CPFS 結(jié)構(gòu)理論下的“正弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

（喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844000）

0 引言

新課改的實(shí)施，將普通高中學(xué)生數(shù)學(xué)所用的全日制普通高中教材更換為“普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)”，使得高中數(shù)學(xué)課程無(wú)論是教材內(nèi)容還是教材結(jié)構(gòu)都發(fā)生了較大的變化.對(duì)于“解三角形”這一模塊來(lái)說(shuō)，從結(jié)構(gòu)上新課標(biāo)將其重新整合安排在必修五的第一章節(jié)，在已有三角函數(shù)、平面向量的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)；內(nèi)容上相比以往大綱版教材則更加關(guān)注運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題[1].相比之下，新教材更加關(guān)注知識(shí)的運(yùn)用，契合新課標(biāo)所提出的“四基四能”.

“解三角形”作為高考中每年必考內(nèi)容，其重要程度可想而知.筆者分析了近幾年的高考試題后，發(fā)現(xiàn)在解題中需要運(yùn)用正弦定理的頻率非常高.高考試題中選擇、填空題主要考查公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，試題并不算難，學(xué)生解決起來(lái)也相對(duì)較為容易；而在解答題中，卻主要考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力，試題綜合性強(qiáng)，具有一定的解答難度.筆者通過(guò)試卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)正弦定理公式掌握較好，但是運(yùn)用并不理想，總會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.這意味著大多數(shù)學(xué)生對(duì)于定理的掌握仍停留在表面，對(duì)于一個(gè)概念或命題不能尋找與它等價(jià)或具有強(qiáng)（弱、廣義）抽象關(guān)系的其它概念或命題，頭腦中沒(méi)有形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

1 CPFS 結(jié)構(gòu)理論概述

2002 年，南京師范大學(xué)的喻平教授，根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特征，創(chuàng)新性地提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS 結(jié)構(gòu)理論.個(gè)體的CPFS 結(jié)構(gòu)包含概念域、概念系、命題域和命題系.它是學(xué)習(xí)者在腦海里內(nèi)化的一種數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，是對(duì)數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的一種表征.多項(xiàng)研究表明，學(xué)習(xí)者個(gè)體的CPFS 結(jié)構(gòu)對(duì)他們的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征、自我監(jiān)控、學(xué)習(xí)遷移、探究問(wèn)題、數(shù)學(xué)理解等方面都有正向積極的意義.

在概念學(xué)習(xí)方面，一個(gè)概念與它所有等價(jià)的概念所形成的圖式，叫概念域；一組具有強(qiáng)抽象、弱抽象和廣義抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)圖示，叫概念系.在命題學(xué)習(xí)方面，個(gè)體頭腦中形成關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)命題的一組等價(jià)命題的圖式叫做命題域；如果一組命題中，每一個(gè)命題都至少與其它命題有推出關(guān)系，那么這組命題的圖式叫做命題系.[2]

個(gè)體CPFS 結(jié)構(gòu)是問(wèn)題解決的基礎(chǔ)，對(duì)解題效果有直接明顯的影響.對(duì)于概念學(xué)習(xí)，如果學(xué)習(xí)者對(duì)概念沒(méi)有深度的了解，沒(méi)有形成完善的概念域和概念系，那么在面對(duì)一個(gè)概念從另一個(gè)方向來(lái)描述的問(wèn)題，只會(huì)不知所措.同樣，在一組等價(jià)命題中選出某些命題去解決不同的問(wèn)題時(shí)，理論上說(shuō)是等價(jià)的，但解題的難度卻大相徑庭.[3]

因此，筆者提出基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下“正弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，在腦海里形成良好的CPFS 結(jié)構(gòu)，提高解三角形中“正弦定理”的運(yùn)用能力.

2 基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下“正弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教材分析

“正弦定理”內(nèi)容位于“普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)”數(shù)學(xué)必修5 第一章“解三角形”中的第一節(jié).正弦定理是在學(xué)生已有銳角三角函數(shù)、向量及解直角三角形等命題的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷進(jìn)一步對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)并習(xí)得的，并為學(xué)生下一步學(xué)習(xí)“余弦定理”奠定了基礎(chǔ).因此，正弦定理在教材中起著承上啟下的重要作用.

