談?wù)劯咧袑W(xué)生數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的方法

摘要：學(xué)生思維方法的訓(xùn)練，應(yīng)從學(xué)生的實際出發(fā)，把握學(xué)生思維提升的途徑。只有從對學(xué)生思維訓(xùn)練的教學(xué)認(rèn)真做起，才能有效地提升學(xué)生的思維能力，提升解決實際問題的能力。

關(guān)鍵詞：高中;數(shù)學(xué);思維訓(xùn)練

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求在教學(xué)中重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程與方法，注重學(xué)生學(xué)會自我學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)提供基本的思維方法。而在我們實際教學(xué)中學(xué)生存在的最大問題是相當(dāng)部分的同學(xué)想學(xué)卻不知道如何學(xué)，也不明白什么是學(xué)習(xí)最要緊的東西。就我個人的教學(xué)經(jīng)驗來看，主要是學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練不足，太過于注重知識的傳授。其實，數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，本人在連續(xù)多年的高三數(shù)學(xué)教學(xué)中對此深有體會。沒有有效的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，往往在高考中，只能對做過的題型進(jìn)行簡單的模仿，而對比較陌生的題目就會出現(xiàn)無從下手的現(xiàn)象。

思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律性間接和概括的反映。數(shù)學(xué)思維方法同其他學(xué)科的思維方法是有共同之處的，其基本的思維方式也包括分析、比較、分類、抽象、概括、具體化、系統(tǒng)化、判斷、推理等。這些思維方式在平時經(jīng)常出現(xiàn)于我們的題目中，而且平時教學(xué)也常常掛在嘴上。但具體如何進(jìn)行分析、如何進(jìn)行概括……我們常常不注重這方面的教學(xué)，而我們學(xué)生的思維障礙卻往往在于此，所以我們教學(xué)中思維方法的訓(xùn)練就顯得十分重要。下面就個人教學(xué)中的體會談幾點看法，以期能夠起到拋磚引玉的作用。

一、 訓(xùn)練發(fā)散性思維，提高數(shù)學(xué)思維的靈活性

發(fā)散性思維表現(xiàn)為對一個問題能夠從多方面沿著不同方向去思考得出結(jié)論。發(fā)散思維訓(xùn)練的方法我的觀點是重點提倡研究性學(xué)習(xí)。學(xué)生每遇到一個問題，必須以這個問題為中心，展開自己思維的翅膀去尋求不同的解決途徑。老師在教學(xué)過程中，可以運用多種解題思路，從不同的角度和不同的途徑去指導(dǎo)學(xué)生探究問題的最終結(jié)果，讓學(xué)生在一題多解的教學(xué)活動中提高自己思維的靈活性。

【例1】已知x，y≥0，x+y=1，求x2+y2的最小值和最大值。

方法一：（函數(shù)觀點）由x+y=1得y=1-x，則x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x-122+12，由于x∈[0，1]，利用二次函數(shù)的開口方向和對稱軸方面的知識，可以得到當(dāng)x=12時，x2+y2的最小值為12;當(dāng)x=0或1時，x2+y2的最大值為1。所以函數(shù)方程思想是高中階段最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它可以揭示兩個變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。對于雙變量或多變量的最值問題，我們可以通過變量替代化歸為單變量問題，最后用函數(shù)單調(diào)性方面的知識來解決，這是一種很常見的數(shù)學(xué)思想方法。

方法二：（三角換元觀點）因為x+y=1，x≥0，y≥0，則可以設(shè)x=cos2α，y=sin2α，其中α∈0，π2，則x2+y2=cos4α+sin4α=（cos2α+sin2α）-2sin2αcos2α=1-12（2sinαcosα）2=1-12sin22α=1-12×1-cos4α2=34+14cos4α。于是，當(dāng)cos4α=-1時，x2+y2的最小值是12;當(dāng)cos4α=1時，x2+y2的最小值是1。三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想方法之一，我們可以通過三角換元把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)方面的有關(guān)知識來解決問題。

方法三：（對稱換元觀點）因為x+y=1，x≥0，y≥0，所以我們可設(shè)x=12+m，y=12-m，其中m∈-12，12，那么有x2+y2=12+m2+12-m2=12+2m2，m2∈0，14，所以當(dāng)m2=0時，x2+y2的最小值是12;當(dāng)m2=14時，x2+y2的最大值是1。從對稱換元觀點發(fā)現(xiàn)，對稱換元變換后結(jié)果非常簡潔，從而我們更容易求出問題的最小值與最大值。

方法四：（基本不等式觀點）因為x+y=1，x≥0，y≥0，則xy≤x+y2=14，可以得到0≤xy≤14，那么x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)xy=0時，x2+y2的最大值是1;當(dāng)xy=14時，x2+y2的最小值是12。我們發(fā)現(xiàn)基本不等式的靈活運用，可以解決部分含有兩個未知量的最值問題，但要注意“一正、二定、三相等”三個方面條件的符合。

