趣說(shuō)平方根和立方根

林革

同學(xué)們學(xué)習(xí)了平方根和立方根的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)“√”“3√”等都已經(jīng)熟悉并能自如地使用，可以切身體會(huì)到在使用它時(shí)的便利性，不過(guò)，對(duì)于根號(hào)的由來(lái)和演變，許多人也許并不清楚.說(shuō)起來(lái)，這可是一段相當(dāng)曲折的過(guò)程呢！

古時(shí)候，埃及人用記號(hào)“「”表示平方根，印度人在開平方時(shí)，在被開方數(shù)的前面寫上ka.公元2世紀(jì)的羅馬人則用拉丁詞語(yǔ)latus（正方形的邊）表示平方根，這個(gè)詞的首字母1后來(lái)成為歐洲重要的表示平方根的符號(hào)，在16世紀(jì)，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個(gè)字母的大寫R來(lái)表示開方運(yùn)算，并且后面跟著拉丁文“平方”的第一個(gè)字母q，或拉丁文“立方”的第一個(gè)字母c，來(lái)表示開的是多少次方.例如，現(xiàn)在的、√4352，當(dāng)時(shí)就寫成R.q.4 352.

1624年，英國(guó)人布里格斯分別以1、13、II表示平方根、立方根和四次方根.后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（1596-1650）在《幾何學(xué)》一書中正式創(chuàng)設(shè)了符號(hào)“√”并自然演變成“√ ”，繼而被人們普遍接受并采納.只要你注意到“√”和“√一”的不同，就能理解其演變過(guò)程.因?yàn)椤啊桃弧卑瑑蓚€(gè)部分：左邊的“√”是由字母r演變而來(lái)的：至于上面的那條“短線”，則相當(dāng)于現(xiàn)在使用的括號(hào).所以，“√ ”實(shí)際上是一個(gè)結(jié)合符號(hào).

“√”表示開平方，本來(lái)“√一”的左上角應(yīng)該寫一個(gè)數(shù)字2，但因?yàn)閿?shù)學(xué)上經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)開平方的情形，所以干脆約定俗成把2略去，只用“√一”表示開平方.但開立方、開4次方……則必須在“√一”的左上角寫上3，4，…，例如3√27，4√81等.

由此可見，根號(hào)的演變并非一帆風(fēng)順，也是“大浪淘沙始見金”的過(guò)程.事實(shí)證明，只有最簡(jiǎn)潔直觀、最方便實(shí)用的形式才能經(jīng)得起時(shí)間的考驗(yàn).同時(shí)說(shuō)明，任何一個(gè)新生事物的誕生絕非易事，只有經(jīng)歷不斷完善的過(guò)程，才能真正為人們所接受.

大家都知道，開方是指求一個(gè)數(shù)的方根的運(yùn)算，較之更為常見的加、減、乘、除四則運(yùn)算，開方要困難得多，碰到需要開方的問(wèn)題總是件讓人頭疼的事，如今的人們需要非特殊數(shù)的方根數(shù)據(jù)時(shí)，通常會(huì)查閱現(xiàn)成的《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》，而更省事的做法就是使用計(jì)算器或電腦.而在《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》沒有出現(xiàn)之前的時(shí)代，開方是件人們唯恐避之不及的難事，比如在歐洲被稱為“黑暗時(shí)代”的中世紀(jì)，大部分有文化的讀書人竟然不會(huì)開方.正因?yàn)檫@樣，《數(shù)學(xué)一人造的宇宙》中介紹的一種開方妙法格外引人注目，這種源自古巴比倫人的獨(dú)特算法，令人擊節(jié)嘆服.下面就以√19為例，向大家介紹別具一格的“巴比倫開方法”.

首先，我們可以通過(guò)計(jì)算器或查表得√19≈4.358 898 944.這樣的近似值把19的平方根寫到小數(shù)點(diǎn)后第9位，精確度已經(jīng)夠高，無(wú)需繼續(xù)拓展延伸，就放在一邊作為參照數(shù)值.

其次，就用“迭代”（迭代顧名思義就是指不停地代換，也指循環(huán)執(zhí)行的意思）來(lái)具體解釋“巴比倫開方法”的操作步驟.

