干涉,可測得光程差Lma；假設反射鏡2移動的距離為Da,則測量臂與參考臂的光程差可以計算為La=Lma-Lra+ngaDa=ngaL。需要注意的是,反射鏡2的不同位置會引起Lma和Lra的正負變化,在我們以往的工作中[22],進行了詳細的推導和分析,在此不再敘述。實驗中,調節(jié)反射鏡2,使其總是滿足上式(即La=Lma-Lra+ngaDa)關系。第二步,水容器注水,調節(jié)反射鏡2的位置,分別測得與參考光和測量光的光程差為Lrw和Lmw,假設反射鏡2移動的距離為Dw,則測量臂與參考臂的光程差可以計算為Lw=Lmw-Lrw+ngaDw=ngwL。則水的群折射率可以計算為:

(5)

由公式(4)和公式(5)可以看出,基于光學頻率梳的光譜干涉,可以實現水的群折射率的測量。

3 實驗結果

3.1 小長度下的水的群折射率測量實驗

我們首先搭建了圖1所示原理圖的實驗系統(tǒng)。光源為Menlo system orange,中心波長為518 nm,光譜寬度為5 nm,重復頻率為100 MHz,輸出功率為500 mW。光譜儀為Thorlabs OSA201C。水容器材料為石英玻璃,熱膨脹系數較低,為5×10-7/℃。需要指出的是,在我們的實驗系統(tǒng)設計中,將邁克爾遜干涉儀的參考鏡和測量鏡都置于水容器中,水容器熱膨脹會同時引起參考臂和測量臂的光程變化,所以參考臂和測量臂的光程差對水容器熱膨脹不敏感。圖3所示為所采用光源的光譜曲線,可以看出,中心波長為約518 nm,光譜寬度為約5 nm。

圖3 采用光源的光譜曲線

圖4(a)所示為水容器未注水時,光譜儀采集到的光譜干涉條紋,可以看出,參考光與測量光發(fā)生光譜干涉后,在原光譜曲線上(圖3所示),疊加了一個穩(wěn)定的交流調制頻率。圖4(b)所示為將圖4(a)中的光譜干涉條紋進行傅里葉變換后,光譜干涉條紋包含的頻率成分,對應的參考光與測量光的時間延遲為1.47 ps。圖4(c)所示為提取正的交流成分,對其進行傅里葉反變換后,求得的卷裹的相位。圖4(d)所示為對圖4(c)所示卷裹相位解卷裹后的相位,可用解卷裹相位的斜率求得被測距離,所以,水容器未注水時,測量臂與參考臂的光程差La可以計算為1.47 ps×299792458 m/s=440.7 μm。實驗時,環(huán)境參數為溫度24.2 ℃,氣壓99.47 kPa,相對濕度37 %,則空氣的群折射率nga可以計算為1.0002762。

圖4 未注水時光譜干涉數據處理過程

圖5(a)所示為水容器注水后,光譜儀采集到的光譜干涉條紋,可以看出,光譜干涉條紋的調制頻率增大了。圖5(b)所示為將圖5(a)中的光譜干涉條紋進行傅里葉變換后,光譜干涉條紋包含的頻率成分,對應的參考光與測量光的時間延遲為2.006 ps。所以,水容器注水后,測量臂與參考臂的光程差Lw可以計算為2.006 ps×299792458 m/s=601.7 μm。根據公式(4),水的群折射率可以計算為601.7/440.7×1.0002762=1.364987。

圖5 注水后光譜干涉數據處理過程

實驗中,采用的水是自來水,溫度為25.7 ℃,密度為996.9 kg/m3,根據Harvey公式可以計算得水的群折射率為1.3651?？梢园l(fā)現,我們的系統(tǒng)測得值與Harvey公式測得值差異為1.1×10-4。

3.2 大長度下,不同溫度的水的群折射率測量實驗

我們搭建了如圖2所示的實驗系統(tǒng),反射鏡2固定在掃描臺上,掃描臺為PI M521,最大行程200 mm。首先,水容器未注水時,調節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與參考光發(fā)生光譜干涉,測得的光譜干涉條紋如圖6(a)所示,圖6(b)為將圖6(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為5.332 ps。所以,Lra可以計算為5.332 ps×299792458 m/s=1.598 mm。實驗時,環(huán)境參數為溫度24.8 ℃,氣壓99.77 kPa,相對濕度38 %,則空氣的群折射率nga可以計算為1.00027728。調節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與測量光發(fā)生光譜干涉,反射鏡2平移的距離Da為93.742 mm,測得的光譜干涉條紋如圖7(a)所示,圖7(b)為將圖7(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為3.108 ps。所以,Lma可以計算為3.108 ps×299792458 m/s=931.7 μm。