2.2 學(xué)情分析

處于這一學(xué)習(xí)階段的學(xué)生具有思維活躍廣闊、注意力穩(wěn)定、學(xué)習(xí)自我意識(shí)強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也具有數(shù)學(xué)思維能力較差、抽象概括能力不足等缺點(diǎn).但是大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣較高，學(xué)習(xí)適應(yīng)度較高，且在已有三角函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，應(yīng)該并不困難.

學(xué)生在學(xué)習(xí)正弦定理前，已經(jīng)會(huì)用銳角三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的測(cè)量問(wèn)題，但是在實(shí)際生活中，我們還會(huì)遇見(jiàn)其他的測(cè)量問(wèn)題.這時(shí)候再用原來(lái)所學(xué)知識(shí)來(lái)解決就不夠用，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生接受起來(lái)更加自然合理.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握和運(yùn)用正弦定理；

（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索—發(fā)現(xiàn)—證明正弦定理的過(guò)程，獲得由特殊到一般的思維方式，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，獲得基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在正弦定理的發(fā)現(xiàn)和探索過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)正弦定理蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美；加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)情懷.

2.4 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程.

2.5 教學(xué)過(guò)程

2.5.1 情境引入

問(wèn)題1：每年農(nóng)歷八月十五，我們都會(huì)過(guò)一個(gè)傳統(tǒng)的節(jié)日——中秋節(jié).說(shuō)到中秋節(jié)，就不禁想到古代嫦娥奔月的故事.那同學(xué)們想過(guò)嫦娥從地球到月球到底飛了多遠(yuǎn)嗎？月球到地球的距離是多少呢？

問(wèn)題2：其實(shí)古時(shí)候的天文學(xué)家也思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并且解決了這個(gè)問(wèn)題.法國(guó)天文學(xué)家拉朗德及其學(xué)生拉卡伊面對(duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，就曾用一種數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)便工具”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.大家想知道他們是怎樣解決的嗎？

（教師提問(wèn)，學(xué)生回答.教師借助地月距離這一典型情景，引出課題.）

2.5.2 探索新知

思考：我們?cè)谥皩W(xué)習(xí)過(guò)三角形的哪些邊角數(shù)量關(guān)系？

（教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧之前所學(xué)的與三角形相關(guān)的概念或命題，為之后構(gòu)建命題系做好鋪墊.）

第一步 探索定理.

問(wèn)題：我們不能直接得到一般三角形中的邊角關(guān)系，就先考慮直角三角形這一特殊情形.如圖1 所示，在Rt△ABC 中，∠C 是最大的角，他所對(duì)的斜邊c 是最大的邊，該怎樣來(lái)尋找其中的邊角數(shù)量關(guān)系呢？

圖1

在正弦定理中，有

所以asinB＝bsinA，得到

又∠C＝90°，sinC＝1，所以

思考：在證明過(guò)程中我們用到了什么數(shù)學(xué)方法？如果是一般的三角形，上面的式子還成立嗎？

（教師引導(dǎo)學(xué)生利用歸納法證明直角三角形中的正弦定理，之后提出問(wèn)題，引起學(xué)生思考一般情況下式子是否成立？）

實(shí)驗(yàn)探究：利用幾何畫(huà)板做出一個(gè)三角形，測(cè)量出三角形的三邊邊長(zhǎng)和三個(gè)角的角度，隨機(jī)拖動(dòng)三角形某個(gè)頂點(diǎn)，改變?nèi)切蔚膬蓚€(gè)角度和邊長(zhǎng)，觀察邊長(zhǎng)及其對(duì)應(yīng)角的正弦值的比值情況，見(jiàn)圖2.

（教師利用幾何畫(huà)板示范，無(wú)論三角形的三邊或角度怎樣變化，各邊與其所對(duì)角的正弦的比依舊相等.借此以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也為之后證明一般三角形中的正弦定理做好鋪墊.）

圖2

第二步 證明定理.