第一次，設(shè)4為、√9的起始近似值，然后進(jìn)行如下計(jì)算：19÷4=4.75.接著求起始近似值4與商4.75的平均數(shù)，即（4.75+4）÷2=4.375，可以判斷，4.375的平方更接近于19.所以接下來(lái)就用相對(duì)準(zhǔn)確的4.375替代4.

第二次，仍采用與第一次一樣的兩次計(jì)算，其中的4由4.375代換，如法炮制的計(jì)算就是19÷4.375≈4.343.再求4.375與4.343的平均數(shù)，即（4.343+4.375）÷2=4.359，仍可以判斷.4.359的平方更接近于19.所以接下來(lái)就用更為準(zhǔn)確的4.359替代4.375. 第三次，19÷4.359≈4.358 798，（4.358 798+4.359）÷2=4.358 899.

第四次，19÷4.358 899 ≈4.358 898 9，（4.358 898 9+4.358 899）÷2=4.358 898 95.

第五次.19÷4.358 898 95≈4.358 898 937，（4358 898937+4358 89895）÷2 ≈4.358 898 944.

至此，經(jīng)過(guò)五次迭代后，所得√19的近似值已經(jīng)與參照數(shù)值完全吻合，說(shuō)明這種遞推結(jié)果非常精確，

而更令人驚奇的是，如果在假設(shè)√19的起始近似值時(shí)隨意離譜，比如設(shè)為7，居然也不礙事，只要按照上述步驟繼續(xù)操作，就會(huì)發(fā)現(xiàn)逐次接近、√19的近似值4.358 898 944.

毫無(wú)疑問(wèn)，這種奇特的開方法在科技文化相對(duì)落后的上古時(shí)代出現(xiàn)實(shí)屬不易，而其中的“迭代”還能自動(dòng)糾錯(cuò)，更堪稱奇觀.

接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)談?wù)動(dòng)嘘P(guān)立方根的速算.為了強(qiáng)化這種巧妙策略，不妨從別開生面的數(shù)學(xué)游戲著手，你準(zhǔn)備好了嗎？

請(qǐng)你先在心中任意選一個(gè)兩位數(shù)，然后把它三次方的計(jì)算結(jié)果告訴我，我能立即報(bào)出你選的兩位數(shù).相信許多同學(xué)都半信半疑：真這么神？沒錯(cuò)，只要你算出的結(jié)果正確，那我報(bào)出的結(jié)果也一定正確.

幾個(gè)回合下來(lái)，屢試不爽的結(jié)果肯定讓你有所察覺，其中一定有竅門.事實(shí)的確如此，下面就來(lái)揭秘：

我們先計(jì)算1至9的立方數(shù)，1³=1，2³=8， 3³=27， 4³=64， 5³=125， 6³=216，7³=343， 8³=512. 9³=729.

不難看出，原數(shù)與立方數(shù)的末位數(shù)字除了兩對(duì)特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系2←→8、3←→7，其余的都對(duì)應(yīng)相同.鑒于這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)律，可以把你報(bào)的結(jié)果分成兩節(jié)，從右到左的三個(gè)數(shù)字按原來(lái)順序作為第一節(jié)，余下的作為第二節(jié)，由第一節(jié)的末位數(shù)字確定立方根的個(gè)位數(shù)字，再由第二節(jié)的數(shù)確定立方根的十位數(shù)字.比如：你報(bào)的是314 432.把314 432分成兩節(jié)，由第一節(jié)432的末位數(shù)字2確定立方根的個(gè)位數(shù)字為8.由第二節(jié)314介于63和7：之間，按“就小脫大”法確定立方根的十位數(shù)字為6，因此314 432的立方根為68.再比如：你報(bào)的數(shù)是571 787，把571 787分成兩節(jié)，由第一節(jié)787的末位數(shù)字7確定立方根的個(gè)位數(shù)字為3，由第二節(jié)571介于83和93之間，按“就小脫大”法確定立方根的十位數(shù)字為8，因此571 787的立方根為83.有興趣的同學(xué)不妨驗(yàn)證一下.

看完以上有關(guān)根號(hào)的介紹以及求平方根和立方根的巧算和速算，現(xiàn)在你對(duì)平方根和立方根是不是有了新的認(rèn)識(shí)？