一道導(dǎo)數(shù)題的探究及發(fā)現(xiàn)

朱允洲

[摘要]導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)問題之一，也是難點(diǎn)之一.故對(duì)一道導(dǎo)數(shù)題進(jìn)行探究，為廣大教師進(jìn)行有效性教學(xué)提供借鑒與啟示.

[關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù)高中數(shù)學(xué)探究 發(fā)現(xiàn)

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）020063

問題：設(shè)函數(shù)f（x）=ax+sinx+cosx，若函數(shù)f（x）的圖像存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得曲線y=f（x）在A，B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

這是一道期末考試題，本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、三角函數(shù)的知識(shí)，以及學(xué)生對(duì)存在性問題的分析、處理的能力.

筆者課后統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)此題的正確率很低，主要原因有兩個(gè)：第一、雖然導(dǎo)數(shù)是新教材的熱點(diǎn)，考查的難度一般不大，但教師對(duì)其教學(xué)難度的定位趨于一般化，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)綜合題的處理能力較弱；二、本題涉及了轉(zhuǎn)化的思想和對(duì)存在性問題靈活處理的方法，綜合性較強(qiáng).

解析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）=a+2cos（x+π4），其值域?yàn)閇a-2，a+2]，將此區(qū)間記為I.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，原問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在u，v∈I使得uv=-1（1）.不妨設(shè)u<0，v>0，則a-2≤u<0

0

uv=-1（2）.消去v，（2）式可化為a-2≤u≤-1a+2，因?yàn)槿粢獫M足此式的u存在，所以必有a-2≤-1a+2，解得a∈[-1，1].

幾何解釋：考慮函數(shù)v=-1u，動(dòng)區(qū)間I始終包含原點(diǎn)，其長(zhǎng)度為22.如右圖，在函數(shù)v=-1u的圖像上任取一點(diǎn)M（不妨設(shè)uM<0），則uMvM=-1，在兩個(gè)坐標(biāo)軸上分別取P，Q，R，使得PM⊥OP，|OQ|=|OR|=|PM|，則|uM|+|vM|=|OP|+|PM|=|PQ|，|PQ|的大小隨M的運(yùn)動(dòng)而變化，其范圍是[2，+∞）.對(duì)于（1）式，可從另一個(gè)角度理解為：存在M，使得[uP，uQ]I.若|PQ|≤22，則總有[uP，uQ]I成立，因此要使得（1）成立，只要|PQ|≤22，即|uM|+vM≤22，由-uM+-1uM≤22，解得-2-1≤uM≤-2+1，所以動(dòng)區(qū)間I的左端點(diǎn)a-2應(yīng)滿足：-2-1≤a-2≤-2+1，故a∈[-1，1].（對(duì)于uM>0的情況，同理可求）

根據(jù)上面的探究方法，我們發(fā)現(xiàn)如下一般的結(jié)論.

結(jié)論1設(shè)函數(shù)f（x）=ax+msinx+ncosx（m2+n2≥1），若函數(shù)f（x）的圖像上存在不同的兩點(diǎn)A，B使得曲線y=f（x）在A，B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[-m2+n2-1]，m2+n2-1].（當(dāng)m=n=1時(shí)，即為文首題中a的范圍）

結(jié)論2設(shè)函數(shù)f（x）=ax+g（x），若函數(shù)g（x）可導(dǎo)，g′（x）的值域?yàn)閇m，n]，且n-m≥2，若函數(shù)f（x）的圖像上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得曲線y=f（x）在A，B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[max{-m-n-（n-m）2-42，-n}，min{-m-n+（n-m）2-42，-m}].（當(dāng)m=-2，n=2時(shí)，即為文首題中a的范圍）

結(jié)論3設(shè)函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，且f′（x）的值域?yàn)閇a，b]，ab<0，則函數(shù)y=f（x）的圖像上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得y=f（x）在A，B處的切線互相垂直的充要條件是：ab≤-1.

證明：充分性是顯然的.下證必要性.

方法1：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖像上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得y=f（x）在A，B處的切線互相垂直，所以f′（xA）·f′（xB）=-1.又因?yàn)閒′（x）的值域?yàn)閇a，b]，ab<0，所以f′（xA）、f′（xB）∈[a，b].不妨設(shè)f′（xA）<0，則f′（xB）>0，于是a≤f′（xA）<0且0

方法2：由前面的幾何解釋我們知道，函數(shù)v=-1u的圖像上任意一點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的區(qū)間[uP，uQ]的長(zhǎng)度|PQ|≥2，因此，f（x）的圖像上如果存在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則應(yīng)有b-a≥2，因?yàn)閍<0，所以ab≤a（a+2），而[a（a+2）]min=-1，故ab≤-1.

注1：事實(shí)上，不難證明：當(dāng)a<0時(shí)，ab≤-1b-a≥2.

注2：文首題中，由（a-2）·（a+2）≤-1，即得a∈[-1.1].

（責(zé)任編輯鐘偉芳）