以小見大 見微知著

江宏

摘 要：微元法是解決高中物理中非質(zhì)點(diǎn)或非線性變化問題的一種重要方法。因?yàn)檠芯繉?duì)象特點(diǎn)不同，學(xué)生在微元法的運(yùn)用上普遍存在比較明顯的困難。本文將微元法歸納為動(dòng)態(tài)過程類和靜態(tài)平衡類兩種情況，并針對(duì)微元法教學(xué)困境，提出一些具體建議。

關(guān)鍵詞：微元思想;高考;應(yīng)用

高中物理中常見的物塊、小球、微粒通常都能被看作是質(zhì)點(diǎn)加以分析，勻變速直線、平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)都是經(jīng)典模型，這類對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程是學(xué)生較為熟悉并能夠較為準(zhǔn)確分析和判斷的。而高考中以力學(xué)或者電磁感應(yīng)問題為背景，常常對(duì)功、沖量、位移、速度變化量、電量等物理量進(jìn)行探究，如2013年全國1卷中斜面上導(dǎo)體棒下滑的電磁感應(yīng)模型，2016年全國卷1卷選修題中水柱托舉玩具小車模型。在運(yùn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí)解決涉及變力、流體、變加速直線運(yùn)動(dòng)或一般曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，學(xué)生往往是力不從心無從下手。對(duì)此，在高中階段引入了一種簡便可操作性強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法——微元法來解決上述問題。微元法是一種從局部到整體的思維方法，它是一種重要的物理思想方法，可以檢驗(yàn)學(xué)生是否具備運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來處理物理問題的能力。在一些復(fù)雜的物理過程和研究對(duì)象中，微元法能夠化繁為簡，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的物理規(guī)律或者模型，并使之得以迅速地解決。在高中階段循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)使用“微元法”思維，感受微分和積分的運(yùn)用過程，有利于高考?jí)狠S題的突破，也有利于學(xué)生進(jìn)入高等學(xué)校后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

在使用微元法處理問題時(shí)，需將其分解為眾多個(gè)連續(xù)的局部或者是“元過程”或者“元對(duì)象”，而且每個(gè)“元過程”或“元對(duì)象”所遵循的規(guī)律是相同的，我們只需分析這些具有普遍性的“元過程”或“元對(duì)象”，然后再將這些代表性的“元過程”或者“元對(duì)象”進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)方法或物理思想歸納處理，進(jìn)而得到對(duì)于整個(gè)過程或整個(gè)對(duì)象的結(jié)論。微元法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知概念和規(guī)律的再思考，對(duì)鞏固概念知識(shí)、加深對(duì)事物的理解，提高解決生活場景中復(fù)雜問題的能力起積極作用。

1 微元法的兩種類型

1.1 動(dòng)態(tài)過程類

例1：一根質(zhì)量為M，長度為L的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖1所示，求鏈條下落了長度x時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？

分析：鏈條對(duì)地面的壓力來自已經(jīng)躺在地面的那部分鏈條的壓力和正在與地面撞擊的鏈條產(chǎn)生的沖擊力，選擇某一時(shí)刻與地面接觸的鏈條其質(zhì)量微元為Δm，對(duì)這部分質(zhì)量的動(dòng)量變化進(jìn)行分析，就能夠順利解決沖擊力的問題。

動(dòng)態(tài)類常見問題還有非勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移問題、水柱沖擊煤層情景、2016年全國一卷中噴泉水柱托舉玩具小車情景、自動(dòng)秤米計(jì)量情景、雨滴落到樹葉葉片上情景等流體模型，以及2013年全國一卷中斜面上導(dǎo)體棒電磁感應(yīng)的非恒定電流模型。這類問題中還有一些小的區(qū)別在于t時(shí)間內(nèi)已經(jīng)落在地面上的鏈條對(duì)地面有持續(xù)壓力，運(yùn)動(dòng)的位移和秤米計(jì)重也是一種積累物理量;而水柱沖擊煤層、噴泉托舉小車、雨滴滴落樹葉情景中只考慮接觸部分微元產(chǎn)生的力作用，導(dǎo)體棒上電磁感應(yīng)模型只考慮棒上一小段時(shí)間內(nèi)可視為恒定電流，其在導(dǎo)體棒上通過的電量對(duì)應(yīng)這一小段時(shí)間內(nèi)電容器上電量變化和電壓變化。

1.2 靜態(tài)平衡類

例2：如圖2所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn)，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為ρ。試求鐵鏈A端受的拉力T。

分析：選取AB之間某一位置的一小段鏈條Δm為研究對(duì)象，分析上下鏈條對(duì)其拉力與其所受到的重力與球面支持力的平衡方程，就可以得到上方鏈條總比下方鏈條的拉力大一個(gè)ΔT，A端的拉力就是鏈條各部分ΔT的總和。

靜態(tài)平衡類微元法中代表性問題是非質(zhì)點(diǎn)類質(zhì)量連續(xù)可變或非點(diǎn)電荷但電荷連續(xù)可變模型。涉及圍繞圓臺(tái)側(cè)壁上的彈性繩子中某一點(diǎn)的拉力計(jì)算和均勻帶電圓環(huán)在其中心軸線上某點(diǎn)處電場強(qiáng)度計(jì)算等靜止?fàn)顟B(tài)問題分析（2010年福建省高考第18題）。這類問題中的對(duì)象與學(xué)生熟悉的輕繩、可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊不同，由于不能準(zhǔn)確找到微元切入點(diǎn)，普遍反映無從下手。另外，微元的受力分析還需要有較強(qiáng)的空間想象能力，也必然給學(xué)生造成不小的障礙。

