受振幅阻尼和熱噪聲共同影響的克爾介質(zhì)主方程的解析解

孟祥國(guó) 劉鈞毅

(聊城大學(xué) 山東省光通信科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、物理科學(xué)與信息工程學(xué)院，山東 聊城 252059)

由于強(qiáng)克爾介質(zhì)非線性系統(tǒng)在非破壞性測(cè)量[1]、量子計(jì)算[2]和單粒子探測(cè)[3]等方面有著重要應(yīng)用，但環(huán)境噪聲對(duì)克爾介質(zhì)非線性強(qiáng)度的減弱作用又是不可避免的[4-6]，故噪聲克爾介質(zhì)中光場(chǎng)的非線性相互作用在目前受到廣泛關(guān)注.如，文獻(xiàn)[7]和[8]分別討論振幅阻尼和熱環(huán)境影響下克爾介質(zhì)中系統(tǒng)的密度算符、維格納函數(shù)以及光子數(shù)分布隨時(shí)間的解析退相干演化規(guī)律；文獻(xiàn)[9]研究了在非線性克爾介質(zhì)和參量振蕩器作用下相干態(tài)的時(shí)間演化，并分析了不同哈密頓量參數(shù)下的概率振幅、自相關(guān)函數(shù)和Husimi分布函數(shù)；而文獻(xiàn)[10]考察了耗散克爾介質(zhì)中相干態(tài)的傳輸特性，發(fā)現(xiàn)非線性相位噪聲限制了具有“類克爾”非線性耗散單模玻色通道上以相位變量傳輸經(jīng)典信息的能力.

然而，以往的研究主要集中討論單一噪聲(如振幅阻尼[7]、熱噪聲[8]等)對(duì)克爾介質(zhì)中光場(chǎng)的非線性作用的影響.作為重要的推廣，Stobińska及其合作者首先把克爾介質(zhì)“浸”在振幅阻尼和熱噪聲同時(shí)存在的環(huán)境，并通過(guò)數(shù)值求解和分析維格納函數(shù)滿足的福克-普朗克方程，揭示了共同存在的兩種噪聲對(duì)克爾介質(zhì)中光場(chǎng)的影響[11].與Stobińska的數(shù)值求解方法不同，本文利用連續(xù)變量熱場(chǎng)糾纏態(tài)表象[12,13]，解析求解了受振幅阻尼和熱噪聲同時(shí)影響的克爾介質(zhì)主方程，并給出了含時(shí)密度算符的無(wú)限維克勞斯算符和表示.

1 受兩種噪聲影響的克爾介質(zhì)的量子主方程

根據(jù)馬爾科夫近似理論，當(dāng)克爾介質(zhì)受振幅阻尼和熱噪聲同時(shí)影響時(shí)，系統(tǒng)的含時(shí)密度算符在相互作用表象中滿足量子主方程[11]

(1)

式中ρt為t時(shí)刻系統(tǒng)的密度算符，a(a?)為系統(tǒng)的湮滅(產(chǎn)生)算符，Γ為振幅阻尼系數(shù)，N=1/(e?-1)為熱庫(kù)的平均光子數(shù)，參數(shù)?,ω,k和T分別為普朗克常數(shù)、諧振子頻率、玻爾茲曼常數(shù)和熱場(chǎng)的溫度.κ為與克爾介質(zhì)的非線性極化率χ(3)有關(guān)的非線性常數(shù).特殊地，當(dāng)N→0且Γ為有限值時(shí)，主方程(1)變成了受振幅阻尼噪聲影響的克爾介質(zhì)的量子主方程[7]

(2)

當(dāng)?！?且N→時(shí)，這樣ΓN(≡ε)為有限值，主方程(1)變成受熱噪聲影響的克爾介質(zhì)的量子主方程[8]

(3)

而當(dāng)?！?且N→0時(shí)，主方程(1)退化為描述克爾介質(zhì)的主方程，即dρt/dt=-iκ[(a?a)2,ρt].因此，利用熱場(chǎng)糾纏態(tài)表象去分析受兩種噪聲影響的克爾介質(zhì)中密度算符的解析演化是非常有意義的.

2 熱場(chǎng)糾纏態(tài)表象

根據(jù)Umezawa-Takahash熱場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，在擴(kuò)展的?？丝臻g中，文獻(xiàn)[12,13]引入了描述系統(tǒng)與環(huán)境之間量子糾纏的熱場(chǎng)糾纏態(tài)|τ〉，其具體表達(dá)式為

(4)

式中D(τ)為平移算符，b?為環(huán)境(虛)模的產(chǎn)生算符，與系統(tǒng)(實(shí))模的產(chǎn)生算符a?相對(duì)應(yīng)，且存在對(duì)易關(guān)系[b,b?]=1和[b,a?]=0.當(dāng)把系統(tǒng)和環(huán)境的湮滅算符a,b分別作用到態(tài)|τ〉，可導(dǎo)出如下本征方程

(a-b?)|τ〉=τ|τ〉, (a?-b)|τ〉=τ*|τ〉,〈τ|(a?-b)=τ*〈τ|, 〈τ|(a-b?)=τ〈τ|.

