深度理解實數(shù)

孔凡哲

在人類發(fā)展史上，沒有哪一類數(shù)像實數(shù)一樣，蘊涵如此多的故事，這些故事不是傳說，而是史實.就讓我們到歷史長河中探尋實數(shù)背后的故事吧.

一、根植于豐富文化中的實數(shù)

在人類文明發(fā)展史中，古希臘時期是一個永遠無法忽略的時期.這個時期，為數(shù)眾多的數(shù)學家做出了永載史冊的貢獻.

以數(shù)學家畢達哥拉斯為首的畢達哥拉斯學派提出了“萬物皆數(shù)”，即世間萬物的所有數(shù)都可以表示為兩個整數(shù)之比的形式.

真是這樣嗎？那個時代，人類尚未認識到負數(shù)，當時的數(shù)是指0以及今天所說的正數(shù)，可以這樣說，當時所說的數(shù)，除了自然數(shù)，就是小數(shù).

自然數(shù)可以寫成分母為1的兩個自然數(shù)之比的形式，對于有限小數(shù)，當然可以化成分數(shù)，但是，對于無限循環(huán)小數(shù)，比如，0.35，該怎么辦呢？事實上，對于0.35，設它為x，于是.100x=35+x，從而，x=35/99.

如此，“萬物皆數(shù)”的觀點是“對”的.

可是，畢達哥拉斯學派的一位學者，無意中發(fā)現(xiàn)：將兩個邊長為1的小正方形分別沿著一條對角線剪開，得到四個完全一樣的等腰直角三角形，將其拼成一個大正方形，這個大正方形的面積自然是2，它的邊長a既不是1，也不是2，而在1和2之間不可能存在其他的自然數(shù)，如果a是分數(shù)（分子、分母不能約分），那么，a·a肯定還是一個分數(shù)，而且，分子、分母依然不能約分，自然不能等于2.這就奇怪了！

這個事實意味著，用小正方形的邊長1作為單位，度量面積為1的這個正方形的對角線，是無法度量的！“萬物皆數(shù)”的神話破滅了！

這個驚人的事實震驚了所有人，按照畢達哥拉斯學派的規(guī)矩，發(fā)現(xiàn)這個“奇怪結論”的人被處以重罰——據(jù)說，他在一條行駛的船上講述他的發(fā)現(xiàn)，行刑者將其裝入麻袋投入水中.

但是，√2是“淹不死”的！

在隨后的歷史進程中，人們接受了這個事實！不僅√2被發(fā)現(xiàn)，而且√3，√5等陸續(xù)被發(fā)現(xiàn).這就是無理數(shù)的由來！

二、深度理解多重含義的實數(shù)

實數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的，有理數(shù)都可以表示為兩個整數(shù)之比的形式，即分數(shù).而無理數(shù)其實是非?！坝欣怼钡模∷暮x非常豐富.

首先，無理數(shù)是真實存在的.

、/丁是邊長為1的正方形的對角線的長（如下頁圖1所示），、/了是邊長分別為1和2的長方形的對角線的長，、/了是邊長分別為、/7萬和1的長方形的對角線的長（如下頁圖2所示），而邊長分別為、/7歹和1的長方形，其對角線的長為2.

對于非零自然數(shù)n，邊長分別為1和√n的長方形，其對角線的長就是√n+1.

其次，無理數(shù)是無限小數(shù)，

我們已經知道，√2是面積為2的正方形的邊長.如圖3所示，面積為2的正方形的邊長a肯定在1到2之間.因為面積越大，邊長越長，所以邊長分別為1，a，2的正方形面積之間的關系為：1²2=2<2².可以清楚直觀地看出a在1和2之間，a的整數(shù)位上的數(shù)一定是1，可十分位上的數(shù)是多少沒有辦法看出來.

我們可以用0.1，0.01，0.001，…作為間距，依靠計算器探索它的十分位上的數(shù)，百分位上的數(shù)，千分位上的數(shù)……如表1所示，可以發(fā)現(xiàn)a介于1.414 2與1.414 3之間.

a肯定是一個無限小數(shù)，因為假如a是一個小數(shù)點后有n位的有限小數(shù)，那么，a·a一定是一個小數(shù)點后有2n位的有限小數(shù)，而不可能是2.