方法五：（解析幾何觀點）我們可設(shè)d=x2+y2，那么d代表動點P（x，y）到原點O（0，0）的距離，因此我們只要求線段x+y=1x≥0，y≥0上的點到原點的最大和最小距離即可。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)動點P與A或B重合時，dmax=1，則x2+y2的最大值是1;當(dāng)OP⊥AB時d的最小值是22，則x2+y2的最小值是12。我們看到幾何觀點和代數(shù)觀點的互相轉(zhuǎn)化，可以強化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成和提高，可以讓學(xué)生在數(shù)和形的理解上把握好一個很好的思維尺度，能夠使學(xué)生由數(shù)想到形，由形想到數(shù)，從而達(dá)到快速解決問題的目的。

一題多解的訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)課上一種常見的教學(xué)方式，它可以引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生從多方面、多角度的去分析、思考同一類問題，引導(dǎo)學(xué)生利用知識間的縱橫聯(lián)系，學(xué)會從不同角度去思考解決問題的方法以及靈活的思維方式，從而培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

二、 訓(xùn)練轉(zhuǎn)化與化歸的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的獨創(chuàng)性

思維的獨創(chuàng)性是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中，能根據(jù)自己的目標(biāo)和方向展示出來的一種主動的、獨創(chuàng)的、富有新穎特點的數(shù)學(xué)思維方式。思維的獨創(chuàng)性是要使學(xué)生不受傳統(tǒng)的習(xí)慣和思維的禁錮，要跳出一般套路的思維定式。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要對所學(xué)習(xí)過的概念、公理、定理、推論、法則、解題方法、解題策略提出屬于自己的觀點、想法，提出合情合理的懷疑和挑剔。在教學(xué)過程中，我們會常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生提出富有個性見解的時候，他們往往會有“思維火花”的閃現(xiàn)。對于思維獨創(chuàng)性的訓(xùn)練，重點是在于化歸與轉(zhuǎn)化思想這種能力的培養(yǎng)。也就是指在解決問題時，我們要引導(dǎo)學(xué)生從實際出發(fā)，通過分析問題，從中發(fā)現(xiàn)問題與條件的某種內(nèi)在聯(lián)系或某種內(nèi)在規(guī)律，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題，采用一定手段使其化歸與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題轉(zhuǎn)化為比較容易解決的、熟悉的、規(guī)范甚至簡單或模式化的問題的一種思路方式。

【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0有兩個實數(shù)根x1，x2，證明：若|x1|<2，|x2|<2，則 2|m|<4+n，且|n|<4。

證明：∵二次函數(shù)y=x2+mx+n的開口向上，|x1|<2，|x2|<2。所以一定有f（-2）>0，f（2）>0，即4+2m+n>04-2m+n>0，∴2m>-（4+n）2m<4+n，∴2|m|<4+n。又由韋達(dá)定理可以得到|n|=|x1x2|<4。

本題我們利用一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式三者之間的內(nèi)在關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生把一元二次方程的實數(shù)根的問題巧妙地轉(zhuǎn)化成研究或討論二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的問題，讓學(xué)生將轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿在整個解題過程之中。

三、 訓(xùn)練抓住事物本質(zhì)的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的概括性

思維的概括性指的是通過思維活動把同一類事物共同的本質(zhì)屬性抽取出來，加以概括，或把概括出來的認(rèn)識推廣到同類現(xiàn)象中去。思維的概括性反映學(xué)生對客觀事物內(nèi)在關(guān)系和規(guī)律性的認(rèn)識。近年來不管是新課程教學(xué)，還是在高考的命題方向上都體現(xiàn)了訓(xùn)練或考查學(xué)生思維的概括性這一思維特征。新課程的教學(xué)強調(diào)過程與方法，這幾年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的閱讀文字量的大大增加，學(xué)生思維的概括性不強是無法應(yīng)對這類題型的。對于思維概括性的訓(xùn)練，關(guān)鍵是如何引導(dǎo)學(xué)生抓住事物的本質(zhì)。

【例3】設(shè)函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是：（A）D（x）的值域為{0，1};（B）D（x）是偶函數(shù);（C）D（x）不是周期函數(shù);（D）D（x）不是單調(diào)函數(shù)。

這是狄利克雷函數(shù)，此題看似很簡單，但卻對函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等概念的內(nèi)涵要求頗高，而我們在教學(xué)中只在概念的外延上一味地拔高，比如f（x+T）=-1f（x）可推函數(shù)f（x）的周期為2T，經(jīng)常訓(xùn)練此類題目，而忽視函數(shù)周期性中周而復(fù)始的概念的內(nèi)涵本質(zhì)，可想而知，對這個選擇題，我們所教的考生能做多好。所以我們在教學(xué)中，只有緊緊把握概念教學(xué)的深入挖掘，抓住概念的本質(zhì)，讓每個學(xué)生準(zhǔn)確的理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延，不管是基礎(chǔ)題還是應(yīng)用題，甚至能力題，學(xué)生都能得心應(yīng)手地面對。

學(xué)生思維方法的訓(xùn)練，應(yīng)從學(xué)生的實際出發(fā)，把握學(xué)生思維提升的途徑。只有從對學(xué)生思維訓(xùn)練的教學(xué)認(rèn)真做起，才能有效地提升學(xué)生的思維能力，提升解決實際問題的能力。我們在教學(xué)中要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，有目的、有計劃地對學(xué)生開展思維訓(xùn)練，使學(xué)生掌握解題的常見思想方法，逐步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生能夠輕松應(yīng)對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提高到更高的境界。

作者簡介：

邱愛福，福建省石獅市，福建省石獅市第一中學(xué)。