思考：剛剛我們利用幾何畫(huà)板得出了三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，那我們?cè)撊绾巫C明它呢？

問(wèn)題1：如圖3 所示，當(dāng)△ABC 是銳角三角形時(shí)，該如何證明呢？依據(jù)三角函數(shù)的定義，是否可以構(gòu)造直角三角形來(lái)解決？

圖3

設(shè)BC 上的高是AD，如圖3 所示.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義有，

所以bsinC＝csinB .類比直角三角形中正弦定理的證明方法，可得，在△ABC 中，

問(wèn)題2：如圖4 所示，在鈍角三角形中呢，是否可以同樣根據(jù)構(gòu)造直角三角形來(lái)證明？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立探索，能夠證明出正弦定理嗎？

圖4

設(shè)BC 的延長(zhǎng)線上的高是AD，如圖4 所示.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義有

所以bsinC＝csinB.

類比直角三角形中正弦定理的證明方法，可得在△ABC 中有

第三步 知識(shí)歸納.

正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C 和它們的對(duì)邊a，b，c 叫做三角形的元素[4].已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形[4].

思考：利用正弦定理，可以解決一些什么樣的解三角形問(wèn)題？請(qǐng)大家小組之間相互討論，歸納出你們發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題.

（教師引導(dǎo)學(xué)生利用類比的數(shù)學(xué)思想方法，證明出一般情況下的正弦定理.之后，引導(dǎo)學(xué)生歸納出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，在已有命題的基礎(chǔ)上，通過(guò)一系列的證明過(guò)程，推出新的命題.）

2.5.3 典型例題

例1 已知河的對(duì)岸分別有兩棵大樹(shù)，現(xiàn)在工作人員只有卷尺和測(cè)角儀，在不過(guò)河的情況下，如何測(cè)得A、B 兩樹(shù)之間的距離？

圖5

假設(shè)AB＝12 m，∠A＝60°，∠C＝75°，你能計(jì)算出樹(shù)之間的距離嗎？

例2 在△ABC 中，已知a＝25 cm，b＝32 cm，A＝45°，解三角形.

由教師給出例題，并帶領(lǐng)學(xué)生計(jì)算，歸納出解題步驟和解題類型.

2.5.4 練習(xí)鞏固

練習(xí)題：

（1）在△ABC 中，已知a＝30 cm，c＝60 cm，A＝30°，解三角形.

（2）在△ABC 中，已知A＝45°，B＝30°，c＝30 cm，解三角形.

教師給出練習(xí)，學(xué)生自行作答.教師觀察學(xué)生的做題情況，給予及時(shí)的點(diǎn)撥和糾正.

2.5.5 課堂小結(jié)

教師提問(wèn)：

（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道什么是正弦定理嗎？

（2）正弦定理是怎么來(lái)的？

（3）在證明過(guò)程中，你使用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

由教師提問(wèn)，學(xué)生回答.教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行歸納，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)正弦定理的理解.

2.5.6 作業(yè)布置

基礎(chǔ)題：

（1）教材上相關(guān)課后練習(xí)題.

（2）尋找其他證明正弦定理的方法.

能力題：

（1）教材上相關(guān)課后練習(xí)題.

（2）已知△ABC的兩邊a，c和∠B的大小，你能解三角形嗎？

作業(yè)分基礎(chǔ)題和能力題，體現(xiàn)因材施教的教學(xué)原則.基礎(chǔ)題中留下任務(wù)，讓學(xué)生在尋找其它的證明方法的過(guò)程中，進(jìn)一步豐富命題域，加強(qiáng)對(duì)命題的掌握；能力題中留下思考，為下一節(jié)學(xué)習(xí)余弦定理做好鋪墊.

3 總結(jié)

本文基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下“正弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)，注重正弦定理的產(chǎn)生和證明過(guò)程，將一組具有內(nèi)在聯(lián)系的命題按等價(jià)關(guān)系、強(qiáng)抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系和廣義抽象關(guān)系進(jìn)行梳理，建立了該組命題的陳述性知識(shí)網(wǎng)絡(luò)[5].利用幾何證明的方法，引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷正弦定理的產(chǎn)生過(guò)程，理清不同情況下如何證明三角形的正弦定理.課后作業(yè)讓學(xué)生自己去尋找其他的證明方法，既鍛煉了他們的自學(xué)能力，又可以豐富他們的命題域.本設(shè)計(jì)基于學(xué)生已有的三角函數(shù)知識(shí)體系，繼續(xù)學(xué)習(xí)新的知識(shí)，形成如圖6 所示的知識(shí)體系.本文基于CPFS 結(jié)構(gòu)理論下的教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，提高知識(shí)表征能力.

圖6