最后，無理數(shù)具有不循環(huán)性，事實上，若無理數(shù)是循環(huán)小數(shù)，根據(jù)無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)，則它就不是無理數(shù)了，

三、數(shù)形結合理解實數(shù)

實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且有理數(shù)的運算法則與運算律對實數(shù)仍然適用，

在學習無理數(shù)之前，有理數(shù)對應的點密密麻麻地分布在數(shù)軸上，但是有空隙.無理數(shù)對應的點將數(shù)軸上有理數(shù)對應的點之間的空隙填滿，至此實數(shù)對應的點填滿了整個數(shù)軸，數(shù)軸上的每一個點，都可以唯一對應一個實數(shù).也就是說，實數(shù)可以表示任意一條線段的長度，并且同一條線段只有一個長度.

其實，我們可以用無限小數(shù)將所有的實數(shù)表示出來.因為任意有限小數(shù)也可以寫成無限小數(shù)的形式，只要是從某位之后永遠是9就可以了，例如5.38=5.379 999 99….你能解釋這個問題嗎？

事實上，利用實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應的關系，我們可將實數(shù)的大小關系轉化為點的位置關系，數(shù)軸正方向指向右方，數(shù)軸上右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)要大.恰當利用這個性質，可以解決許多問題.

例1 （2019年廣東）實數(shù)a ，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖4所示，下列式子成立的是（

）.

A.b

B.-a

C.a+b>0

D.a/b<0

6

解析：由數(shù)軸可知，一21>b，-2

特別地，可以利用正方形邊長與面積之間的相互關系“邊長越大，正方形的面積也越大：反之亦然”判斷邊長的大小關系，對于兩個無理數(shù)（或者兩個實數(shù)），當判斷其大小較困難時，有時也可以利用其平方之后的大小關系進行判斷.

對于a>0，b>0的情形：若a2>b2，則a>b.

對于a<0， b<0的情形：若a2>b2，則a

例2 比較10/3和√11的大小.

實數(shù)是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》“數(shù)與代數(shù)”領域的重要內容.在學習本章之前，數(shù)學內容都是在有理數(shù)的范圍內討論的，學習了本章之后，我們就可以在實數(shù)范圍內研究數(shù)學問題，本章的主要內容是平方根和立方根的概念和求法，實數(shù)的有關概念和運算.實數(shù)的學習為后面學習二次根式、一元二次方程等知識打下堅實的基礎，

四、實數(shù)對加、減、乘、除（除數(shù)不為0）乘方運算都是封閉的

實數(shù)可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，運算的結果仍然是實數(shù)，這就是說，運算是封閉的，非負數(shù)（正數(shù)和0）可以進行開平方運算.任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.

在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算律，以及有理數(shù)關于絕對值和相反數(shù)的意義，都適用于實數(shù).

在學習實數(shù)的過程中，有一些知識點容易混淆，需要進一步明確，比如，無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不都是無理數(shù);帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù);兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù);一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的和、差一定是無理數(shù)，但是，它們的積、商可能是有理數(shù)等，

例3在實數(shù)原有運算基礎上，補充新運算“*”如下：

當a≥b時，a*b=b2;當a

當x=√2時，（1*x）.x-（3*x）=____.（“·”和“一”仍為實數(shù)運算中的乘號和減號）

解析：本題用“*”定義了一種新運算，關鍵是深刻理解新運算符號“*”的意義，再將新運算轉化為熟悉的加、減、乘、除、乘方等運算.

在實數(shù)中，解決新定義運算型問題與解決常規(guī)的混合運算問題區(qū)別不大，只要按照新定義運算的規(guī)律、法則將其轉化為熟悉的運算即可.

練一練

1.如果在實數(shù)原有運算基礎上，新定義“@”的運算法則為x@y =xy -1，那么，（2@3）@4=____.

2.（2019年寧波）請寫出一個小于4的無理數(shù)：____.

參考答案：1. 19 2.答案不唯一，如√15等，