(5)

(6)

a|τ=0〉=b?|τ=0〉,a?|τ=0〉=b|τ=0〉,a?a|τ=0〉=b?b|τ=0〉,

(7)

故在糾纏態(tài)|τ=0〉下，系統(tǒng)(實(shí)模)和環(huán)境(虛模)的算符存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系

a?b?,a??b,a?a?b?b,

(8)

利用此對(duì)應(yīng)關(guān)系能把方程(1)中的密度算符主方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于態(tài)矢量|τ=0〉的方程.

類似地，引入另一個(gè)與態(tài)|τ〉共軛的熱糾纏態(tài)|ζ〉，其具體的表達(dá)式為

(9)

它們具有如下完備正交性

(10)

3 噪聲克爾介質(zhì)主方程的解析解

把主方程(1)的兩端同時(shí)作用到態(tài)|τ=0〉上，利用算符對(duì)應(yīng)關(guān)系(8)并定義態(tài)|ρt〉≡ρt|τ=0〉，可得

(11)

這樣，我們可直接給出態(tài)矢量|ρt〉的標(biāo)準(zhǔn)解

|ρt〉=exp{-iκt[(a?a)2-(b?b)2]+Γt(2ab-a?a-b?b)+NΓt(ab+a?b?-a?a-bb?)}|ρ0〉,

(12)

其中|ρ0〉≡ρ0|τ=0〉，ρ0為初始的密度算符.引入算符

K+=a?b?,K-=ab,K0=a?a-b?b, 2Kz=a?a+b?b+1,

(13)

式中K+,K-和Kz構(gòu)成SU(1,1)李代數(shù)，具有對(duì)易關(guān)系[K-,K+]=2Kz，[Kz,K±]=±K±，而K0為Casimir算符，與SU(1,1)李代數(shù)算符Kz,K±均對(duì)易，即[K0,K±]=[K0,Kz]=0.這樣，利用SU(1,1)李代數(shù)算符及其滿足的對(duì)易關(guān)系，可把式(12)改寫為

|ρt〉=exp{-iκtK0(2Kz-1)+Γt(2K-+1-2Kz)+NΓt(K++K--2Kz)}|ρ0〉=exp[(Γ+iκK0)t]exp(λ+K++λzKz+λ-K-)|ρ0〉,

(14)

式中

λ+=NΓt,λ-=(N+2)Γt,λz=-2[(N+1)Γ+iκK0]t.

(15)

進(jìn)一步，通過(guò)利用涉及SU(1,1)李代數(shù)的解糾纏定理，可把糾纏項(xiàng)exp(λ+K++λzKz+λ-K-)分解為

(16)

式中

(17)

因此，式(14)可表示為

(18)

(19)

式中參數(shù)Δ±,Δz和Π分別為

(20)

進(jìn)一步，利用恒等式

(21)

可有

(22)

利用式(22)把式(19)改寫為

(23)

把態(tài)|τ=0〉從式(23)的左右兩端同時(shí)去掉，則得到量子主方程(1)的標(biāo)準(zhǔn)解，即

(24)

上式表明，一旦給定初始態(tài)ρ0，易給出任意時(shí)刻的密度算符ρt，并為進(jìn)一步分析初始態(tài)ρ0的時(shí)間演化特性及其非經(jīng)典性質(zhì)等提供方便.實(shí)際上，此解也可表示為無(wú)限維克勞斯算符和表示，即

(25)

(26)

雖不是厄米共軛關(guān)系，但滿足克勞斯算符的歸一化條件(見(jiàn)式(33))，故稱之為廣義克勞斯算符. 特別地，當(dāng)N→0且Γ為有限值時(shí)，由于λ+=0,λ-=2Γt,λz=-2(Γ+iκK0)t，那么我們有

(27)

式(25)變成僅受振幅阻尼噪聲影響的克爾介質(zhì)的量子主方程的解析解.當(dāng)?！?且N→時(shí)，由于ε=ΓN為有限值，這樣λ+=λ-=εt,λz=-2(ε+iκK0)t，則有

(28)

(29)

可見(jiàn)，初始態(tài)ρ0在克爾介質(zhì)中不發(fā)生退相干效應(yīng).

4 克勞斯算符的歸一化

(30)

把相干態(tài)的完備性關(guān)系插入式(30)中，得到

(31)

這樣，利用相干態(tài)的密度算符的正規(guī)乘積表示[17]

|z〉〈z|=:exp(-|z|2+za?+z*a-a?a):

(32)

和積分公式

(33)

可證明廣義克勞斯算符滿足歸一化條件，即

(34)

(35)

總之，本文利用連續(xù)變量熱場(chǎng)糾纏態(tài)表象下系統(tǒng)(實(shí)模)與環(huán)境(虛模)間的算符對(duì)應(yīng)關(guān)系，推導(dǎo)出了受振幅阻尼和熱噪聲同時(shí)影響的克爾介質(zhì)量子主方程的解析解，即系統(tǒng)的密度算符隨時(shí)間的解析退相干演化規(guī)律，并給出了解析解的無(wú)限維廣義克勞斯算符和表示.此解析解能為進(jìn)一步探查初始態(tài)的維格納函數(shù)、光子數(shù)分布等函數(shù)以及非經(jīng)典性質(zhì)的時(shí)間演化提供便利.此外，還發(fā)現(xiàn)廣義克勞斯算符滿足歸一化條件，且是保跡操作.