2 微元法運(yùn)用之困和應(yīng)對(duì)策略

學(xué)生在微元法的運(yùn)用上普遍存在比較明顯的困難，原因可以歸納為以下幾個(gè)方面：一是微元法分析的時(shí)機(jī)選擇。高中階段處理變力做功和變力的沖量通常是用動(dòng)能定理和動(dòng)量定理來分析，但該過程的初末速度不明確時(shí)，無法從動(dòng)能變化和動(dòng)量變化反推變力功和變力沖量，就該考慮運(yùn)用微元法分析過程。二是微元選取和構(gòu)建模型困難，學(xué)生們面對(duì)連續(xù)的空氣、水柱等流體對(duì)象很難建立有具體形狀的“元對(duì)象”和“元過程”，如何化無形為有形是關(guān)鍵，將流動(dòng)對(duì)象“固定”并轉(zhuǎn)化為熟悉的物塊或小球。三是教師注重公式和定理定律教學(xué)，忽視物理思想方法的重要性。學(xué)生運(yùn)用微元法機(jī)會(huì)普遍較少，也缺乏系統(tǒng)性專題學(xué)習(xí)和練習(xí)鞏固。很多教師不愿意在這種物理思想和數(shù)學(xué)方法上花費(fèi)時(shí)間和精力，學(xué)生停留在知曉微元思想，處在學(xué)過也聽得懂，但不會(huì)用的尷尬局面。四是微元運(yùn)算中有一些數(shù)學(xué)上的近似計(jì)算技巧，學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)基本功不夠扎實(shí)，所以在推導(dǎo)和演算環(huán)節(jié)上磕磕絆絆，進(jìn)而產(chǎn)生畏難情緒。

高考是選拔性考試，試題命制背景新穎，思維靈活，更加注重物理思想方法和對(duì)物理概念的理解。微元法是高中物理和大學(xué)物理研究問題方式的一種轉(zhuǎn)變，在高考試題中，微元法能否熟練運(yùn)用常常是鑒別優(yōu)秀學(xué)生的一塊“試金石”。針對(duì)以上原因，筆者提供以下建議以供借鑒：

一是注重新課教學(xué)中微元法的滲透式教學(xué)，要積極創(chuàng)設(shè)條件讓學(xué)生主動(dòng)接觸微元法。可以從瞬時(shí)速度的定義和通過圖像法推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移等教學(xué)活動(dòng)中注重感受微元思維方法特征;從F-X圖像中分析彈簧彈力做功，讓學(xué)生感受微元法研究過程的優(yōu)點(diǎn);從自主推導(dǎo)電流的微觀定義表達(dá)式和安培力推導(dǎo)洛倫茲力表達(dá)式，真切體會(huì)微元法的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)技能的提升。根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的順序，先后通過實(shí)驗(yàn)、理論、實(shí)踐、運(yùn)用等方式，讓學(xué)生體驗(yàn)研究對(duì)象和研究過程可以“分割”、“切片”、“累加”的微元思維，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)學(xué)生綜合分析能力的有效提升。在高一初始學(xué)習(xí)過程中要讓學(xué)生有感性認(rèn)識(shí)，從熟悉的案例中類比遷移，側(cè)重微元思想的理解，淡化數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧的展現(xiàn)。高二階段要側(cè)重微元思想方法領(lǐng)悟，注重微元思維訓(xùn)練，感受變力與恒力、直線與曲線的辯證統(tǒng)一思想。高三階段注重微元法在具體案例運(yùn)用，有效提高學(xué)生解決實(shí)際問題能力。

二是注重教學(xué)過程中的畫圖環(huán)節(jié)，做到教師主動(dòng)畫學(xué)生自覺畫，在圖畫中定格時(shí)間明確“元過程”和“元對(duì)象”，通過圖畫明確直觀易懂的研究過程和研究對(duì)象，把連續(xù)變化的抽象對(duì)象轉(zhuǎn)化為有具體大小、形狀、體積、質(zhì)量的“物塊”。高中物理首先是畫出來的，畫不好過程找不到研究對(duì)象就不可能解決好復(fù)雜問題。通過教師言傳身教，做到老師常畫圖，學(xué)生敢畫圖，明確“元過程”或“元對(duì)象”，大膽用好微元法解決壓軸題。

三是要細(xì)心審題，注意提煉信息構(gòu)建物理模型，觀察物理量之間的關(guān)聯(lián)性，在動(dòng)態(tài)過程類問題中從時(shí)間和空間兩個(gè)維度上做好過程分析，從已知物理量和待求物理量間找到有普遍性的微過程，在靜態(tài)平衡類問題中找準(zhǔn)微對(duì)象進(jìn)行受力分析，聚沙成塔，見微知著實(shí)現(xiàn)局部到整體的轉(zhuǎn)變。

四是區(qū)分高考和競賽的不同要求，不宜將競賽類型的試題引入高考復(fù)習(xí)備考中來。高考中對(duì)微元法的考察是側(cè)重于對(duì)微元思想的理解和簡單運(yùn)用，切不可按照物理競賽中的能力要求進(jìn)行微元教學(xué)。過度對(duì)微元的數(shù)學(xué)極限計(jì)算，一方面給學(xué)生增加不必要的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，另一方面也會(huì)讓教學(xué)誤入歧途，事倍功半。

微元法是物理高考中的難點(diǎn)，是選拔優(yōu)秀學(xué)生的“試金石”，建議教師們在教學(xué)過程中營造氛圍，注意微元思想在日常教學(xué)活動(dòng)中的滲透和進(jìn)階訓(xùn)練，配合畫圖和圖像分析并有效控制好難度，必定能夠幫助更多學(xué)生掌握微元法，讓他們在高考選拔中脫穎而出。