非均勻可穿透電介質(zhì)正散射問題的適定性

鄧 霞，葉建國(guó)

（1.長(zhǎng)沙師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410100；2.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844000）

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，聲波和電磁波的散射問題研究在生產(chǎn)和現(xiàn)實(shí)生活中顯得越來越重要，并具有越來越重要的應(yīng)用價(jià)值.聲波和電磁波的散射問題是礦產(chǎn)資源（如石油、煤田、金屬等）開發(fā)、物理工程勘探、材料及其結(jié)構(gòu)無損檢測(cè)和評(píng)價(jià)、地震前兆預(yù)測(cè)、癥腫瘤等疾病檢測(cè)、雷達(dá)和聲納探測(cè)、跟蹤等應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)[1-6].本文主要研究非均勻可穿透電介質(zhì)光波正散射問題的適定性.

1 正散射問題的描述

設(shè)電介質(zhì)為無限長(zhǎng)柱體，Ω 為該電介質(zhì)在二維平面上的投影區(qū)域，該有界區(qū)域具有光滑邊界?Ω.該電介質(zhì)的表面涂有金屬材料，假設(shè)電場(chǎng)極化為TM 模式，當(dāng)入射平面波（入射方向|d|=1）遇到涂有金屬材料的電介質(zhì)時(shí)，在電介質(zhì)邊界?Ω 產(chǎn)生傳輸邊界條件，該非均勻可穿透散射問題的模型可用Helmholtz方程的邊值問題描述為

其中∶波數(shù)kj＞0（j=1，2），阻抗率λ＞0，ν 表示光滑邊界?Ω 的外單位法向量，i=.全波U∶=ui+us是給定的入射波ui和與之相應(yīng)的散射波us之和，“±”表示x 沿法線方向從Ω 的外（內(nèi)）逼近邊界?Ω.此外，假設(shè)散射波us滿足Sommerfeld 衰減條件

正散射問題是指給定Ω，研究問題（1.1）和（1.2）解的存在性和唯一性.對(duì)于正散射問題一般采用邊界積分方程方法和變分法來研究[7].積分方程方法對(duì)邊界光滑的區(qū)域能夠給出解的積分表示，在數(shù)值計(jì)算時(shí)，只需在區(qū)域邊界離散，能使問題簡(jiǎn)化，有效降低計(jì)算的難度.本文使用邊界積分方程方法研究問題（1.1）和（1.2）的適定性.

2 正散射問題的適定性

本文用邊界積分方程方法來研究正散射問題解的存在唯一性.

2.1 正散射問題解的唯一性

定理2.1問題（2.1）至多有一個(gè)解.

證明 只需證明問題（2.1）對(duì)應(yīng)的齊次邊值問題只有零解.令BR={x∶|x|=r}，其中r 足夠大并使Ω?Br，設(shè)（u，ν）是問題（2.1）對(duì)應(yīng)的齊次邊值問題的解，分別在區(qū)域和Ω 內(nèi)使用Green 公式[7]，可得

由Rellich 引理[7]可得在內(nèi)有u=0.根據(jù)解析函數(shù)的唯一性原理可知在內(nèi)有u=0.由Holmgren 唯一連續(xù)性定理[8]可知在內(nèi)Ω 有ν=0.因此定理成立.

2.2 正散射問題解的存在性

由于散射體的邊界光滑，因此通過適當(dāng)?shù)亩x邊界積分算子，能夠?qū)⑦呏祮栴}（2.1）轉(zhuǎn)化為積分方程組，然后通過積分方程組解的存在性證明原邊值問題解的存在性.

2.2.1 邊界積分方程組的導(dǎo)出

首先定義單層位勢(shì)

證明 由引理2.1、引理2.2 和Fredholm 定理可知邊界積分方程組（2.20）存在唯一解.

結(jié)合定理2.1 和定理2.2，可得傳輸邊值問題（1.1）是適定的.

致謝：感謝華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院嚴(yán)國(guó)政教授及其科研團(tuán)隊(duì)對(duì)本研究的指導(dǎo)與幫助！