圖6 未注水時反射鏡2反射光與參考光光譜干涉數據處理過程

圖7 未注水時反射鏡2反射光與測量光譜干涉數據處理過程

水容器注水后,調節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與參考光發(fā)生光譜干涉,測得的光譜干涉條紋如圖8(a)所示,圖8(b)為將圖8(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為1.772 ps。所以,Lrw可以計算為1.772 ps×299792458 m/s=531.2 μm。實驗時,環(huán)境參數為溫度24.8 ℃,氣壓99.77 kPa,相對濕度38 %,則空氣的群折射率nga可以計算為1.00027728。調節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與測量光發(fā)生光譜干涉,反射鏡2平移的距離Dw為126.83 mm,測得的光譜干涉條紋如圖9(a)所示,圖9(b)為將圖9(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為2.436 ps。所以,Lmw可以計算為3.108 ps×299792458 m/s=730.3 μm。根據公式(5),水的群折射率可以計算為1.365168。

圖9 注水后反射鏡2反射的光與測量光的光譜干涉數據處理過程

圖8 注水后反射鏡2反射的光與參考光的光譜干涉數據處理過程

實驗中,水的溫度為25.2 ℃,密度為997.1 kg/m3,根據Harvey公式可以計算得水的群折射率為1.36516?？梢园l(fā)現,我們的系統(tǒng)測得值與Harvey公式測得值差異為8×10-6。

我們在不同溫度下對水的群折射率進行了測量,實驗中,水的溫度變化范圍為24 ℃到30 ℃,在每一個溫度點處,我們快速的測量10次。測得結果與Harvey公式計算結果比對,結果如圖10所示。圖10中,縱坐標為我們測得的結果與Harvey公式的差異,黑色實心點為10次測量結果的平均值,誤差空間為10次測量結果的標準差?？梢钥闯?我們測得的結果與Harvey公式的差異小于3.5×10-5,這表明,我們提出的方法可以高精度的實現水的群折射率的測量。

圖10 不同溫度下的測量結果

4 實驗結果分析

由3.1節(jié)和3.2節(jié)的實驗結果對比可知,大長度場合下水的群折射率測量不確定度要優(yōu)于小長度下的不確定度,這是由于小長度下每一個被測物理量的小的擾動對合成不確定度的相對影響都很大。本節(jié)我們主要以公式(5)為基礎,對水的群折射率的測量不確定度進行分析。根據公式(4),水的群折射率的測量不確定度可以計算為:

(6)

由于空氣群折射率的不確定度在10-8量級,對合成不確定度的貢獻很小,所以在不確定度分析中忽略了空氣群折射率的貢獻。公式(6)右邊第一項是與Lmw相關的不確定度,采用快速測量10次Lmw的標準差作為Lmw的不確定度,Lmw的不確定度為1.5 μm,所以第一項可以計算為1.6×10-5；同理,右邊第二項中,Lrw的不確定度為1.6 μm,第二項可以計算為1.7×10-5；右邊第三項與掃描臺移動距離Dw有關,掃描臺的分辨率優(yōu)于1 μm,所以第三項可以計算為1×10-5；右邊第四項與Lma有關,采用快速測量10次Lma的標準差作為Lma的不確定度,Lma的不確定度為1.3 μm,所以第四項可以計算為1.4×10-5；同理,右邊第五項中,Lra的不確定度為1.2 μm,第五項可以計算為1.3×10-5；右邊第六項與掃描臺移動距離Da有關,掃描臺的分辨率優(yōu)于1 μm,所以第六項可以計算為1.5×10-5；此外,水容器的熱膨脹系數為5×10-7/℃,實驗中溫度變化范圍為24 ℃到30 ℃,測量臂與參考臂的光程差為約126.83 mm,則水容器的熱膨脹為0.4 μm,對應折射率的測量不確定度為3×10-6；最后,合成不確定度可以計算為3.52×10-5,與圖10所示實驗結果一致。

5 結 論

光在水下或者海洋中傳輸時,折射率的測量是一個基本且重要的問題。本文基于518 nm光學頻率梳提出了一種光譜干涉實現水折射率測量的方法,設計了實驗系統(tǒng),系統(tǒng)不受光譜儀分辨率的限制,可以在任意長度下實現水的折射率測量。為了消除水容器熱膨脹對測量結果的影響,將邁克爾遜干涉儀整體設置在水容器中,并采用低熱膨脹系數的材料制備水容器。在不同溫度下,進行了測量實驗,實驗結果表明,實驗系統(tǒng)對溫度變化不敏感。我們提出的方法測得的結果與參考值的差異小于 3.5×10-5,說明我們提出的方法可以高精度地實現水的群折射率的測量。